21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
教学目标：
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0)的方程.
2.理解解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系,体会转化的思想方法.
教学重难点：
重点:运用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0)的方程.
难点:会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
教学方法：讲授法、练习法
教学课时：1
教学过程：
课堂导入
1.如果x2=a,则x叫做a的 ;
2.如果x2=a(a≥0),则x= ;
3.如果x2=64,则x= ;
4.任何数都可以作为被开方数吗
教授新知
知识点 直接开平方法
解下列方程,并说明你所用的方法,与同伴交流.
(1)x2=4; (2)x2=0; (3)x2+1=0.
解:(1)根据平方根的意义,得x1=2,x2=-2.
(2)根据平方根的意义,得x1=x2=0.
(3)根据平方根的意义,得x2=-1,
因为负数没有平方根,所以原方程无解.
像以上利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
[归纳] 一般地,对于方程x2=p.
(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程有两个不等的实数根x1=,x2=-;
(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时,因为任何实数x,都有x2≥0,所以方程无实数根.
范例应用
例题 解下列方程:
(1)3x2-27=0; (2)(x+3)2=4; (3)4(x-2)2-36=0; (4)x2+2x+1=9.
[思路分析] 把已知方程变形为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式,再对方程的两边直接开平方.
解:(1)移项,得3x2=27.
方程两边同时除以3,得x2=9.
方程两边开平方,得x=±3.
所以x1=3,x2=-3.
(2)方程两边同时乘3,得(x+3)2=12.
方程两边开平方,得x+3=±2.
所以x1=2-3,x2=-2-3.
(3)移项,得4(x-2)2=36.
方程两边同时除以4,得(x-2)2=9.
方程两边开平方,得x-2=±3.
所以x1=5,x2=-1.
(4)根据完全平方公式,可将原方程变形为(x+1)2=9.
方程两边开平方,得x+1=±3.
即x+1=3或x+1=-3,
所以x1=2,x2=-4.
[归纳总结] 能用直接开平方法解的一元二次方程的特点:具有x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式.
课堂训练
1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是(D)
A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4
2.若(x+1)2-1=0,则x的值为(D)
A.±1 B.±2 C.0或2 D.0或-2
3.已知关于x的一元二次方程(x+1)2-m=0有两个实数根,则m的取值范围是(B)
A.m≥- B.m≥0 C.m≥1 D.m≥2
4.方程4x2+4x+1=0的解是(D)
A.x1=x2=2 B.x1=x2=-2 C.x1=x2= D.x1=x2=-
5.解下列方程:
(1)16x2-49=0; (2)64(1+x)2=100; (3)(x-3)2-9=0; (4)(3x-1)2=(3-2x)2.
解:(1)16x2=49
x2=.
开平方得x=±,
即x1=,x2=-.
(2)(1+x)2=.
开平方得1+x=±.
所以x1=,x2=-.
(3)移项,得(x-3)2=9.
开平方,得x-3=±3.
所以x1=6,x2=0.
(4)两边开平方,得3x-1=±(3-2x).
所以3x-1=3-2x或3x-1=-3+2x.
所以x1= 或x2=-2.
课堂小结
1.掌握具有什么特点的一元二次方程适用直接开平方法.
2.直接开平方法的实质是“降次”:转化为两个一元一次方程.
板书设计
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
教学反思
本课时通过创设问题情景,激发学生创新的欲望,通过回忆旧知识,为新知识做好铺垫,教师引导学生自主合作、探究验证,培养学生分析问题、解析问题的能力及转化思想的运用.21.2.1 配方法
第2课时 配方法
教学目标：
1.探究将一元二次方程的一般形式转化为(x+a)2=b(b≥0)的形式,理解配方法的意义.
2.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程,体会转化的思想方法.
教学重难点：
重点:用配方法解数字系数的一元二次方程.
难点:配方的过程.
教学方法：讲授法、练习法
教学课时：1
教学过程：
课堂导入
1.解一元二次方程的基本思路是什么样的
2.什么样的方程可以用直接开平方法解
3.想一想:下列方程能用直接开平方法来解吗
(1)x2+6x+9=5; (2)x2+6x+4=0.
讲授新课
知识点1 配方法
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1)x2+4x+ 4 =(x+ 2 )2; (2)x2-6x+ 9 =(x- 3 )2;
(3)x2+8x+ 16 =(x+ 4 )2; (4)x2-x+ =（x- ）2;
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
知识点2 配方法的步骤
解方程2x2-8x+1=0.
解:移项,得2x2-8x=-1,
二次项系数化为1,得x2-4x=-,
配方,得x2-4x+22=-+22,
(x-2)2=,
开平方,得x-2=±,
所以x1=2+,x2=2-.
[总结] 步骤:(1)一移:把常数项移到方程的右边;
(2)二化:把二次项系数化为1;
(3)三配:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
(4)四开:根据平方根的意义,方程两边开平方;
(5)五解:解一元一次方程.
范例应用
例题 解下列方程:
(1)x2-8x+1=0; (2)2x2+1=3x; (3)3x2-6x+4=0.
解:(1)x2-8x=-1.
x2-8x+16=-1+16.
(x-4)2=15.
所以x-4=±.
所以x1=4+,x2=4-.
(2)2x2-3x=-1.
x2-x=-.
x2-x+（）2=-+（）2.
（x-）2=.
所以x- =±.
所以x1=1,x2=.
(3)x2-2x+=0.
x2-2x=-.
x2-2x+1=-+1.
所以(x-1)2=-<0.
所以该方程无解.
课堂训练
1.一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为(C)
A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x-4)2=17 D.(x-4)2=15
2.将方程x2-2x=2配方成(x+a)2=k的形式,则方程的两边需加上 1 .
3.在横线上填上适当的数,使等式成立.
(1)x2+ 18 x+81=(x+ 9 )2; (2)4x2+4x+ 1 =(2x+ 1 )2.
4.用配方法解下列方程:
(1)x2-2x-3=0; (2)2x2-7x+6=0; (3)(2x-1)2=x(3x+2)-7.
解:(1)x2-2x=3.
x2-2x+1=3+1.
(x-1)2=4.
x-1=±2.
x1=3,x2=-1.
(2)x2-x+3=0.
x2-x=-3.
x2-x+=-3+.
（x-）2=.
x- =±.
x1=2,x2=.
(3)4x2-4x+1=3x2+2x-7.
x2-6x=-8.
x2-6x+9=-8+9.
(x-3)2=1.
x-3=±1.
x1=4,x2=2.
课堂小结
1.用配方法解一元二次方程的一般步骤:一移→二化→三配→四开→五解.
2.一元二次方程的配方和二次三项式的配方有何区别和联系
板书设计
第2课时 配方法
教学反思
本节课用配方法解一元二次方程是解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式的推导就是配方的应用,另外课堂上重在学生的自主参与,进而获得成功的体验,在数学方法上突出转化的思想,激发学生的学习兴趣,建立自信.
