数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和的性质及应用（共23张ppt）

(共23张PPT)
4.2.2 等差数列的前n项和的性质及应用
1.倒序相加法推导等差数列前项和公式
知识回顾
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
选用 公式
2. 等差数列前项和公式
问题1 (1)已知等差数列则有怎样的关系
新知探究
解: 设等差数列的公差为
所以 构成等差数列.
(2)我们知道, ，则上述关系可以描述为一个怎样的结论
解:如果是等差数列,那么, , 也成等差数列.
追问：这个结论可以推广吗 推广形式是什么？
, , ,…
如果是等差数列,则
也成等差数列.
1.等差数列“片段和”的性质
若公差为的等差数列的前项和为,则中连续的项和构成的数列, , ,…构成等差数列.
追问：此等差数列, , ,…的公差为多少？
[做一做1]在等差数列中, , ,则等于(　)
D
[针对训练](1)设等差数列的前项和为,若 , ,则等于(　　)
D
问题2 若公差为的等差数列有项,则 为多少 为多少
追问：若公差为的等差数列有项,则 为多少 为多少 如何推导出来
2.等差数列奇偶数项和的性质
若等差数列有项,则 ；
若等差数列有项,则 ，
[做一做2]已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(　 　)
A.5 B.4 C.3 D.2
C
例1(2)等差数列共有项,所有的奇数项之和为,所有的偶数项之和为,则　　　　　;
10
解：由等差数列的前项和性质及性质可得
同理可得
等差数列中的
重要公式
D
法一：因为
法二　因为
所以 .
又因为
所以
所以 ,
D
4.等差数列前项和的函数特征
(1)数列是等差数列 (为常数).
小
大
S1
(2)若,,则数列的前面若干项为负数项(或),所以将这些项相加即得的最 值;
特别地,若,,则是的最小值;
若,,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最 值.
若,,则 是的最大值.
[做一做3] 已知数列的通项公式是,则取得最小值时,为　　　　　.
解:由an≤0即2n-48≤0得n≤24.
所以Sn取得最小值时,n=23或n=24.
23或24
[例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最
大值.
[例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最
大值.
[例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最
大值.
[例2] 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最
大值.
[变式探究2] 本例中若将条件“a1=25,且S9=S17”改为“a1=26,且S9=S18”,则n取何值时Sn有最大值 并求出最大值.
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值通常有两种思路:
(2)邻项变号法:
课堂小结
1.等差数列“片段和”的性质
, , ,…
如果是等差数列,则
也成等差数列.
2.等差数列奇偶数项和的性质
若等差数列有项,则 ；
若等差数列有项,则 ；
4.等差数列前项和的函数特征
(1)数列是等差数列 (为常数).
(2)若,,则数列的前面若干项为负数项(或),所以将这些项相加即得的最 值;
若,,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最 值.