14.2.2.1 完全平方公式同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 14.2.2.1 完全平方公式同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-03 17:17:24 | ||
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文档简介
14.2乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【知识重点】
知识点1 完全平方公式
1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍.
即：用字母表示为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2. 完全平方公式的几种常见变形公式
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
(6)ab＝［(a＋b)2－(a2＋b2)］＝［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝［(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2］
特别解读
① 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2 倍.
② 理解字母a，b的意义：公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.
② 口诀记忆：
头平方和尾平方，头( 乘) 尾两倍在中央，中间符号照原样.
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(x＋7y)2； (2)(－4a＋5b)2；
(3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.
【例2】计算：(1)9992；(2).
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.
【同步练习】
一、选择题
1．【2022·兰州】计算：(x＋2y)2＝( )
A．x2＋4xy＋4y2 B．x2＋2xy＋4y2
C．x2＋4xy＋2y2 D．x2＋4y2
2．计算(－a－b)2的结果是( )
A．a2＋b2 B．a2－b2 C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
3．【2021·泰安】下列运算正确的是( )
A．2x2＋3x3＝5x5 B．(－2x)3＝－6x3
C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
4．下列各式计算结果是m2n2－mn＋1的是( )
A．(mn－)2 B．(mn＋1)2
C．(mn－1)2 D．(mn－1)2
5．若x2＋kx＋64是一个完全平方式，则k的值是( )
A．8 B．±8 C．16 D．±16
6．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图乙，你能得到的数学公式是( )
A．a2－b2＝(a－b)2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
7．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和30，则图②的边长为( )
A．7 B．8 C．5.6 D．10
8．若(x－n)2＝x2＋x＋m，则m，n的值分别是( )
A.，－ B.， C.， D.－，
9．已知a＋＝4，则a2＋的值是( )
A．4 B．16 C．14 D．15
10．若实数m，n满足m2＋n2＝4＋2mn，m＋n＝4.则mn的值为( )
A．3 B．－3 C．4 D．－4
11．已知长方形的周长为16 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0，则该长方形的面积为( )
A．16 cm2 B．15 cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题
12．填空：
(1)(2x＋______)2＝______＋________＋9y2；
(2)x2＋10x＋______＝(x＋______)2.
13．若m2－5m＋1＝0，则m2＋＝__________．
14．已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b＝__________.
15．已知m＋n＝－6，mn＝－7，则m2－mn＋n2的值为______.
16．如图①，是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中的阴影部分的边长为____；
(2)观察图②请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是
___________________________；
(3)根据(2)中的结论，若x＋y＝5，xy＝3，则(x－y)2＝____；
(4)实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图③写出一个等式
________________________________．
三、解答题
17．计算：
(1)(a＋b)2－(a－b)2；(2)(a－b)2(a＋b)2；
(3)(a－1)(a＋1)(a2－1)；(4)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2).
18．已知多项式A＝(x＋1)2－(x2－4y)．
(1)化简多项式A；
(2)若x＋2y＝1，求A的值．
19．(1)若(x－y)2＝1，(x＋y)2＝9，则xy的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知a＋b＝2，a2＋b2＝10，求ab和(a－b)2的值．
20．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2)ab.
21．先化简，后求值：(2x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－5x(x－y)，其中＋|y＋2|＝0.
22．利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式：
a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．
(1)请你检验这个等式的正确性．
(2)若a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．
23．已知多项式A＝x2＋2x＋n2，多项式B＝2x2＋4x＋3n2＋3.
(1)若多项式x2＋2x＋n2是完全平方式，则n2＝________；
(2)已知x＝m时，多项式x2＋2x＋n2的值为－1，则x＝－m时，多项式A的值为多少？
(3)在第(2)问的条件下，求5A＋[(3A－B)－2(A＋B)]的值．
24．发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证：如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
25．阅读材料，解决下面的问题．
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求的值．
解：原等式即为m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
所以m＋n＝0，n－3＝0，解得n＝3，m＝－3.
所以＝＝－.
(1)若x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，求的值；
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
(3)试说明：不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
(4)已知a，b，c是三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且三角形ABC的周长是14，求边长c.
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(x＋7y)2； (2)(－4a＋5b)2；
(3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.
解：(1)(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2
＝25b2－40ab＋16a2；
(3)(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
＝(2m)2＋2·(2m)·n＋n2＝4m2＋4mn＋n2；
(4)(2x＋3y)(－2x－3y)
＝－(2x＋3y)2
＝－［(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2］
＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.
【例2】计算：(1)9992；(2).
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.
