湖北省黄石市有色第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（文）试题

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2014—2015学年度下学期有色一中期中考试
文科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。全为必做题；全卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡相应的位置。
2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
第Ⅰ卷
一选择题（每小题5分，共60分. 下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上） 21教育网
1．已知集合A={x|x2－2x－3<0},B={x|y=},则=……………………（）
A．[2，3） B．（-∞，2）∪[3，+∞） 21·cn·jy·com
C．（-∞，2）∪（3，+∞） D．（2，3）
2．命题“”的否定为……………………………………………………（）
A． B．
C． D．
3．函数f(x)=2x＋3x的零点所在的一个区间是………………………………………………（）
A（-2，-1） B （-1，0） C（0，1） D（1，2）www.21-cn-jy.com
4．已知|a|=1,|b|=2, a与b的夹角为1200，且a＋b＋c=0,则a与c的夹角为………………（）
A．300 B．600 C．900 D．15002·1·c·n·j·y
5．函数的部分图象如图所示，则的解析式为…………………………………………………………………………………………（）【来源：21·世纪·教育·网】
A．
B．
C．
D．
6．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是………( )
( http: / / www.21cnjy.com )
7．已知变量x,y满足约束条件 ( http: / / www.21cnjy.com )，则z=2x＋y－4的最大值为……………………………………………………（）21·世纪*教育网
A．-4 B．-1 C．1 D．5
8．阅读如图的程序框图,若运行相应的程序,则输出的的是………………………………………………（ ） www-2-1-cnjy-com
A．39 B．21 C．81 D．102
9．设函数f(x)=,则满足f(x)≤2的取值范围是…………………………………………………………………………………………………( )
A．（-1，2] B．[0，2] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
10．已知双曲线的一条渐近线的方程是y=x，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的方程是……………………………………………（）2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
11．已知曲线C:y=(x>0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1。过点A1、A2分别作x轴的垂线交曲线C于B1 、B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3（x3,0），那么………………（）　　21*cnjy*com
A.x1, ,x2成等差数列 B. x1, , x2成等比数列
C. x1，x3，x2成等差数列 D. x1，x3，x2成等比数列
12．定义方程f(x)=f /(x)的实 ( http: / / www.21cnjy.com )根x0叫做函数的“新驻点”。若函数g(x)=x，h(x)=ln(1+x)，u(x)=x3-1的新驻点分别是а,β,γ，则а,β,γ之间的大小关系是……………………………………………( )【来源：21cnj*y.co*m】
A. а>β>γ B. β>а>γ C.γ>а>β D. β>γ>а【出处：21教育名师】
二填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题卡上）
13．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为 ▲
14．已知x,y是正实数，且，则xy的最大值为▲
15．已知圆O：x2+y2=4上到直线l:x＋y=a的距离等于1的点有3个，则a= ▲
16．设互不相等的正整数a1，a2，…，a ( http: / / www.21cnjy.com )n(n≥2,n∈N+)组成的集合为M={ a1 ,a2 ,…,an}，定义集合S={(a,b)|a∈M,b∈M,a-b∈M}.【版权所有：21教育】
1) 若M={1，2，3，4}，则集合S中的元素最多有▲ 个。
2）若M={ a1 ，a2 ，…，an}，则集合S是的元素最多有▲ 个。
第Ⅱ卷
三解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题10分）
已知函数f(x)=cos(－2x)＋2cos2x
1)求f(x)的最大值，并写出使f(x)取得最大值时对应的x的集合.
2)若把函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间。
18．（本小题12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn-1=0(n≥2,n∈N)，a1=。
1) 求证：数列{}为等差数列。并求数列{an}的通项公式an。
2) 记数列{bn}的通项公式为bn=,Tn=b1＋b2 ＋…＋bn,求Tn的值。
19．(本小题10分)
我校在筹办元旦艺术节前，对学生是喜欢曲艺还是舞蹈节目做了一次调查，随机抽取了100名学生，相关数据如下表所示21cnjy.com
曲艺 舞蹈 总计
男生 40 18 58
女生 15 27 42
总计 55 45 100
1） 若从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取几名；
2） 在1）中抽取的5名学生中任取2名，求恰好有1名男生的概率。
20．(本小题12分)
一个多面体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，
ED∥FB，且ED=1。
1） 求证：平面ACE⊥平面ACF。
2） 求多面体AED-BCF的体积。
21．(本小题12分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2 =y的焦点。
1）求椭圆C的方程；
2）点P(2,3)，Q(2,-3)在椭圆上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点。
（1）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值；
（2）当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由；
22．(本小题14分)
已知函数f(x)=ax3＋＋bx(a,b为常数)
1） 若y=f(x)的图象在x=2处的切线方程为x－y＋6=0，求函数y=f(x)的解析式；
2） 在1)的条件下，讨论函数y=f(x)的图象与函数y =－[f /(x)－9x－3]＋m的图象的交点的个数；
3） 当a=1时，,lnx ≤f /(x)恒成立，求实数b的取值范围。
2014-2015下学年度黄石市有色一中高二期中考试
数学（文科）参考答案
（考试时间2015.04.23）
一选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B C B D C D D A A C
二填空题
13．4+3i. 14. . 15. 16. 1)6 2)
三解答题
17．(本小题10分)
1）f(x)=cos(2x+)+1
∵x∈R,∴f(x)max=2
当2x+=2k，即x=k-时，f(x)取得最大值，由此可得使f(x)取得最大的x的集合是：{x|x=k-，k∈Z}21世纪教育网版权所有
2)根据平移变换，得
g(x)=f(x-)=cos(2x-)+1
由2k≤2x-≤2k+，得 k+≤x≤k+
所以函数g(x)的单调递减区间是[k+ ，k+]， k∈Z
18. （本小题12分）
1)(1)证明：当n≥2时，an=Sn-Sn-1 ，又an+2Sn-Sn-1=0，则有
Sn-Sn-1 +2Sn-Sn-1=0 ①
若Sn=0,则a1=S1=0与a1=矛盾，故Sn ≠0.
