14.2.1 平方差公式同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 14.2.1 平方差公式同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1014.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-03 17:16:42 | ||
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文档简介
14.2乘法公式
14.2.1 平方差公式
【知识重点】
知识点1 平方差公式
1. 平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
即：用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
(1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－ a2＝b2－a2
(3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b) ＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2
(4)指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4
(5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2
(6)连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4
特别解读
公式的特征：
① 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
② 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
③ 理解字母a，b的意义，平方差公式中的a，b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式.
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；
(3)；(4)(－3y－4x)(3y－4x).
解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2进行计算.
【例2】计算：
(1)10.3×9.7；
(2)2 022×2 024－2 0232.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.
【同步练习】
一、选择题
1．下列各式，能用平方差公式计算的是( )
A．(a＋b)(－a－b) B．(－a＋b)(b－a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b)(－a＋b)
2．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是( )
A．(1＋x)(x＋1) B．(2a＋b)(b－2a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(y2＋x)
3．运用乘法公式计算(4＋x)(x－4)的结果是( )
A．x2－16 B．x2＋16 C．16－x2 D．－x2－16
4．下列计算正确的是( )
A．(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2
B．(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2
C．(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2
D．(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2
5．若(2－x)(2＋x)(4＋x2)＝16－xn，则n的值等于( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
6．已知a2－b2＝4，那么(a－b)2(a＋b)2的计算结果是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
7．下列计算正确的是( )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－6
B．(3x＋2y)(3x－2y)＝3x2－2y2
C．(m－n)(－m－n)＝m2－n2
D．(a＋b)(b－a)＝b2－a2
8．三个连续的整数，中间的一个是n，则这三个整数的积是( )
A．3n B．n3 C．n3－1 D．n3－n
9．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( )
A．205 B．250 C．502 D．520
11．【2021·宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积( )
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
12．计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( )
A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8
二、填空题
13．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________，即两个数的________与这两个数的________的积，等于这两个数的____________．
14．计算：
(1)(m＋3)(m－3)＝____________；
(2)(a－)(－a－)＝______________；
(3)(0.1m2－0.2n2)(0.2n2＋0.1m2)＝________________________；
(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝______________．
15．填空：99×101＝(100－______)(100＋______)＝____________.
16．某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为(4a2＋9b2) m，宽为(2a＋3b) m，深为(2a－3b) m，则这个游泳池的容积是______________________.
17．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．
18．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1，7×9＝82－1……请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示出来为__________________________．
三、解答题
19．计算：
(1)(2ab＋n)(2ab－n)；
(2)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)；
(3)(2a－3)(－2a－3)．
(4)20232－2022×2024.
20．先化简，再求值：
(1)a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝；
(2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
21．(1)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x，其中x＝1，y＝；
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
22．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
23．(1)填空：
(a－b)(a＋b)＝__________；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝__________；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__________；
(2)猜想：
(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝__________；(其中n为正整数，且n≥2)
(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
24．阅读下列材料：
某同学计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成(4－1)后，发现能连续运用平方差公式计算：
3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.
(1)请借鉴该同学的经验，计算：＋＝___；
(2)请逆用平方差公式计算：….
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；
(3)；(4)(－3y－4x)(3y－4x).
解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2进行计算.
解：(1)(5m－3n)(5m＋3n)
＝(5m)2－(3n)2＝25m2－9n2；
(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)
＝(－2a2)2－(5b)2＝4a4－25b2；
(3)解：＝
＝y2－＝y2－x2；
(4)(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y)
＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
【例2】计算：
(1)10.3×9.7；
(2)2 022×2 024－2 0232.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.
