第二十八章 锐角三角函数 复习课件（共49张PPT）
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数 复习课件（共49张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-04 20:53:45 | ||
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文档简介
(共49张PPT)
锐角三角函数
章节总结
第二十八章
学习目标
1）理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°的三角函数值，并会进行计算.
2）掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形.
3）利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.
4）进一步培养学生分析问题和解决问题的能力.
锐角三角函数为解直角三角形的基础，及提供了有效的工具.相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和“相似”两章有着密切关系.
基础巩固（正弦）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
即 sin A= =
正弦的表示：
1）sinA、sin40 °、sinα（省去角的符号）
2）sin∠ABC 、sin∠1 （不能省去角的符号）
基础巩固（余弦）
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即 cos A= =
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
基础巩固（正切）
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，
即 tan A= =
基础巩固（特殊角的锐角三角函数）
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
基础巩固（特殊角的锐角三角函数）
1）α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值
越 ；对于cosα，角度越大，函数值越 .
大
小
2）互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则
sinA cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.
cosA sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.
tanA·tanB = ，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.
=
=
1
基础巩固（利用计算器求锐角三角函数值）
利用计算器求锐角三角函数值的方法：
1）当锐角的大小以度为单位时，可先按 ， ， 键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按 键，就可以在显示屏上显示出结果；
2）当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助 键计算，按键顺序是： (或 、 )、度数、 、分数、 、秒数、 、 .
sin
cos
tan
=
.,,,
sin
cos
tan
.,,,
.,,,
.,,,
=
注意：1）不同的计算器操作步骤可能有所不同.
基础巩固（解直角三角形）
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：
2）三边之间的关系：
3）两锐角之间的关系：
4）边角之间的关系：
∠A＋∠B＝90°
（勾股定理）
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
cos A= =
tan A= =
sin A= = ，sin B= =
边：a、b、c，角：∠A、∠B
基础巩固（解直角三角形）
解直角三角形常见类型及方法：
已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边和一直角边 (如c,a) ①
②
③
两直角边 (如a,b) ①
②
③
∠B=90°－∠A
∠B=90°－∠A
基础巩固（利用解直角三角形解决实际问题）
利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：
1.将实际问题抽象为数学问题. 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
基础巩固（利用解直角三角形解决实际问题）
在视线与水平线所成的角中规定:
1)视线在水平线上方的叫做仰角，
2)视线在水平线下方的叫做俯角.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.
基础巩固（利用解直角三角形解决实际问题）
坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】
热考题型
题型一（求正弦值）
1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】作AB⊥x轴交x轴于点B，
∵A（3，4），∴AB=4，BO=3，
∴AO===5，
∴sin ==.
故选C.
B
2.[易错题]把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
题型二（利用正弦值求解）
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，AB=9，那么BC=______.
2．在中，，若，则的长是（ ）
A．30 B． C．60 D．80
3
A
B
C
解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，∴AB==80，故选D．
题型三（求余弦值）
1 在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角的余弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
2 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型四（利用余弦值求解）
1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于_____．
2. Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．
A
B
C
8
4
3. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=____.
【详解】∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高
∴∠BAC=∠ADB=90°
∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，cosB=
∴∠B=∠CAD，cos∠CAD=
在Rt△ADC中，AD=4，∴AC==5.故答案为5.
题型五（求正切值）
1. 如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【详解】解：连接BD，如图所示：根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
题型五（求正切值）
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，
sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.
题型六（利用正切值求解）
1.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：
(1)CD的长 (2)cosB的值
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，，∴；
（2）由（1）得CD=4，∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴．
题型六（利用正切值求解）
2. 已知：如图，中，于点，若，，求．
【详解】
解：∵ ∴CD=4
∵ ∴ ∴AD=BD=6 ∴tanC=
题型七（利用特殊角三角函数值求解）
1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
题型七（利用特殊角三角函数值求解）
3. 在实数、、、中，最大的是（ ）
A．0 B． C． D．-1
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
题型七（利用特殊角三角函数值求解）
5.计算sin245°+cos 30°·tan 60°,其结果是( )
A．2 B．1 C． D．
6.计算：（）﹣1﹣tan60° cos30°＝（ ）
A．﹣ B．1 C． D．
7.计算：=______．
8.计算：___________.
