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北师大版九年级数学下册《直角三角形边角关系》测试卷B
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么AC等于（ ）
A．3sinα B．3cosα C． D．
3. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是( )
A. m·sin 35° B. m·cos 35° C. D.
4. 河堤横断面如图,所示，堤高BC＝5 m，迎水坡AB的坡比为1∶，则AC的长是( )
A. 10 m B. 5 m C. 15 m D. 10 m
第3题 第4题 第5题
5. 如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B′的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知，则梯子顶端上升了( )
A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米
8.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图（2）所示的四边形OABC.若，，则的值为( )
A. B. C. D.
第8题 第9题 第10题
9．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（ ）
A．(30-50，30) B．(30， 30-50) C．(30，30) D．(30，30)
10. 如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6 m到达点B，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度是( )
A. (6＋2)m B. (6＋)m C. (10－)m D. (8＋)m
填空题（每小题4分共28分）
11．在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA＝ ．
12．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，则cos∠DCB＝ ．
13．如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB= ，则DE=________．
第12题 第13题 第14题
14．如图，的顶点B，C的坐标分别是，，且，，则顶点A的坐标是_________.
15．如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°，n秒后，火箭到达B点，此时在R处测得仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是_____km.
16．.如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，，垂足为E，连接CE.若，则的值为______________.
17．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为11°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD＝10 m，则此塑像的高AB约为 m.(参考数据：tan 78°12′ ≈4.8)
第15题 第16题 第17题
解答题（6×3=18分）
18. 计算：
(1)(－2)2＋＋2sin 60°－； (2)6tan230°－sin 60°－2sin 45°.
19. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是中线，BC＝6，CD＝5，求AC的长和tan∠ACD的值.
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．求sinA，cosA和tanA．
解答题（8×3=24分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．
22．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点A看大树顶端C的仰角为35°；(2)在点A和大树之间选择一点B（A，B，D在同一直线上），测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°；(3)量出A，B两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD的高度.（精确到0.1米）（可能用到的参考数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
23.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，.
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）连接BD，求的正切值.
解答题 （10×2=20分）
24. 某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50 m至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°.线段AM的长为无人机距地面的铅垂高度，点M，C，D在同一条直线上.其中tan α＝2，MC＝50m.
(1)求无人机的飞行高度AM；(结果保留根号)
(2)求河流的宽度CD.(结果精确到1 m，参考数据：≈1.41，≈1.73)
25. 如图，已知斜坡AB长60 m，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.
(1)若修建的斜坡BE的坡比为 ∶1，求休闲平台DE的长是多少米；
(2)一座建筑物GH距离A点33 m远(即AG＝33 m)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，建筑物GH的高为多少米？(结果保留根号)
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B B B C A A A
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 0.8 14.5 58
三、解答题
18.解：(1)原式＝4＋＋2×－2＝4.
(2)原式＝6×－×－2×＝6×－－＝－.
19. 解：在Rt△ABC中，
∵CD是中线，CD＝5，
∴AD＝CD＝AB＝5.
∴∠ACD＝∠A，AB＝10.
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8.
∴tan A＝＝＝.
∴tan∠ACD＝.
20.．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
∴AB＝＝＝13，
∴sinA＝＝，
cosA＝＝，
tanA＝＝．
21．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，
∴BC＝＝＝；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝，
∴sinA＝＝．
22.解设CD=x米，
∵∠DBC=45°，
∴DB=CD=x，AD=x+4.5，
在Rt△ACD中，tan∠A=，
∴tan35°=，
解得：x=10.5，
所以大树的高为10.5米．
23.解（1）如图，过点C作于点E.
，，
.
.
四边形ADCE是矩形.
，.
.
，
.
梯形ABCD的面积为.
（2）如图，过点C作于点H.
，
，
又，
.
.
，
，
解得.
.
.
24. 解：(1)如答图，过点B作BN⊥MD，垂足为N.
由题意可知∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50 m，AM＝BN.
在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50 m，
∴AM＝2MC＝100(m).
答：无人机的飞行高度AM为100 m.
(2)在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，
即tan 30°＝.
解得DN＝300.
∴DM＝DN＋MN＝300＋50＝350(m).
