兰州一中 2023年普通高中合格性考试模拟试卷
数学 参考答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请．将．正．确．答．案．涂．在．答．题．卡．上．.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B A D A D C C A D B
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分,将．答．案．写．在．答．题．卡．上．.）
7 4
13． 93 14． 2 15． ( 1 ,3 16． 3 17． 1
三、解答题：本大题共 3 小题，共 32 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分 10 分）
【解】（1）由正弦定理得： 5 sin Asin B = sin B ，
( ) 5B 0,π ， sin B 0， 5 sin A =1，解得：sin A = ，……………………… 3 分
5
2 3
cos 2A =1 2sin2 A =1 = ……………………………………………………………5 分
5 5
5 2 5
（2）由（1）知：sin A = ， A为钝角， cos A = 1 sin2 A = ，
5 5
a2 = b2 + c2
2 5
由余弦定理得： 2bccos A = 5+ 9 6 5 = 26 ， a = 26 ，………8 分
5
ABC的周长为a +b+ c = 26 + 5 +3 .…………………………………………………10 分
19．（本小题满分 11 分）
【解】（1）取 PA的中点 N，连 DN，EN，
因为 BE ∥ AP ， AP = 2，BE =1，即 BE ∥ AN ，且BE = AN ，
则 ANEB为平行四边形，则EN //AB，且EN = AB，
又因为 ABCD是平行四边形，则CD//AB ，且CD = AB，
可得CD//EN ，且CD = EN ，
可知 CEND为平行四边形，则EC//DN ，……………………………………………………3 分
且DN 平面 PAD，EC 平面 PAD，
兰州一中 2023 年普通高中合格性模拟考试数学答案 第 1 页 共 2 页
{#{QQABZQCEggggAAIAARhCQQk6CgKQkAECAIoGgAAIIAAAwRFABAA=}#}
所以 EC ∥平面 PAD…………………………………………………………………………5 分
（2）在 ABC 中， AB = 2， BC =1， CBA = 60 ，
由余弦定理可得 AC2 = 4+1 2 2 1 cos60 = 3，即 AC = 3 ，
则 AB2 = BC 2 + AC 2 ，可得BC ⊥ AC，……………………………………………………7 分
因为 AP ⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，则 AP ⊥ BC，………………………………9 分
且 AC AP = A，AC, AP 平面 PAC，所以BC ⊥平面 PAC. ……………………………11 分
20．（本小题满分 11 分）
【解】(1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数，则 f(0)＝0，∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.
当 a＝0 时，f(x)＝－x是 R 上的奇函数. 所以 a＝0. ………………………………………3 分
1 1
(2)若函数 f(x)的定义域是一切实数，则 x＋a>0 恒成立.即 a>－ x恒成立， 2 2
1
由于－ x∈(－∞，0)，故只要 a≥0，则 a的取值范围是[0，＋∞). ………………………6 分 2
(3)由已知得函数 f(x)是减函数，故 f(x)在区间[0，1]上的最大值是 f(0)＝log2(1＋a)，最小值是
1 1
f(1)＝log 2 ＋a
.由题设得 log2(1＋a)－log
＋a 2 ≥2， 2 2
则 log2(1＋a)≥log2(4a＋2).
1＋a≥4a＋2， 1 1
∴ 解得－
4a＋2>0， 2 3
1 1
故实数 a的取值范围是 －2，－3 . …………………………………………………………11 分
兰州一中 2023 年普通高中合格性模拟考试数学答案 第 2 页 共 2 页
{#{QQABZQCEggggAAIAARhCQQk6CgKQkAECAIoGgAAIIAAAwRFABAA=}#}兰州一中 2023年普通高中合格性考试模拟试卷
数学学科
本试卷满分 100 分，考试时间 90 分钟.
