江西省清江重点中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

清江重点中学23-24上学期半期测
高三数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知角是的内角，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．设复数，则
A． B．5 C． D．
4．已知函数解析式为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知在中，角所对的边分别为，且又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数的最小正周期为，且对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则（ ）

A． B．
C． D．
8．已知在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若在边长为1的正方形ABCD中，设，，，则
C．若，，则符合条件的ABC有两个
D．若，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
10．已知数列的前n项和，数列满足，若，，（，）成等差数列，则k的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，正确的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影向量为
12．在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（ ）
A．当时，P到底面ABC的距离为
B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有
C．当时，过点A作平面分别交线段PB，PC于点E，F（E，F不重合），则周长的最小值为
D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大
三、填空题（共20分）
13．设函数,则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是 ．
14．在等比数列中，，且，则数列的公比 .
15．在中，E，F分别为上的靠近 B，C的五等分点，且满足P为线段上的任一点，实数x，y满足，设 的面积分别为，记 ，则为取到最大值时，x，y的值分别为 ．
16．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题（共70分）
17．已知数列的前n项和为，满足
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若，求数列的前项和
18．已知函数（）.
（1）若当时，的最大值为，最小值为，求实数a，b的值
（2）若，设函数，且当时，恒成立，求实数m的取值范围.
19．直三棱柱中，已知，，.
（1）若为的中点，求三棱锥的体积，并证明：平面；
（2）将两块形状与该直三棱柱完全相同的木料按如下图所示两种方案沿阴影面进行切割，把木料一分为二，留下体积较大的一块木料.根据你所学的知识，请判断采用哪一种方案会使留下的木料表面积较大，并求出这个较大的表面积和说明理由.
20．以点P为圆心的圆过点，且与直线相切，记点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设过点的直线与C交于M，N两点，T是直线上任意一点，证明：直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
21．已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求，.
22．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)探究：是否存在实数，使得函数在上的最小值为2；若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
由题意，阴影部分在集合里面，在集合外面，
所以阴影部分所表示的集合为.
故选：A.
2．B
已知角是的内角，
当时，有；
当时，有或，
所以则“”是“”的充分不必要条件.
故选 ：B
3．C
由题意，所以，
故选C.
4．B
，，，所以.
故选：B．
5．C
设三角形ABC的外接圆的圆心为O',根据球的截面性质可知OO'⊥平面ABC,
如图所示，∵,∴AO'=,
∴OA=
∴球的体积为,
故选：C.
6．C
由，
所以函数的最小正周期是，
于是函数的最小正周期是，
因此函数的最小正周期为，
所以，则，
因此．由于对任意的恒成立，
所以在处取得最小值，
于是，
即，因为，所以的最小值为．
故选：C
7．D
.
故选：D
8．A
，在上恒成立，
设，，，
①必要性：
，恒成立，故，
故，
若，则存在，使时，，单调递增，
，不满足条件；
②充分性：
，，
设，在恒成立，故单调递减，，故恒成立，
综上所述：.
故选：A.
9．BD
对于A，由，则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由正弦定理得，即，则△ABC无解，故C错误；
对于D，若，则，即，
则在△ABC中，得或，故或，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D正确．
故选：BD．
10．AD
当时，，当时，，故（），（）．因为，，（，）成等差数列，所以，即，所以，（，），从而的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，
故选:AD．
11．AB
由题意，可得，，
对于A中，向量，所以，所以A正确；
对于B中，因为，
可得，所以B正确；
对于C中，因为，所以C不正确；
对于D中，因为在上的投影向量为，
又因为，所以，
因为，所以，所以D不正确．
故选：AB．
12．ACD
A，当时，，，
设正三棱锥的高为，，得，正确；
B，由，当正三棱锥的体积取最大值时，△面积及到面距离最大，
而，则到面距离最大为2，此时面，易知，错；
C，当时，过点A作平面分别交线段，于，不重合)，

将棱锥展开，如上图示，则周长的最小值为展开图的直线距离，正确；
D，在中根据余弦定理得，
所以，
所以，
因为，所以，故函数在上递增，
即当变大时，正三棱锥的表面积一定变大，正确．
故选：ACD．

13．
当x≥8时，f（x）≤3，即，
所以，即x≤27，
故此时x∈[8，27]；
当x＜8时，f（x）≤3，即2ex﹣8≤3，
所以，即，
故此时x∈（﹣∞，8）；
综上所述，x≤27，
故答案为．
14．
由，得，
由，得，，
所以，即，
所以，又，
所以，
故答案为：1.
15．2，2
解：因为，分别为，上的靠近，的五等分点，则，
故点到的距离等于三角形的边上的高的，则，
所以，，
由此可得，当且仅当时取等号，此时为的中点，
延长交于点，则为的中点，
则，
所以，又，
所以，
故当取得最大值时，，的值分别为2，2．，
故答案为：2，2．
16．
对任意的，，则，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，且，
则，则，可得，
令，其中，则，
由，可得，由，可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，故，故.
故答案为：.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：由题可知，
①
②
得∶，即
当时，由①知
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可知，
所以
所以
.
18．（1），；（2）.
（1），
∵，，
∴当时，，.
解得或（舍去），
∴，.
当时，，.
解得（舍去）.
综上所述，，.
（2）解法一：.
当时，恒成立，
，令，则.
，
由对勾函数的性质得
，
所以.
∴m的取值范围是.
解法二：.
当时，恒成立，
令，则，则在上恒成立，
则，即.
∴m的取值范围是.
19．（1），证明见解析;（2）按方案2会使留下的木料表面积较大，这个较大的表面积为，理由见解析.
（1）由题设，易知是直角三角形，
∴，则，
证明：连接交直线于点，则点为的中点，又为的中点，
∴，又面，面，
∴平面.
（2）按方案1切割：由，故体积较大的一块是四棱锥，其表面积，
在中，，
∴，则为为直角的直角三角形，其面积，
∴；
按方案2切割：由，故体积较大的一块是四棱锥，其表面积，
在中，，则为等腰三角形，其面积，
∴，
综上，，故，
∴按方案2会使留下的木料表面积较大，这个较大的表面积为.
20．(1).
(2)证明见解析.
（1）
据题意知：点P到点的距离等于点P到直线的距离，
所以点P的轨迹C是以A为焦点，直线为准线的抛物线，
从而点P的轨迹方程为.
（2）
设，直线，，，
由，得，
故，，，
所以，
从而，，，
所以
，
所以，
即直线TM，TH，TN的斜率成等差数列.
21．(1)
(2)，
（1）设数列的首项为，公差为，则.
，
由，故.
因为，所以
解得，，故.
（2）当，时，
, 所以.
当，时，，
，
所以
由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数.
当为奇数，为偶数时，则，
所以，，；
当为偶数，为奇数时，则，所以，，.
因为，所以，.
22．(1)见解析；
(2)存在实数，理由见解析.
（1）因为函数，所以定义域为：.
，
当时，，则在区间上单调递增；
当时，，即，，
所以方程有两个实数根，.
①当时，，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
②当时，，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
综上所述：当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）因为，则，所以的定义域为.
，令，则.
若时，在区间单调递增，没有最小值，不符合题意，舍去；
若时，在区间单调递减，区间单调递增，
此时最小值为，则，不在范围内，舍去；
若时，在区间单调递减，
此时最小值为，则；
所以，存在实数，使得函数在上的最小值为2.