解：(1)10.3×9.7
＝(10＋0.3)×(10－0.3)
＝102－0.32＝100－0.09＝99.91；
(2)2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
【同步练习】
一、选择题
1．下列各式，能用平方差公式计算的是( D )
A．(a＋b)(－a－b) B．(－a＋b)(b－a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b)(－a＋b)
2．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是( B )
A．(1＋x)(x＋1) B．(2a＋b)(b－2a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(y2＋x)
3．运用乘法公式计算(4＋x)(x－4)的结果是( A )
A．x2－16 B．x2＋16 C．16－x2 D．－x2－16
4．下列计算正确的是( C )
A．(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2
B．(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2
C．(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2
D．(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2
5．若(2－x)(2＋x)(4＋x2)＝16－xn，则n的值等于( B )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
6．已知a2－b2＝4，那么(a－b)2(a＋b)2的计算结果是( C )
A．4 B．8 C．16 D．32
7．下列计算正确的是( D )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－6
B．(3x＋2y)(3x－2y)＝3x2－2y2
C．(m－n)(－m－n)＝m2－n2
D．(a＋b)(b－a)＝b2－a2
8．三个连续的整数，中间的一个是n，则这三个整数的积是( D )
A．3n B．n3 C．n3－1 D．n3－n
9．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是( D )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( D )
A．205 B．250 C．502 D．520
11．【2021·宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积( C )
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【解析】原来正方形土地的面积为a2平方米，现在长方形土地的面积为(a＋6)(a－6)＝(a2－36)(平方米)，∴长方形土地的面积比正方形土地的面积小了36平方米．
12．计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( B )
A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8
二、填空题
13．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________，即两个数的________与这两个数的________的积，等于这两个数的____________．
【答案】a2－b2 和 差 平方差
14．计算：
(1)(m＋3)(m－3)＝____________；
(2)(a－)(－a－)＝______________；
(3)(0.1m2－0.2n2)(0.2n2＋0.1m2)＝________________________；
(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝______________．
【答案】m2－9 －a2 0.01m4－0.04n4 9x2－4y2
15．填空：99×101＝(100－______)(100＋______)＝____________.
【答案】1 1 9999
16．某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为(4a2＋9b2) m，宽为(2a＋3b) m，深为(2a－3b) m，则这个游泳池的容积是______________________.
【答案】(16a4－81b4) m3
17．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．
【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－b2
18．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1，7×9＝82－1……请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示出来为__________________________．
【答案】(2n－1)(2n＋1)＝(2n)2－1
三、解答题
19．计算：
(1)(2ab＋n)(2ab－n)；
解：原式＝4a2b2－n2.
(2)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)；
解：原式＝y4－9x4.
(3)(2a－3)(－2a－3)．
解：原式＝(－3)2－(2a)2＝9－4a2.
(4)20232－2022×2024.
解：原式＝20232－(2023－1)(2023＋1)＝20232－20232＋1＝1
20．先化简，再求值：
(1)a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝；
解：原式＝1－3a，当a＝时，原式＝1－
(2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2，当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝5－20＝－15
21．(1)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x，其中x＝1，y＝；
解：原式＝x2－y2＋y2－2y＝x2－2y.
当x＝1，y＝时，原式＝12－2×＝0.
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)
＝9x2－4＋x2－2x
＝10x2－2x－4.
∵5x2－x－1＝0，∴5x2－x＝1.
∴10x2－2x＝2.
∴原式＝2－4＝－2.
22．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16.
∴a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)
＝9x2－4＋x2－2x
＝10x2－2x－4.
∵5x2－x－1＝0，∴5x2－x＝1，
∴原式＝2(5x2－x)－4＝－2.
23．(1)填空：
(a－b)(a＋b)＝__________；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝__________；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__________；
【答案】a2－b2 a3－b3 a4－b4
(2)猜想：
(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝__________；(其中n为正整数，且n≥2)
【答案】an－bn
(3)利用(2)猜想的结论计算：
29－28＋27－…＋23－22＋2.
解：(3)原式＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＋1＝[210－(－1)10]＋1＝342
24．阅读下列材料：
某同学计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成(4－1)后，发现能连续运用平方差公式计算：
3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.
(1)请借鉴该同学的经验，计算：＋＝___；
(2)请逆用平方差公式计算：….
解：(1)2
(2)原式＝…
＝××××××…××
＝.