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请．将．正．确．答．案．涂．在．答．题．卡．上．.）
1．已知集合 A ={x | 2 x 1}, B ={ 2, 1,0}，则 A B =（ ）
A．{ 2, 1,0,1} B．{ 1,0} C．{ 1,0,1} D．{ 2, 1,0}
1+ 2i
2．复数 z = 在复平面内对应的点位于（ ）
i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设 x R ，则“ 3x 2 4 ”是“ x ( x 2) 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x 1
4．已知指数函数 f (x) = (a 1)b 的图象经过点 1, ，则ab =（ ）
2
1
A．4 B．1 C．2 D．
2
5．函数 y＝2|x|·sin 2x 的图象可能是( )
π
6．已知向量a与单位向量b 的夹角为 ，且 a = 2，则b 在 a 方向上的投影向量为（ ）
3
1 1 1 1
A． a B． b C． a D．
4 2 2 2
7．袋子中装有 4 个大小质地完全相同的球，其中 1 个红球、1 个黄球、2 个蓝球．从中任取
2 个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ ）
1 2 1 5
A． B． C． D．
3 3 6 6
兰州一中 2023 年普通高中合格性考试模拟试卷 数学 第 1 页 共 3 页
{#{QQABZQCEggggAAIAARhCQQk6CgKQkAECAIoGgAAIIAAAwRFABAA=}#}
8．对于实数 a，b，c，下列说法正确的是（ ）
1 1
A．若a b，则 B．若a b，则ac2 bc2
a b
1 1
C．若a 0 b，则ab b2 D．若c a b，则
c a c b
1
7
9．已知 a＝log ，b＝
1 3 1
3 ，c＝ log ，则 a，b，c 的大小关系为( ) 2 4 1 5
3
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D． c>b>a
10．长方体 A B C D A B 1 1C D 中，AA1 = AB = 2，M 为 AB 的中点，D1 1 1M ⊥ MC ，则 AD =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
π π π
11．已知函数 f(x)＝cos 2x－ －2sin
3 x＋4 cos x＋ (x∈R)，现给出下列四个结论，其中正4
确的是( )
A．函数 f(x)的最小正周期为 2π
B．函数 f(x)的最大值为 2
π π
C．函数 f(x)在 － ， 上单调递增 4 4
π
D．将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 g(x)＝sin 2x
12
f (x2 ) f (x1 )
12．设定义在R 上的奇函数 f (x)满足对任意 x1, x2 (0,+ )，且 x1 x2 ，都有 0，
x2 x1
f (x)
且 f (2) = 0，则不等式 0的解集为（ ）
x
A．[ 2,0) (0,2] B． ( , 2] [2,+ )
C． D．[ 2,0) [2,+ )( , 2] (0,2]
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分,将．答．案．写．在．答．题．卡．上．.）
13．某党支部理论学习小组抽取了 10 位党员在该学习平台的学习成绩如下：83，85，88，
90，91，91，92，93，96，97，则这 10 名党员学习成绩的75%分位数为 ．
14．已知向量a = (3, 2)，b = (2, )，若a ⊥ (a b )，则 = ．
2x
15．不等式 3的解集是 ．
x 1
sin (π + 2 )
16．已知 tan = 2，则 的值为 .
2cos2 1
兰州一中 2023 年普通高中合格性考试模拟试卷 数学 第 2 页 共 3 页
{#{QQABZQCEggggAAIAARhCQQk6CgKQkAECAIoGgAAIIAAAwRFABAA=}#}
a,a b
17．对于任意实数a,b，定义min a,b = . 设函数 f (x) = x + 3， g (x) = log2 x，则
b,a b
函数h(x) = min f (x), g(x) 的最大值是 .
三、解答题：本大题共 3 小题，共 32 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18．（本小题满分 10 分）
在△ABC中，角 A, B,C 的对边分别为 a , b ,c ，已知 5asin B = b .
(1)求cos 2A；
(2)若 A 为钝角，且b = 5 ，c = 3，求△ABC的周长.
19．（本小题满分 11 分）
如图：ABCD 是平行四边形，A P ⊥ 平面 ABCD，BE ∥ AP ，AB = AP = 2，BE = BC =1，
CBA = 60 ．
(1)求证： EC ∥平面 PAD；
(2)求证： B C ⊥ 平面 PAC.
20．（本小题满分 11分）
1
已知函数 f(x)＝log 2 ＋a
.
2x
(1)若函数 f(x)是 R 上的奇函数，求 a 的值；
(2)若函数 f(x)的定义域是一切实数，求 a 的取值范围；
(3)若函数 f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于 2，求实数 a 的取值范围.
兰州一中 2023 年普通高中合格性考试模拟试卷 数学 第 3 页 共 3 页
{#{QQABZQCEggggAAIAARhCQQk6CgKQkAECAIoGgAAIIAAAwRFABAA=}#}