解：(1)9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
＝1 000 000－2 000＋1＝998 001；
(2)＝＝302＋2×30×＋ ＝900＋20＋＝920.
【同步练习】
一、选择题
1．【2022·兰州】计算：(x＋2y)2＝( A )
A．x2＋4xy＋4y2 B．x2＋2xy＋4y2
C．x2＋4xy＋2y2 D．x2＋4y2
2．计算(－a－b)2的结果是( C )
A．a2＋b2 B．a2－b2 C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
3．【2021·泰安】下列运算正确的是( D )
A．2x2＋3x3＝5x5 B．(－2x)3＝－6x3
C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
4．下列各式计算结果是m2n2－mn＋1的是( D )
A．(mn－)2 B．(mn＋1)2
C．(mn－1)2 D．(mn－1)2
5．若x2＋kx＋64是一个完全平方式，则k的值是( D )
A．8 B．±8 C．16 D．±16
6．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图乙，你能得到的数学公式是( B )
A．a2－b2＝(a－b)2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
7．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和30，则图②的边长为( B )
A．7 B．8 C．5.6 D．10
8．若(x－n)2＝x2＋x＋m，则m，n的值分别是( A )
A.，－ B.， C.， D.－，
9．已知a＋＝4，则a2＋的值是( C )
A．4 B．16 C．14 D．15
【解析】∵＝a2＋＋2，∴a2＋＝－2＝42－2＝16－2＝14.
10．若实数m，n满足m2＋n2＝4＋2mn，m＋n＝4.则mn的值为( A )
A．3 B．－3 C．4 D．－4
11．已知长方形的周长为16 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0，则该长方形的面积为( D )
A．16 cm2 B．15 cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题
12．填空：
(1)(2x＋______)2＝______＋________＋9y2；
(2)x2＋10x＋______＝(x＋______)2.
【答案】3y 4x2 12xy 25 5
13．若m2－5m＋1＝0，则m2＋＝__________．
【答案】23
14．已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b＝__________.
【答案】1或－1
15．已知m＋n＝－6，mn＝－7，则m2－mn＋n2的值为______.
【答案】57
16．如图①，是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中的阴影部分的边长为____；
(2)观察图②请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是
___________________________；
(3)根据(2)中的结论，若x＋y＝5，xy＝3，则(x－y)2＝____；
(4)实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图③写出一个等式
________________________________．
【答案】b－a (a＋b)2－(a－b)2＝4ab 13 (a＋b)·(3a＋b)＝3a2＋4ab＋b2
三、解答题
17．计算：
(1)(a＋b)2－(a－b)2；
解：原式＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab
(2)(a－b)2(a＋b)2；
解：原式＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4
(3)(a－1)(a＋1)(a2－1)；
解：原式＝(a2－1)(a2－1)＝(a2)2－2a2＋1＝a4－2a2＋1
(4)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2).
解：原式＝(y2－x2)(x2－y2)＝－x4＋2x2y2－y4
18．已知多项式A＝(x＋1)2－(x2－4y)．
(1)化简多项式A；
解：A＝(x＋1)2－(x2－4y)＝x2＋2x＋1－x2＋4y
＝2x＋4y＋1.
(2)若x＋2y＝1，求A的值．
∵x＋2y＝1，
∴A＝2x＋4y＋1＝2(x＋2y)＋1＝2×1＋1＝3.
19．(1)若(x－y)2＝1，(x＋y)2＝9，则xy的值为( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知a＋b＝2，a2＋b2＝10，求ab和(a－b)2的值．
解：把式子a＋b＝2两边同时平方，
得a2＋b2＋2ab＝4.
∵a2＋b2＝10，∴ab＝－3. ∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，
∴(a－b)2＝22－4×(－3)＝16.
20．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2)ab.
解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，∴a2＋b2＝[(a＋b)2＋(a－b)2]÷2＝(17＋13)÷2＝15
(2)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，∴ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]÷4＝(17－13)÷4＝1
21．先化简，后求值：(2x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－5x(x－y)，其中＋|y＋2|＝0.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy.
∵＋|y＋2|＝0，∴x－1＝0，y＋2＝0，
∴x＝1，y＝－2，
∴原式＝9xy＝－18.
22．利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式：
a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．
(1)请你检验这个等式的正确性．
解：右边＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝(a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2)＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝左边．
(2)若a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．
解：当a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024时，
原式＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝×(1＋1＋4)＝3.
23．已知多项式A＝x2＋2x＋n2，多项式B＝2x2＋4x＋3n2＋3.