由①，得=2，又=2
所以数列{}是以2为首项，公差为2的等差数列。
（2）由（1）可得，=2+2(n-2)=2n, Sn=
当n≥2时, an=－2Sn-Sn-1= －,而n=1时，a1=
故 ( http: / / www.21cnjy.com )
2) bn==
∵Tn=b1＋b2 ＋…＋bn=1+++…++ ①
2Tn= 2+++…++ ②
∴②－①,得Tn=3+++…+-=4-
故Tn=4-
19 .（本小题10 分）
1)由表中数据可知，女生中应抽取的学生人数是
27×=3（名）
2)记抽取的5名学生中，2名男生用A、B表示，3名女生用a,b,c表示。则
从5名学生中，任取2名的所有等可能的情况有10种，它们是AB，Aa，Ab，
Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc。其中恰有一名男生共有6种等可能的情况。
由上可知，恰有一名男生的概率是
P=
20 （本小题12 分）
1)连接BD，AC与BD交于点O，连接OE，OF。
∵四边形ABCD是四边形ABCD是正方形， FB⊥平面ABCD，ED∥FB
∴DE⊥平面ABCD，AE=CE，
OE⊥AC ①
又∵DE=1，CD=2，则
OE=，OF=，EF=3
∴OE2+OF2=EF2,则OE⊥OF ②
由①，②得，OE⊥平面ACF
∴平面ACF⊥ACE
2)由1）可知，三棱锥E-ACD，三棱锥F-ABC的高分别是DE，BF。且
AC⊥平面BDEF，故
多面体ADE-BCF的体积V=
而，，=2
∴多面体ADE-BCF的体积V=4
21 （本小题12分）
1）设椭圆C的标准方程是：(a>b>0).则
b=；由=,a2=b2+c2,得a=4;
故椭圆C的标准方程是：
2）（1）设A(x1, y1), B(x2, y2)，直线AB的方程是y=x+t,代入C得
x2+tx+t2-1=0
由于直线AB与C有两个不同交点，则判别式△>0, 解得－4由韦达定理得，x1+x2=－t, x1x2=t2-12
∴| x1 －x2|==
∴四边形APBQ的面积S=|PQ|| x1 －x2|=3（－4∵－4∴四边形APBQ 的面积的最大值为12
(2)当∠APQ=∠BPQ时，直线AP，BP的斜率之和为零；
设直线PA的斜率为k, 则直线BP的斜率为-k;
∵直线PA的方程：y-3=k(x-2),代入椭圆C的方程得
(3＋4k2)x2＋8(3－2k)x＋4(3-2k)2 －48=0
∴x1 +2=, 同理可得x2 +2=
x1+x2=，x1-x2=
kAB==
由此可知，直线AB的斜率是一个定值
22．（本小14分）
1）a=-1,b=3,f(x)=-x3+x2+3x
2)原问题等价于方程
m=－x3+x2+x的根的个数
也就是函数g(x)= －x3+x2+x的图象与直线y=m 的交点的个数问题。
又∵g /(x)=- 3x2+2x+1,则函数g(x)在（-∞，-），（1，+∞）上单调递减，在（-，1）上单调递增。
∴g(x)极小值=g(-)=－, g(x)极大值=g(1)=1
综合以上可得
1 当m<－，或m>1时，一个交点；
2 当m=－，或m=1时，两个不同的交点
3 当－3）当a=1时，f(x)=x3-x2+bx, f /(x)=3x2-x+b;
,lnx ≤f /(x)恒成立，等价于不等式b≥lnx-3x2+x在上恒成立。
令h(x)= lnx-3x2+x(x>0)
∵h /(x)= -6x+1=－,则函数h(x)在(0, )上单调递增，在(,+∞)上单调递减。
∴函数h(x)的极大值是h()=－ln2－,这也是函数h(x)的最大值。
由上可得，实数b的取值范围是[-ln2-,+∞)
4
y
6
-2
O
x
（第5题图）
-4
第八题图
F
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
O
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