广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高一上学期第二次月测（12月）数学试卷(含答案)

2023-2024学年南海艺术高级中学高一上学期第二次月测数学试卷
一、单项选择题：（共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的所有零点构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
3.已知对数函数（且），且图象过点（9，2），的反函数记为，则的解析式是（ ）
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
6.函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数的图象过原点，且无线接近直线但不与该直线相交，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
8.某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A.y是x的函数 B.w是y的函数
C.w是z的函数 D.w是x的函数
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选错的得0分，部分选对的得2分）
9.下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数为奇函数，则（ ）
A. B.为上的增函数
C.的解集为 D.的值域为
11.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的是（ ）
A. B.为偶函数
C. D.的值域为
12.如果一个函数在其定义区间内对任意a、b都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数中是下凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题.每小题5分，共20分）
13.函数的定义域是____________.
14若，则的最小值为____________；
15.已知函数，，则___________.
16.计算__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）如图，已知偶函数.
（1）将上图补充完整；
（2）写出的单调区间.
18.（10分）已知函数，.
（1）写出的单调性，并用定义证明；
（2）求的最值.
19.（12分）一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义；
（2）假设这辆汽车里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式.
20.（12分）已知函数.
（1）当为何值，为偶函数，说明理由；
（2）若，证明：；
（3）若，求证：有两个不相等的实数根.
21.（12分）已知为定义在区间上的偶函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出函数的图象，写出函数的单调区间，并指出单调性.
22.（12分）已知函数.
（1）若，，求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）记函数，判断的奇偶性并证明.
参考答案
一、选择题
1.C；2.C；3.D；4.B；5.A；6.D；7.A；8.B；9.ABD；10.AC；11.AC；12.ABC
三、填空题
13. 14. 15.-2 16.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）
（2）单调递增区间为（-3，-1），（0，1），（3，4），的单调递减区间为（-4，-3），（-1，0），（1，3）
18.（1）在上单调递减
证明：，且，
∵，且，∴，，
，即
∴在上单调递减.
（2）由（1）可知，在上单调递减.
∵，∴.
∴，
∴的最大值为1，最小值为.
19.（1）220，阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为220km
（2）
20.（1）当时，为偶函数.
理由如下：∵为偶函数，∴
，∴.
∵，∴.
（2）当时，
∴
（3）∵，∴
即，
∵，∴，，∴即
∴有两个不相等的实数根.
21.解：（1）设，则，
由已知，
又为定义在区间上的偶函数，得，所以.
（2）由（1）可得函数图象如图所示.
所以的单调增区间是，单调减区间是
22.（1）由，，得，，
所以.
（2）由题得，
即，
所以，解得，所以，
所以不等的解集为.
（3）是奇函数，
由题得，所以或，
所以定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以函数是奇函数.