(1)若多项式x2＋2x＋n2是完全平方式，则n2＝________；
(2)已知x＝m时，多项式x2＋2x＋n2的值为－1，则x＝－m时，多项式A的值为多少？
(3)在第(2)问的条件下，求5A＋[(3A－B)－2(A＋B)]的值．
解：(1)∵x2＋2x＋n2是一个完全平方式，∴n2＝1，故答案为：1
(2)当x＝m时，有m2＋2m＋n2＝－1，∴m2＋2m＋1＋n2＝0，∴(m＋1)2＋n2＝0，∵(m＋1)2≥0，n2≥0，∴m＝－1，n＝0，∴x＝－m＝1时，多项式x2＋2x＋n2＝3
(3)∵x＝m＝－1，n＝0，∴A＝x2＋2x＋n2＝－1，B＝2x2＋4x＋3n2＋3＝1，∴5A＋[(3A－B)－2(A＋B)]＝5A＋3A－B－2A－2B＝6A－3B＝6×(－1)－3×1＝－9
24．发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证：如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
解：验证：10的一半为5,22＋12＝5.
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2(m2＋n2)，
其中2(m2＋n2)为偶数，且其一半m2＋n2正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
25．阅读材料，解决下面的问题．
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求的值．
解：原等式即为m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
所以m＋n＝0，n－3＝0，解得n＝3，m＝－3.
所以＝＝－.
(1)若x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，求的值；
解：原等式即为(x＋2)2＋(y－4)2＝0，
∴x＝－2，y＝4.
∴＝＝－2.
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
解：原等式即为x2－2xy＋y2＋y2＋2y＋1＝0，
∴(x－y)2＋(y＋1)2＝0.
∴y＝－1，x＝－1.
∴x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.
(3)试说明：不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
解：x2＋y2－2x＋2y＋3＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1.
∵(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.
∴不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数．
(4)已知a，b，c是三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且三角形ABC的周长是14，求边长c.
解：∵a2＋b2＝10a＋8b－41，
∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0.
∴(a－5)2＋(b－4)2＝0.
∴a＝5，b＝4.
又∵三角形ABC的周长是14，∴边长c是5.
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【知识重点】
知识点1 完全平方公式
1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍.
即：用字母表示为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2. 完全平方公式的几种常见变形公式
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
(6)ab＝［(a＋b)2－(a2＋b2)］＝［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
(8)a2＋b2＋c2＋ab＋ac＋bc＝［(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2］
特别解读
① 弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2 倍.
② 理解字母a，b的意义：公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.
② 口诀记忆：
头平方和尾平方，头( 乘) 尾两倍在中央，中间符号照原样.
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(x＋7y)2； (2)(－4a＋5b)2；
(3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.
【例2】计算：(1)9992；(2).
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.
【同步练习】
一、选择题
1．【2022·兰州】计算：(x＋2y)2＝( )
A．x2＋4xy＋4y2 B．x2＋2xy＋4y2
C．x2＋4xy＋2y2 D．x2＋4y2
2．计算(－a－b)2的结果是( )
A．a2＋b2 B．a2－b2 C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
3．【2021·泰安】下列运算正确的是( )
A．2x2＋3x3＝5x5 B．(－2x)3＝－6x3
C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
4．下列各式计算结果是m2n2－mn＋1的是( )
A．(mn－)2 B．(mn＋1)2
C．(mn－1)2 D．(mn－1)2
5．若x2＋kx＋64是一个完全平方式，则k的值是( )
A．8 B．±8 C．16 D．±16
6．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图乙，你能得到的数学公式是( )
A．a2－b2＝(a－b)2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
7．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和30，则图②的边长为( )
A．7 B．8 C．5.6 D．10
8．若(x－n)2＝x2＋x＋m，则m，n的值分别是( )
A.，－ B.， C.， D.－，
9．已知a＋＝4，则a2＋的值是( )
A．4 B．16 C．14 D．15
10．若实数m，n满足m2＋n2＝4＋2mn，m＋n＝4.则mn的值为( )
A．3 B．－3 C．4 D．－4
11．已知长方形的周长为16 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0，则该长方形的面积为( )
A．16 cm2 B．15 cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题
12．填空：
(1)(2x＋______)2＝______＋________＋9y2；
(2)x2＋10x＋______＝(x＋______)2.
13．若m2－5m＋1＝0，则m2＋＝__________．
14．已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b＝__________.
15．已知m＋n＝－6，mn＝－7，则m2－mn＋n2的值为______.