14.2.1 平方差公式
【知识重点】
知识点1 平方差公式
1. 平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
即：用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2. 平方差公式的几种常见变化及应用
变化形式 应用举例
(1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－ a2＝b2－a2
(3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b) ＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2
(4)指数变化 (a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4
(5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2
(6)连用公式 (a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4
特别解读
公式的特征：
① 等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.
② 等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
③ 理解字母a，b的意义，平方差公式中的a，b既可代表一个单项式，也可代表一个多项式.
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；
(3)；(4)(－3y－4x)(3y－4x).
解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2进行计算.
【例2】计算：
(1)10.3×9.7；
(2)2 022×2 024－2 0232.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.
【同步练习】
一、选择题
1．下列各式，能用平方差公式计算的是( )
A．(a＋b)(－a－b) B．(－a＋b)(b－a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b)(－a＋b)
2．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是( )
A．(1＋x)(x＋1) B．(2a＋b)(b－2a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(y2＋x)
3．运用乘法公式计算(4＋x)(x－4)的结果是( )
A．x2－16 B．x2＋16 C．16－x2 D．－x2－16
4．下列计算正确的是( )
A．(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2
B．(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2
C．(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2
D．(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2
5．若(2－x)(2＋x)(4＋x2)＝16－xn，则n的值等于( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
6．已知a2－b2＝4，那么(a－b)2(a＋b)2的计算结果是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
7．下列计算正确的是( )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－6
B．(3x＋2y)(3x－2y)＝3x2－2y2
C．(m－n)(－m－n)＝m2－n2
D．(a＋b)(b－a)＝b2－a2
8．三个连续的整数，中间的一个是n，则这三个整数的积是( )
A．3n B．n3 C．n3－1 D．n3－n
9．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( )
A．205 B．250 C．502 D．520
11．【2021·宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积( )
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
12．计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( )
A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8
二、填空题
13．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________，即两个数的________与这两个数的________的积，等于这两个数的____________．
14．计算：
(1)(m＋3)(m－3)＝____________；
(2)(a－)(－a－)＝______________；
(3)(0.1m2－0.2n2)(0.2n2＋0.1m2)＝________________________；
(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝______________．
15．填空：99×101＝(100－______)(100＋______)＝____________.
16．某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为(4a2＋9b2) m，宽为(2a＋3b) m，深为(2a－3b) m，则这个游泳池的容积是______________________.
17．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．
18．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1，7×9＝82－1……请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示出来为__________________________．
三、解答题
19．计算：
(1)(2ab＋n)(2ab－n)；
(2)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)；
(3)(2a－3)(－2a－3)．
(4)20232－2022×2024.
20．先化简，再求值：
(1)a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝；
(2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
21．(1)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x，其中x＝1，y＝；
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
22．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
23．(1)填空：
(a－b)(a＋b)＝__________；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝__________；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__________；
(2)猜想：
(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝__________；(其中n为正整数，且n≥2)
(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.
24．阅读下列材料：
某同学计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成(4－1)后，发现能连续运用平方差公式计算：
3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.
(1)请借鉴该同学的经验，计算：＋＝___；
(2)请逆用平方差公式计算：….
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；
(3)；(4)(－3y－4x)(3y－4x).
解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2进行计算.
解：(1)(5m－3n)(5m＋3n)
＝(5m)2－(3n)2＝25m2－9n2；
(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)
＝(－2a2)2－(5b)2＝4a4－25b2；
(3)解：＝
＝y2－＝y2－x2；
(4)(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y)
＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
【例2】计算：
(1)10.3×9.7；
(2)2 022×2 024－2 0232.
解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.
