重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高三上学期12月期中数学试题（含解析）

2023-2024学年（上）期中学业质量联合调研抽测
高三数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，．则（ ）
A． B． C． D．
2．设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列中，，则（　　）
A．7 B．11 C．9 D．18
4．如图是一个棱长为2的正方体被过棱、的中点、，顶点和过点顶点、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知平面直角坐标系中的3点，则中最大角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，为锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则线段长度的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．已知复数在复平面内对应的点为P，则（ ）
A．P在第二象限 B．P在第四象限
C． D．z的虚部为
10．已知圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内 B．圆的半径为1
C．圆关于对称 D．直线与圆相切
11．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝（ ）
A．－10 B．－8 C．8 D．10
12．如图，已知三个两两互相垂直的半平面，，交于点，矩形的边在半平面内，顶点，分别在半平面，内，，，与平面所成角为，二面角的余弦值为，则同时与半平面，，和平面都相切的球的半径为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的图象在处的切线方程是 ．
14．若等差数列的前10项和为30，前20项和为100，则前30项和为
15．若方程在上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ．
16．已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；②数列的前项和；
③数列每一项都满足成立；④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，则求：
（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系
（2）请写出集合A的所有非空真子集
18．已知命题p:x2+2x-15≤0，命题q:︱x-1︱≤m (m>0)，若 p是 q的必要不充分条件，
求实数m的取值范围
19．如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，.
(1)若中三个内角、、分别对应的边长为、、，的面积，，求和；
(2)若，且，设，求对角线的最大值和此时的值.
20．如图，在三棱台中，，平面，，，，且D为中点.求证：平面；
21．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程．
22．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数（），若在上为增函数，求实数a的取值范围.
2023-2024学年（上）期中学业质量联合调研抽测
高三数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1．A 2．C 3．C 4．C
5．C【分析】根据夹角公式算出每个内角的余弦值，然后分析可得结果.
6．D【分析】由条件，结合同角关系求，再由特殊角三角函数值求，再利用两角差的余弦公式求.
7．D【分析】由题设条件可得函数的图象关于对称，且关于直线对称，从而得到为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误.
8．B【分析】取CD的中点为N,的中点为R,的中点为H,证明平面MNRH//平面,平面,线段MP扫过的图形为,通过证明,说明为直角,得线段长度的取值范围为即可得解.
9．AC 10．BCD
11．AC【分析】设等比数列的公比为，解方程求出的值即得解.
12．AC【分析】如图，补形为一个长方体，然后以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O –xyz，由线面角和二面角的定义可求得，的坐标，求得平面ABCD的法向量，设平面ABCD与轴的交点分别为：，将原问题进一步等价于求三棱锥O - P1 P2 P3的内切球半径，运用等体积法可求得答案．
13．（或）
14．
15．
16．①③④
17．（1）的子集有，，，，，，，共8个，
其中 .
（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.
18．解：x2+2x﹣15≤0的解集为[﹣5，3]，
故命题p成立有x∈[﹣5，3]，
由︱x-1︱≤m (m>0)，，
得x∈[1﹣m，m+1]，
若 p是 q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，
因此有[﹣5，3] [1﹣m，m+1]，
即，（两个等号不能同时取到）
解得：
故答案为．
19．（1）解：因为的面积，即，
整理可得，所以，，
又因为，则，设，则，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，则，所以，，
因为，则，所以，，
因为，则，所以，，解得，即.
（2）解：因为，则，其中，
则，
由余弦定理可得
，则，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，，故，故为等腰直角三角形，
则，
所以，
，
易知，则，
故当时，即当时，取最大值，且最大值为.
20．由题意，以点为坐标原点，，,分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
故，
，
即，
又平面，
故平面.
21．由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，即，
在直线的方程中，令，可得；
令，可得.
所以点，
由已知条件可得，得，
所以的面积为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线的方程为.
22．（1），的定义域为.
，
设，
，
，
所以在区间递增；
在区间递减.
（2），，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，
当时，；
当时，，，
所以在上递增，
，
所以，即的取值范围是.