∴CD＝DM－MC＝350－50≈264(m).
答：河流的宽度CD约为264 m.
25. 解：(1)∵FM∥CG，
∴∠BDF＝∠BAC＝45°.
∵斜坡AB长60m，D是AB的中点，
∴BD＝AD＝30m.
∴DF＝BD·cos∠BDF＝30×＝30(m)，BF＝DF＝30 m.
同理可得DP＝AP＝30 m.
∵斜坡BE的坡比为∶1，
∴＝.解得EF＝10.
∴DE＝DF－EF＝(30－10) m.
答：休闲平台DE的长是(30－10m.
(2)设GH＝x m，则MH＝GH－GM＝(x－30)m，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(m).
在Rt△DMH中，tan 30°＝，即＝.
解得x＝30＋21.
答：建筑物GH的高为(30＋21)m.
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北师大版九年级数学下册《直角三角形边角关系》测试卷A
满分：120分 考试时间：90分钟
选择题。（每小题3分，共30分）
1. 计算sin245°＋tan 60°·cos 30°的值为( )
A. 2 B. C. 1 D.
2. 如图,在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝( )
A. B. C. D.
第2题 第3题 第4题
3. 如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则图中线段的比不能表示sin A的式子为( )
A. B. C. D.
4.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直(A，D，B在同一条直线上)，设，则拉线BC的长度为( )
A. B. C. D.
5．下列说法中，正确的是（ ）
A． B．若为锐角，则﹦
C．对于锐角，必有 D．在中，，则有
6．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30o，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45o，则该高楼的高度大约为（ ）
A．82米 B．163米 C．52米 D．70米
第6题 第7题 第8题
7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于( )
A．1 B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则（ ）
A． B． C． D．
9．下列式子正确的是（ ）
A．cos60°＝ B．cos60°+tan45°＝1
C．tan60°﹣＝0 D．sin230°+cos230°＝
10.如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E）均在同一平面内）.在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据，，）( )
A.21.7米 B.22.4米 C.27.4米 D.28.8米
填空题（每小题4分共28分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝ .
12．在RT△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，那么AC=_____．
13．如图，在四边形ABCD中，，，，.若，则______________.
第13题 第14题 第15题
14．如图，在中，，，则的面积=___________.
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为 .
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，若CD＝2，AB＝6，则S△ABD＝ .
17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于____
第16题 第17题
解答题（6×3=18分）
（1）计算：．
（2）已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
19. 如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B的值.
20.对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝．
试求：(1)sinA cosA的值；(2)sinA﹣cosA的值．
解答题（8×3=24分）
21. 在△ABC中，若＋2＝0，且∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数.
22. 如图,在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝1.
(1)如果∠BCD＝30°，求AC；
(2)如果tan∠BCD＝，求CD.
23.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
解答题 （10×2=20分）
24．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
25．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα cosα；若∠α＜45°，则sinα cosα；若∠α＞45°，则sinα cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B B A B B C A
二 、填空
题号 11 12 13 14 15 16 17
答案 8 8 -3
解答题
18.（1）．解：原式
．
（2）解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
19. 解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D.
在△ABC中，AB＝9，△ABC的面积等于9，
∴×AB×CD＝9.解得CD＝2.
∴sin B＝＝＝.
20.解(1)∵sinA+cosA＝，
∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝，
即1+2sinAcosA＝，
∴sinAcosA＝；
(2)∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，
＝1﹣，
＝，
∴sinA﹣cosA＝±．
21. 解：∵＋＝0，
∴＝0，－cos B＝0.
∴sin A＝，cos B＝.
∴∠A＝45°，∠B＝45°.
∴∠C＝180°－45°－45°＝90°.
22. 解：(1)∵CD⊥AB于点D，∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴∠A＝∠BCD＝30°.
又∵BC＝1，
∴AC＝＝.
(2)∵tan∠BCD＝，
在Rt△BCD中，＝，
设DB＝k，CD＝3k，则BC＝＝k.
∴k＝1，解得k＝.
∴CD＝.
23.解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴BC=2AB=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===2，
∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2．
答：△ABC的周长是6+2．
24．解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；
（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．
25．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
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