解：(1)10.3×9.7
＝(10＋0.3)×(10－0.3)
＝102－0.32＝100－0.09＝99.91；
(2)2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
【同步练习】
一、选择题
1．下列各式，能用平方差公式计算的是( D )
A．(a＋b)(－a－b) B．(－a＋b)(b－a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(a＋b)(－a＋b)
2．下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是( B )
A．(1＋x)(x＋1) B．(2a＋b)(b－2a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(y2＋x)
3．运用乘法公式计算(4＋x)(x－4)的结果是( A )
A．x2－16 B．x2＋16 C．16－x2 D．－x2－16
4．下列计算正确的是( C )
A．(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2
B．(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2
C．(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2
D．(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2
5．若(2－x)(2＋x)(4＋x2)＝16－xn，则n的值等于( B )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
6．已知a2－b2＝4，那么(a－b)2(a＋b)2的计算结果是( C )
A．4 B．8 C．16 D．32
7．下列计算正确的是( D )
A．(x＋3)(x－3)＝x2－6
B．(3x＋2y)(3x－2y)＝3x2－2y2
C．(m－n)(－m－n)＝m2－n2
D．(a＋b)(b－a)＝b2－a2
8．三个连续的整数，中间的一个是n，则这三个整数的积是( D )
A．3n B．n3 C．n3－1 D．n3－n
9．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是( D )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( D )
A．205 B．250 C．502 D．520
11．【2021·宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积( C )
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【解析】原来正方形土地的面积为a2平方米，现在长方形土地的面积为(a＋6)(a－6)＝(a2－36)(平方米)，∴长方形土地的面积比正方形土地的面积小了36平方米．
12．计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( B )
A．x8＋1 B．x8－1 C．(x＋1)8 D．(x－1)8
二、填空题
13．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________，即两个数的________与这两个数的________的积，等于这两个数的____________．
【答案】a2－b2 和 差 平方差
14．计算：
(1)(m＋3)(m－3)＝____________；
(2)(a－)(－a－)＝______________；
(3)(0.1m2－0.2n2)(0.2n2＋0.1m2)＝________________________；
(4)(－3x＋2y)(－3x－2y)＝______________．
【答案】m2－9 －a2 0.01m4－0.04n4 9x2－4y2
15．填空：99×101＝(100－______)(100＋______)＝____________.
【答案】1 1 9999
16．某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为(4a2＋9b2) m，宽为(2a＋3b) m，深为(2a－3b) m，则这个游泳池的容积是______________________.
【答案】(16a4－81b4) m3
17．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．
【答案】(a＋b)(a－b)＝a2－b2
18．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1，7×9＝82－1……请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示出来为__________________________．
【答案】(2n－1)(2n＋1)＝(2n)2－1
三、解答题
19．计算：
(1)(2ab＋n)(2ab－n)；
解：原式＝4a2b2－n2.
(2)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)；
解：原式＝y4－9x4.
(3)(2a－3)(－2a－3)．
解：原式＝(－3)2－(2a)2＝9－4a2.
(4)20232－2022×2024.
解：原式＝20232－(2023－1)(2023＋1)＝20232－20232＋1＝1
20．先化简，再求值：
(1)a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝；
解：原式＝1－3a，当a＝时，原式＝1－
(2)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2，当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝5－20＝－15
21．(1)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(xy2－2xy)÷x，其中x＝1，y＝；
解：原式＝x2－y2＋y2－2y＝x2－2y.
当x＝1，y＝时，原式＝12－2×＝0.
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)
＝9x2－4＋x2－2x
＝10x2－2x－4.
∵5x2－x－1＝0，∴5x2－x＝1.
∴10x2－2x＝2.
∴原式＝2－4＝－2.
22．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16.
∴a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
(2)已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)
＝9x2－4＋x2－2x
＝10x2－2x－4.
∵5x2－x－1＝0，∴5x2－x＝1，
∴原式＝2(5x2－x)－4＝－2.
23．(1)填空：
(a－b)(a＋b)＝__________；
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝__________；
(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__________；
【答案】a2－b2 a3－b3 a4－b4
(2)猜想：
(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝__________；(其中n为正整数，且n≥2)
【答案】an－bn
(3)利用(2)猜想的结论计算：
29－28＋27－…＋23－22＋2.
解：(3)原式＝29－28＋27－…＋23－22＋2－1＋1＝[210－(－1)10]＋1＝342
24．阅读下列材料：
某同学计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成(4－1)后，发现能连续运用平方差公式计算：
3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.
(1)请借鉴该同学的经验，计算：＋＝___；
(2)请逆用平方差公式计算：….
解：(1)2
(2)原式＝…
＝××××××…××
＝.