人教版数学九年级上册 24.3 正多边形和圆学案

正多边形与圆
【学习目标】
（1）了解用量角器等分圆心角来等分圆；掌握用尺规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形；
（2）通过画图培养学生的画图能力；
（3）对学生进行审美教育，提高学生的审美能力，促进学生对几何学习的热情。
【学习重难点】
重点：（1）量角器等分圆心角来等分圆；
（2）尺规作圆内接正方形和正六边形。
难点：准确作图。
【学习过程】
一、提出问题：
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形。
教师组织学生进行，方法不限。
目的：充分发展学生的发散思维。
二、解决问题：
以下为解决问题的参考方案：（上课时教师归纳学生的方法）
（1）度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°。
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°。
（2）尺规法：（如上右图）用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB．BC．CA即可。
（3）计算与尺规结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长= R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦AB．AC，连结AB．BC．CA即可。
三、研究、归纳
1．用量角器等分圆：
依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等。
操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大。
问题2：把半径为2cm⊙O九等份。
（先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°）
归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差。
2．用尺规等分圆：
（1）问题3：作正四边形、正八边形。
教师组织学生，分析、作图。
归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
（2）问题4：作正六、三、十二边形。
教师组织学生，分析、作图。
归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画。
四、总结
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形。