7.5解直角三角形 同步练习题（含解析） 苏科版九年级数学下册

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（　　）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　）
A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝
3．如图，在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，则BC的长度为（　　）
A． B．2 C．1+ D．3
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（　　）
A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.8
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，则AC的长度是（　　）
A． B．2 C．8 D．
6．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正切值是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
二．填空题
9．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，sinA＝，tanB＝2，AB＝29，则S△ABC＝　 　．
10．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝　 　．
11．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 　 　．
12．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 　 　cm2．
13．如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则sin∠BAC的值为 　 　．
14．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC上，且tan∠ADE＝tan∠ABC＝，若，则的值为 　 　．
三．解答题
15．（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，解这个直角三角形．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度数．
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4
联结AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A＝60°，求BC的长；
（2）若sinE＝，求AD的长．
19．如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．
（1）求线段BC的长；
（2）求∠BOC的正弦值．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　 　．
参考答案
一．选择题
1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（　　）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
解：如图．
∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，
∴sinA＝．
∴BC＝6．
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　）
A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，
故A、B不符合题意；
在Rt△BAC中，sinC＝，
故C符合题意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，
∴cosC＝cos∠BAD＝，
故D不符合题意；
故选：C．
3．如图，在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，则BC的长度为（　　）
A． B．2 C．1+ D．3
解：过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，∠C＝30°，AC＝2，
∴AD＝AC＝1，
∴CD＝，
在Rt△ADB中，∠B＝45°，AD＝1，
∴BD＝AD＝1，
∴BC＝BD+CD＝1+．
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D和点E分别是BC和AB上的点，已知DE⊥AB，，AC＝8，CD＝2，则DE的长为（　　）
A．3.2 B．4 C．4.5 D．4.8
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∴，即，
解得AB＝10，
∴，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵DE⊥AB，
∴，即，
解得DE＝3.2．
故选：A．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且，则AC的长度是（　　）
A． B．2 C．8 D．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴OD＝＝＝4，
∴AC＝2OD＝8．
故选：C．
6．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正切值是（　　）
A． B． C． D．
解：过点B作BC⊥AO于点C，
由勾股定理可知：AO＝＝2，
BO＝＝2，
由图可知：S△ABO＝×2×2＝2，
∵S△ABO＝AO BC，
∴BC＝，
在Rt△OBC中，
由勾股定理可知：CO＝
＝，
∴tan∠COB＝＝＝．
故选：C．
7．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝（　　）
A． B． C． D．
解：如图，连接BE、AE．
则：EB＝，AB＝．
∵CD、BE、AE都是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．
∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．
∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．
∴cos∠ABE＝＝＝．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
解：∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴，
∵OC：OB＝1：3，
∴，
∴，
过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图，
∴∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2OQ＝2，
∴AQ＝3，
∴tan∠APQ＝＝3，
∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．
故选：B．
二．填空题
9．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，sinA＝，tanB＝2，AB＝29，则S△ABC＝　145　．
解：如图，过点C作AB的垂线，垂足为D．
∵sinA＝＝，
设CD＝5x，AC＝13x（x＞0），
∴AD＝＝12x．
∵tanB＝＝2，
可设CD＝2y，BD＝y（y＞0），
∴BD＝y＝CD＝，
∴AB＝AD+BD＝12x+x＝x．
由29＝x，得x＝2．
则CD＝5x＝10．
故S△ABC＝AB CD＝×29×10＝145．
故答案为：145．
10．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝　　．
解：设PQ⊥x轴于Q，则OQ＝3，如图所示：
由sinα＝＝，
设PQ＝4a，则OP＝5a，
∵OQ＝3，
∵OQ2+PQ2＝OP2，即32+（4a）2＝（5a）2，
∴a＝1（负值舍去），
∴PQ＝4，OP＝5，
则tanα＝＝，
故答案为：．
11．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 　　．
解：∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，
在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，
∵BC2+BD2＝CD2，
∴32+x2＝（5﹣x）2，
∴x＝1.6，
∴BD＝1.6，
∴tan∠CDB＝＝＝，
∴tan2α＝，
故答案为：．
12．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 　2　cm2．
解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为：2．
13．如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则sin∠BAC的值为 　　．
解：令正三角形的边长是“1”，
∴AC＝2，BC＝×1＝，
∴AB＝＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝．
故答案为：．
14．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC上，且tan∠ADE＝tan∠ABC＝，若，则的值为 　8　．
解：∵△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，tan∠ADE＝tan∠ABC＝，
∴＝＝，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝＝，
设S△ACE＝a，则S△ABD＝4a，
∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD＝1：2，
∴S△ACD＝8a，
∴＝
故答案为：8
三．解答题
15．（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，求AB和AC的长；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，解这个直角三角形．
解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝8，
∴AB＝＝＝，
∴AC＝ABcos60°＝×＝，
答：，；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，
∴tanA＝＝＝，
∴∠A＝30°，
∴c＝2a＝2，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴，∠A＝30°，∠B＝60°．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度数．
解：∵AD＝2，BD＝1，DC＝4，
∴，
∵∠BDA＝∠ADC＝90°，
∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠C+∠DAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°．
17．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠ABC＝，点D在边BC上，BD＝4
联结AD，tan∠DAC＝．
（1）求边AC的长；
（2）求tan∠BAD的值．
解：（1）设AC＝3m，
∵BD＝4，BC＝CD+BD∠C＝90°，sin∠ABC＝，tan∠DAC＝，
∴CD＝2m，
∴4m＝2m+4，
解得m＝2，
∴AC＝3m＝6；
（2）作DE⊥AB于点E，
由（1）知，AB＝5m＝10，AC＝6，BD＝4，
∵，
∴，
解得DE＝，
∵AC＝6，CD＝2m＝4，∠C＝90°，
∴AD＝＝2，
∴AE＝＝＝，
∴tan∠BAD＝，
即tan∠BAD的值是．
18．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
（1）若∠A＝60°，求BC的长；
（2）若sinE＝，求AD的长．
解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA＝，
∴∠E＝30°，BE＝tan60° 6＝6，
又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE＝，∠E＝30°，
∴CE＝＝6，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣6；
（2）∵sinE＝，
∴sinA＝，
∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA＝＝，
∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，
∴3x＝6，得x＝2，
∴BE＝8，AE＝10，
∴tanE＝＝＝＝，
解得DE＝4，
∴AD＝AE﹣DE＝10﹣4＝6，
即AD的长是6．
19．如图，已知⊙O的半径为，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．
（1）求线段BC的长；
（2）求∠BOC的正弦值．
解：（1）如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴AB＝OC＝2，OD＝BD＝1，
∴∠C＝30°，
∴CD＝，
∴BC＝﹣1；
（2）如图，过点B作BE⊥OC于点E，
∵∠C＝30°，
∴BE＝BC，
∴sin∠BOC＝＝＝＝．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　　．
（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．