3
题型八（锐角三角函数增减性）
1 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
2 已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( )
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
题型九（利用计算器求锐角三角函数值）
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=42°37'，BC=8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
题型十（解直角三角形）
1 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为________
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．
2 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，
∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，
∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB=．故选B．
题型十（解直角三角形）
解：圆锥的侧面展开如图：过作，则，
设，即： ，解得：，
，，
∴，
即爬行的最短距离为．
3．如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．
题型十一（利用解直角三角形解决实际问题）
1 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB sinα=300sinα米．故选A．
2 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为___________
【详解】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，故选C．
题型十一（利用解直角三角形解决实际问题）
3 如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（ ）米．
A． B． C．8 D．6
【详解】
解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF
∵∠CDE=30°，CD=8 ∴CF=CD·sin30°=8=4，DF=CD·cos30°=8=
∴DE= EF+DF=10+又∵1米的杆影长恰好为1米
∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+
∴AB=AE-BE=10+-4=6+．
故答案为A．
题型十一（利用解直角三角形解决实际问题）
4 如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
【详解】
解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，∴．
∵在中，，∴．
又，∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．
直击中考
在中考中，直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查；锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查。
真题
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，
∴大正方形的边长，小正方形的边长，
∵，∴，
在中，，
∴，解得（负值舍去）
∴．故选A．
真题
2．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
，
，又点是的中点，，
，故答案为：．
真题
3．（2021·湖北宜昌·中考）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：作AD⊥BC于D，
由图可知：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中，，
∴ =，
故选：B．
真题
4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E
∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6，
故选：C．
真题
5．（2023·四川南充·中考）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
真题
6．（2023·天津·中考真题）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2023·四川眉山·中考真题）计算：
解：原式．
真题
8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
解：连接，
∵是的切线，为切点，∴，
∵，，
∴在中，，
∵，∴在，，
故选．
真题
9．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
解：连接，如图所示，
，，
，，，
在中，，，
故选：B．
真题
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故选B．
10．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
真题
11．（2022·湖北随州·中考真题）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．C． D．
【详解】设AB=x，由题意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，
∵CD=BC-BD，∴，
∴，即AB=，
故选：D．
真题
12．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，
∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．
故选：A．
真题
13．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250)米 B．(600－250)米
C．(350＋350)米 D．500米
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故选B．
真题
14．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（1）解：过作的垂线，垂足为H，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，
∴米，根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，
∴（米）；
真题
14．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在中，∴米，
∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，
∴（米），
∴（米），∴经过点到达点，总路程为，
∴经过点到达点较近．
锐角三角函数
章节总结
第二十八章
学习目标
1）理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30°，45°，60°的三角函数值，并会进行计算.
2）掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形.
3）利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.
4）进一步培养学生分析问题和解决问题的能力.
锐角三角函数为解直角三角形的基础，及提供了有效的工具.相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和“相似”两章有着密切关系.
基础巩固（正弦）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA.
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
即 sin A= =
正弦的表示：
1）sinA、sin40 °、sinα（省去角的符号）
2）sin∠ABC 、sin∠1 （不能省去角的符号）
基础巩固（余弦）
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即 cos A= =
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
基础巩固（正切）
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，
即 tan A= =
基础巩固（特殊角的锐角三角函数）
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
1
基础巩固（特殊角的锐角三角函数）
1）α为锐角，对于sinα与tanα，角度越大，函数值
越 ；对于cosα，角度越大，函数值越 .
大
小
2）互余的两角之间的三角函数关系：
若∠A+∠B=90°，则
sinA cosB，即一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值.
cosA sinB，即一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值.
tanA·tanB = ，即一个锐角的正切值与这个角的余角的正切值互为倒数.
=
=
1
基础巩固（利用计算器求锐角三角函数值）
利用计算器求锐角三角函数值的方法：
1）当锐角的大小以度为单位时，可先按 ， ， 键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按 键，就可以在显示屏上显示出结果；
2）当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助 键计算，按键顺序是： (或 、 )、度数、 、分数、 、秒数、 、 .
sin
cos
tan
=
.,,,
sin
cos
tan
.,,,
.,,,
.,,,
=
注意：1）不同的计算器操作步骤可能有所不同.
基础巩固（解直角三角形）
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
1）直角三角形的五个元素：
2）三边之间的关系：
3）两锐角之间的关系：
4）边角之间的关系：
∠A＋∠B＝90°
（勾股定理）
对边
A
B
C
c
a
b
斜边
邻边
cos A= =
tan A= =
sin A= = ，sin B= =
边：a、b、c，角：∠A、∠B
基础巩固（解直角三角形）
解直角三角形常见类型及方法：
已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边和一直角边 (如c,a) ①
②
③
两直角边 (如a,b) ①
②
③
∠B=90°－∠A
∠B=90°－∠A
基础巩固（利用解直角三角形解决实际问题）
利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：
1.将实际问题抽象为数学问题. 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题；
2.根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
基础巩固（利用解直角三角形解决实际问题）
在视线与水平线所成的角中规定:
1)视线在水平线上方的叫做仰角，
2)视线在水平线下方的叫做俯角.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.
基础巩固（利用解直角三角形解决实际问题）
坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度h和水平距离l的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示.【即坡角的正切值（可写作：i=tan坡角）】
热考题型
题型一（求正弦值）
1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】作AB⊥x轴交x轴于点B，
∵A（3，4），∴AB=4，BO=3，
∴AO===5，
∴sin ==.
故选C.
B
2.[易错题]把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
题型二（利用正弦值求解）
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，AB=9，那么BC=______.