16．如图①，是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中的阴影部分的边长为____；
(2)观察图②请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是
___________________________；
(3)根据(2)中的结论，若x＋y＝5，xy＝3，则(x－y)2＝____；
(4)实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图③写出一个等式
________________________________．
三、解答题
17．计算：
(1)(a＋b)2－(a－b)2；(2)(a－b)2(a＋b)2；
(3)(a－1)(a＋1)(a2－1)；(4)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2).
18．已知多项式A＝(x＋1)2－(x2－4y)．
(1)化简多项式A；
(2)若x＋2y＝1，求A的值．
19．(1)若(x－y)2＝1，(x＋y)2＝9，则xy的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知a＋b＝2，a2＋b2＝10，求ab和(a－b)2的值．
20．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2)ab.
21．先化简，后求值：(2x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－5x(x－y)，其中＋|y＋2|＝0.
22．利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式：
a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．
(1)请你检验这个等式的正确性．
(2)若a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．
23．已知多项式A＝x2＋2x＋n2，多项式B＝2x2＋4x＋3n2＋3.
(1)若多项式x2＋2x＋n2是完全平方式，则n2＝________；
(2)已知x＝m时，多项式x2＋2x＋n2的值为－1，则x＝－m时，多项式A的值为多少？
(3)在第(2)问的条件下，求5A＋[(3A－B)－2(A＋B)]的值．
24．发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证：如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
25．阅读材料，解决下面的问题．
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求的值．
解：原等式即为m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
所以m＋n＝0，n－3＝0，解得n＝3，m＝－3.
所以＝＝－.
(1)若x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，求的值；
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
(3)试说明：不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
(4)已知a，b，c是三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且三角形ABC的周长是14，求边长c.
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参考答案
【经典例题】
【例1】计算：
(1)(x＋7y)2； (2)(－4a＋5b)2；
(3)(－2m－n)2； (4)(2x＋3y)(－2x－3y).
解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.
解：(1)(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2
＝25b2－40ab＋16a2；
(3)(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
＝(2m)2＋2·(2m)·n＋n2＝4m2＋4mn＋n2；
(4)(2x＋3y)(－2x－3y)
＝－(2x＋3y)2
＝－［(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2］
＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.
【例2】计算：(1)9992；(2).
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.
解：(1)9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
＝1 000 000－2 000＋1＝998 001；
(2)＝＝302＋2×30×＋ ＝900＋20＋＝920.
【同步练习】
一、选择题
1．【2022·兰州】计算：(x＋2y)2＝( A )
A．x2＋4xy＋4y2 B．x2＋2xy＋4y2
C．x2＋4xy＋2y2 D．x2＋4y2
2．计算(－a－b)2的结果是( C )
A．a2＋b2 B．a2－b2 C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
3．【2021·泰安】下列运算正确的是( D )
A．2x2＋3x3＝5x5 B．(－2x)3＝－6x3
C．(x＋y)2＝x2＋y2 D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
4．下列各式计算结果是m2n2－mn＋1的是( D )
A．(mn－)2 B．(mn＋1)2
C．(mn－1)2 D．(mn－1)2
5．若x2＋kx＋64是一个完全平方式，则k的值是( D )
A．8 B．±8 C．16 D．±16
6．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.根据图乙，你能得到的数学公式是( B )
A．a2－b2＝(a－b)2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
7．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图①，将A，B并列放置后构造新的正方形得图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为4和30，则图②的边长为( B )
A．7 B．8 C．5.6 D．10
8．若(x－n)2＝x2＋x＋m，则m，n的值分别是( A )
A.，－ B.， C.， D.－，
9．已知a＋＝4，则a2＋的值是( C )
A．4 B．16 C．14 D．15
【解析】∵＝a2＋＋2，∴a2＋＝－2＝42－2＝16－2＝14.
10．若实数m，n满足m2＋n2＝4＋2mn，m＋n＝4.则mn的值为( A )
A．3 B．－3 C．4 D．－4
11．已知长方形的周长为16 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0，则该长方形的面积为( D )
A．16 cm2 B．15 cm2 C．cm2 D．cm2
二、填空题
12．填空：
(1)(2x＋______)2＝______＋________＋9y2；
(2)x2＋10x＋______＝(x＋______)2.
【答案】3y 4x2 12xy 25 5
13．若m2－5m＋1＝0，则m2＋＝__________．
【答案】23
14．已知(a＋b)2＝25，ab＝6，则a－b＝__________.
【答案】1或－1
15．已知m＋n＝－6，mn＝－7，则m2－mn＋n2的值为______.
【答案】57
16．如图①，是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图②).
