人教版数学九年级上册 24.4 弧长和扇形面积 学案（无答案）

弧长和扇形的面积
【学习目标】
1．掌握弧长的计算公式；
2能灵活应用弧长的计算公式解决有关的问题，并在应用中培养学生的分析问题、解决问题的能力；
3．掌握扇形面积公式的推导过程，运用扇形面积公式进行一些有关计算；
4．通过弧长公式、扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力
自学并回答下列问题
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧。
1°的圆心角所对的弧长是_______。
2°的圆心角所对的弧长是_______。
4°的圆心角所对的弧长是_______。
……
n°的圆心角所对的弧长是_______。
2．什么叫扇形？
3．圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；
设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
……
设圆的半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______。
【学习重难点】
1．学习重点：是对弧长和扇形面积计算公式的灵活运用。
2．学习难点：是弧长和扇形面积计算公式的推导和组合图形的面积计算。
【学习过程】
一、圆心角
1.圆心角所对弧长=；
n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
n°圆心角所对弧长=
归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则（弧长公式）
例1．填空：
（1）半径为3cm，120°的圆心角所对的弧长是_______cm；
（2）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为_______；
（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为_______。
（在弧长公式中l、n、R知二求一。）
例2．如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形周长
例3．如图：四边形ABCD是正方形，曲线DAlBlClDl……叫做“正方形的渐开线”，其中中 、 、 、 …的圆心依次按A、B、C．D循环，它们依次连接。取AB=l，则曲线DAlBl…C2D2的长是______（结果保留π）。
二、扇形的面积
（1）圆面积S=πR2；（2）圆心角为1°的扇形的面积= ；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积= 。
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形= （扇形面积公式）
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形= lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了。这样对比，帮助学生记忆公式。实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限。要让学生在理解的基础上记住公式。
例题与练习：
1．扇形的面积为 cm2，扇形所在圆的半径 cm，则圆心角为______度。
2．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为______。
3．已知扇形的半径为5cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为______cm。
4．已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。
三、思考应用
问题：正方形的边长为4，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积。
反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律。（3）求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等。
四、作业与练习
1．如图1所示，矩形中长和宽分别为10 cm和6cm，则阴影部分的面积为______。
2．如图2所示，边长为a的正三角形中，阴影部分的面积为______。
3如图，在边长l的正方形中，以各顶点为圆心，
对角线长的一半为半径在正方形内画弧，
则图中阴影部分的面积为_______。
4．探究活动：已知由若干根钢管的外直径均为d，想用一根金属带紧密地捆在一起，求金属带的长度。
请根据下列特殊情况，找出规律，并加以证明。
提示：设钢管的根数为n，金属带的长度为Ln如图：
当n=2时，L2=（π+2）D．当n=3时，L3=（π+3）D．当n=4时，L4=（π+4）D．
当n=5时，L5=（π+5）D．当n=6时，L6=（π+6）D．当n=7时，L7=（π+6）D．
当n=8时，L8=（π+7）D．
猜测：若最外层有n根钢管，两两相邻接排列成一个向外凸的圈，相邻两圆是切，则金属带的长度为L=（π+n）D．
【学习小结】
这节课学习了哪些计算公式？你能灵活应用弧长与扇形的计算公式解决有关的问题吗？