2．在中，，若，则的长是（ ）
A．30 B． C．60 D．80
3
A
B
C
解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，∴AB==80，故选D．
题型三（求余弦值）
1 在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角的余弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化
2 如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型四（利用余弦值求解）
1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝6cm，那么BC等于_____．
2. Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为_____．
A
B
C
8
4
3. 如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=____.
【详解】∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高
∴∠BAC=∠ADB=90°
∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，cosB=
∴∠B=∠CAD，cos∠CAD=
在Rt△ADC中，AD=4，∴AC==5.故答案为5.
题型五（求正切值）
1. 如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【详解】解：连接BD，如图所示：根据网格特点可知，，
∴，
∵， ，
∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确．
故选：D．
题型五（求正切值）
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.
sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，
sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.
题型六（利用正切值求解）
1.如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：
(1)CD的长 (2)cosB的值
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，，∴；
（2）由（1）得CD=4，∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴．
题型六（利用正切值求解）
2. 已知：如图，中，于点，若，，求．
【详解】
解：∵ ∴CD=4
∵ ∴ ∴AD=BD=6 ∴tanC=
题型七（利用特殊角三角函数值求解）
1.已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
2.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（ ）
A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°
C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°
题型七（利用特殊角三角函数值求解）
3. 在实数、、、中，最大的是（ ）
A．0 B． C． D．-1
4.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
题型七（利用特殊角三角函数值求解）
5.计算sin245°+cos 30°·tan 60°,其结果是( )
A．2 B．1 C． D．
6.计算：（）﹣1﹣tan60° cos30°＝（ ）
A．﹣ B．1 C． D．
7.计算：=______．
8.计算：___________.
3
题型八（锐角三角函数增减性）
1 当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
2 已知，那么锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3 若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是( )
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
题型九（利用计算器求锐角三角函数值）
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=42°37'，BC=8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
题型十（解直角三角形）
1 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为________
【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．
2 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，
∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，
∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB=．故选B．
题型十（解直角三角形）
解：圆锥的侧面展开如图：过作，则，
设，即： ，解得：，
，，
∴，
即爬行的最短距离为．
3．如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．
题型十一（利用解直角三角形解决实际问题）
1 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB sinα=300sinα米．故选A．
2 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为___________
【详解】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，
∴BC＝atanα，BD＝atanβ，
∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，故选C．
题型十一（利用解直角三角形解决实际问题）
3 如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（ ）米．
A． B． C．8 D．6
【详解】
解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF
∵∠CDE=30°，CD=8 ∴CF=CD·sin30°=8=4，DF=CD·cos30°=8=
∴DE= EF+DF=10+又∵1米的杆影长恰好为1米
∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+
∴AB=AE-BE=10+-4=6+．
故答案为A．
题型十一（利用解直角三角形解决实际问题）
4 如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，．
【详解】
解：如图，根据题意，，，，．
∵在中，，∴．
∵在中，，∴．
又，∴．
∴．
答：这座灯塔的高度约为45m．
直击中考
在中考中，直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查；锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查。
真题
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ）
A． B． C． D．
解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1，
∴大正方形的边长，小正方形的边长，
∵，∴，
在中，，
∴，解得（负值舍去）
∴．故选A．
真题
2．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则 ．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
，
，又点是的中点，，
，故答案为：．
真题
3．（2021·湖北宜昌·中考）如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：作AD⊥BC于D，
由图可知：AD=3，BD=3，
在Rt△ABD中，，
∴ =，
故选：B．
真题
4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
【详解】解：如图，作，，交的延长线于点E
∴，，
∴，，
∵是锐角三角形，
∴，即，
∴满足条件的长可以是6，
故选：C．
真题
5．（2023·四川南充·中考）如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
真题
6．（2023·天津·中考真题）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2023·四川眉山·中考真题）计算：
解：原式．
真题
8．（2023·重庆·统考中考真题）如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
解：连接，
∵是的切线，为切点，∴，
∵，，
∴在中，，
∵，∴在，，
故选．
真题
9．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
解：连接，如图所示，
，，
，，，
在中，，，
故选：B．
真题
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴m，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故选B．
10．（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B．
C． D．
真题
11．（2022·湖北随州·中考真题）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．C． D．
【详解】设AB=x，由题意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴，，
∵CD=BC-BD，∴，
∴，即AB=，
故选：D．
真题
12．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×cosα×tan45°=mcosα，
∴AB=AD-BD=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．
故选：A．
真题
13．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高( )
A．(600－250)米 B．(600－250)米
C．(350＋350)米 D．500米
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．
故选B．
真题
14．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（1）解：过作的垂线，垂足为H，
∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，
∴米，根据题意得：∠D=45°，
∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，
∴（米）；
真题
14．（2022·重庆·中考真题）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东．
(1)求步道的长度（精确到个位）；
(2)点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，）
（2）解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，
在中，∴米，
∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米，
∴（米），
∴（米），∴经过点到达点，总路程为，
∴经过点到达点较近．