(1)图②中的阴影部分的边长为____；
(2)观察图②请你写出(a＋b)2，(a－b)2，ab之间的等量关系是
___________________________；
(3)根据(2)中的结论，若x＋y＝5，xy＝3，则(x－y)2＝____；
(4)实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图③写出一个等式
________________________________．
【答案】b－a (a＋b)2－(a－b)2＝4ab 13 (a＋b)·(3a＋b)＝3a2＋4ab＋b2
三、解答题
17．计算：
(1)(a＋b)2－(a－b)2；
解：原式＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝4ab
(2)(a－b)2(a＋b)2；
解：原式＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4
(3)(a－1)(a＋1)(a2－1)；
解：原式＝(a2－1)(a2－1)＝(a2)2－2a2＋1＝a4－2a2＋1
(4)(x＋y)(－x＋y)(x2－y2).
解：原式＝(y2－x2)(x2－y2)＝－x4＋2x2y2－y4
18．已知多项式A＝(x＋1)2－(x2－4y)．
(1)化简多项式A；
解：A＝(x＋1)2－(x2－4y)＝x2＋2x＋1－x2＋4y
＝2x＋4y＋1.
(2)若x＋2y＝1，求A的值．
∵x＋2y＝1，
∴A＝2x＋4y＋1＝2(x＋2y)＋1＝2×1＋1＝3.
19．(1)若(x－y)2＝1，(x＋y)2＝9，则xy的值为( A )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知a＋b＝2，a2＋b2＝10，求ab和(a－b)2的值．
解：把式子a＋b＝2两边同时平方，
得a2＋b2＋2ab＝4.
∵a2＋b2＝10，∴ab＝－3. ∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，
∴(a－b)2＝22－4×(－3)＝16.
20．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2)ab.
解：(1)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，∴a2＋b2＝[(a＋b)2＋(a－b)2]÷2＝(17＋13)÷2＝15
(2)∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，∴ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]÷4＝(17－13)÷4＝1
21．先化简，后求值：(2x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－5x(x－y)，其中＋|y＋2|＝0.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy＝9xy.
∵＋|y＋2|＝0，∴x－1＝0，y＋2＝0，
∴x＝1，y＝－2，
∴原式＝9xy＝－18.
22．利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式：
a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．
(1)请你检验这个等式的正确性．
解：右边＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝(a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2)＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac)＝a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝左边．
(2)若a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．
解：当a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024时，
原式＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝×(1＋1＋4)＝3.
23．已知多项式A＝x2＋2x＋n2，多项式B＝2x2＋4x＋3n2＋3.
(1)若多项式x2＋2x＋n2是完全平方式，则n2＝________；
(2)已知x＝m时，多项式x2＋2x＋n2的值为－1，则x＝－m时，多项式A的值为多少？
(3)在第(2)问的条件下，求5A＋[(3A－B)－2(A＋B)]的值．
解：(1)∵x2＋2x＋n2是一个完全平方式，∴n2＝1，故答案为：1
(2)当x＝m时，有m2＋2m＋n2＝－1，∴m2＋2m＋1＋n2＝0，∴(m＋1)2＋n2＝0，∵(m＋1)2≥0，n2≥0，∴m＝－1，n＝0，∴x＝－m＝1时，多项式x2＋2x＋n2＝3
(3)∵x＝m＝－1，n＝0，∴A＝x2＋2x＋n2＝－1，B＝2x2＋4x＋3n2＋3＝1，∴5A＋[(3A－B)－2(A＋B)]＝5A＋3A－B－2A－2B＝6A－3B＝6×(－1)－3×1＝－9
24．发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证：如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
解：验证：10的一半为5,22＋12＝5.
探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2(m2＋n2)，
其中2(m2＋n2)为偶数，且其一半m2＋n2正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
25．阅读材料，解决下面的问题．
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求的值．
解：原等式即为m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
所以m＋n＝0，n－3＝0，解得n＝3，m＝－3.
所以＝＝－.
(1)若x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，求的值；
解：原等式即为(x＋2)2＋(y－4)2＝0，
∴x＝－2，y＝4.
∴＝＝－2.
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
解：原等式即为x2－2xy＋y2＋y2＋2y＋1＝0，
∴(x－y)2＋(y＋1)2＝0.
∴y＝－1，x＝－1.
∴x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.
(3)试说明：不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
解：x2＋y2－2x＋2y＋3＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1.
∵(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.
∴不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数．
(4)已知a，b，c是三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且三角形ABC的周长是14，求边长c.
解：∵a2＋b2＝10a＋8b－41，
∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0.
∴(a－5)2＋(b－4)2＝0.
∴a＝5，b＝4.
又∵三角形ABC的周长是14，∴边长c是5.