2.2二次函数的图形与性质 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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2.2二次函数的图形与性质北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.把函数图象向右平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为( )
A. B. C. D.
2.若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
3.已知的图象如图，则和的图象为( )
A.
B.
C.
D.
4.函数的图象大致为
．( )
A. B.
C. D.
5.二次函数，且与轴的两个交点的横坐标分别为和，且，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，对称轴为给出下面三个结论：
；
关于的一元二次方程有一个根大于；
对于任意实数，．
上述结论中，所有正确结论的序号是
( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上的最大值是，最小值是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.关于二次函数，以下说法正确的是
( )
A. 当时，随增大而减小 B. 当时，随增大而增大
C. 当时，随增大而减小 D. 当时，随增大而增大
10.二次函数图像上的三个点，，当时，，，之间的大小关系是
( )
A. B. C. D.
11.若，则一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图像可能是
( )
A. B.
C. D.
12.若点，，在抛物线上，且则的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.请写出一个图象的顶点为的二次函数的表达式： ．
14.将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线的解析式为________．
15.将抛物线向下平移个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．
16.如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为．
当时，求的值；
若对于，都有，求的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线中的，满足下表：
直接写出的值；
求抛物线的解析式；
当时，直接写出的取值范围．
19.本小题分
已知抛物线．
若，求抛物线的对称轴；
若，且抛物线的对称轴在轴右侧，点，，在抛物线上．若，求的取值范围．
20.本小题分
已知抛物线．
求抛物线的顶点坐标用含的代数式表示；
点，在该抛物线上，若，求的取值范围．
21.本小题分
已知二次函数在和时的函数值相等．
求二次函数图象的对称轴；
过作轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点、当时，求的值．
22.本小题分
二次函数．
求该二次函数的对称轴；
若图象过点，且，求的取值范围；
若点，在该二次函数图象上，且，求的取值范围．
23.本小题分
在二次函数中，
若它的图象过点，则的值为多少？
当时，的最小值为，求出的值．
24.本小题分
如图，在矩形中，，，是上的一个动点不与，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点．
当为的中点时，求该反比例函数的解析式和点的坐标．
当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？
25.本小题分
如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
求证：；
如果筝形的两条对角线长分别为、，则筝形的面积 ______ ；
已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足试求当，的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数图象与几何变换．
根据平移规律：左加右减可得答案．
【解答】
解：根据“左加右减”的规律可知，将函数的图象向右平移个单位长度，
所得的图象解析式为，即．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象与系数的关系的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
【解答】
解：由函数的图像，得
由函数的图像，得，对称轴为直线，所以．
所以函数的大致图像经过第二、三、四象限．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查一次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系，
根据二次函数的图象可以得到，，，由此可以判定经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．
【解答】
解：根据二次函数的图象，
可得，，，
过一、二、四象限，
双曲线在二、四象限，
是正确的．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象的性质有关知识，根据二次函数的开口方向，对称轴，和轴的交点可得相关图象．
【解答】
解：二次项系数，
开口方向向下，
一次项系数，
对称轴为轴，
常数项，
图象与轴交于．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象，以及数形结合思想．
依照题意画出二次函数及的图象，观察图象即可得出结论．
【解答】
解：二次函数与轴交点的横坐标为、，将其图象往下平移个单位长度可得出二次函数的图象，如图所示．
观察图象，可知：．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，属于中档题．
先根据抛物线过原点排除，再根据反比例函数图象确定的符号，再由、的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线的位置关系，进而得解．
【解答】
解：当时，，即抛物线经过原点，故A错误；
反比例函数的图象在第一、三象限，
，即、同号，
当时，抛物线的对称轴，对称轴在轴左边，故D错误；
当时，，直线经过第二、三、四象限，故B错误，
当时，，直线经过第一、二、三象限，故C正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象与对称轴的方程结合可判断， 的根可以看做是 和 的交点，结合图象即可判断， 时函数取得最大值，即可判断．
【详解】解：对称轴为 ，
，
，即 ，正确；
二次函数 的图象经过点 ，对称轴为 ，
二次函数与轴的另一交点为 ，
的根可以看做是 和 的交点，
通过图象可得，一元二次方程 有一个根大于，正确；
抛物线对称轴为直线 ，
函数的最大值为： ，
，即 ，正确；
故选：．
8.【答案】
【解析】解：函数的对称轴为直线，
当时，有最小值，此时，
函数在上的最小值是，
；
当时，，对称轴为直线，
当时，，
函数在上的最大值是，且；
．
故选：．
先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出；再求得当时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得的下限．
本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解： ，
抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
二次函数的图象为一条抛物线，当 时， 随 的增大而减小， 时， 随 增大而增大
正确，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，对称轴为 ，顶点坐标为 ．
10.【答案】
【解析】解：由二次函数可知图象开口向上，且经过坐标原点，
当对称轴 时，始终有点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以总有，同时总有点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以总有，即，故选C．
本题考查二次函数的增减性，当给出抛物线对称轴的信息时，可通过抛物线上的点到对称轴的距离的大小关系，判断这些点的纵坐标的大小关系，即判断函数值的大小关系．
11.【答案】
【解析】解：一次函数与二次函数的图象与轴的交点是同一点，
因此，选项D错误；
，
若，则抛物线开口向上，对称轴，对称轴在轴右侧，一次函数图象过第一、三象限，
因此，选项A错误，选项C正确；
若，则抛物线的开口向下，对称轴，对称轴在轴左侧，因此，选项B错误；
故选C．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性并对点的位置进行正确分析是解题的关键先求出抛物线的对称轴，再根据和的大小关系推出抛物线的开口方向，接下来分点位于对称轴左侧和右侧两种情况分析，即可得出的取值范围．
【解答】
解：的对称轴为直线，
点离对称轴的距离比点离对称轴的距离小，
又，
根据二次函数的增减性可知抛物线开口向上，
当点位于对称轴左侧时，
点关于对称轴对称的点的坐标为：，
且，
，
当点位于对称轴右侧时，
点关于对称轴对称的点的坐标为：，
且，
，
综上所述，的取值范围为：或．
故选D．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式“ 为常数， ”，是解题的关键．
【详解】解： 二次函数的顶点式为： 为常数， ，
图象的顶点为 的二次函数的表达式可以为： ，
故答案为： 答案不唯一．
14.【答案】
【解析】解：，
向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得解析式：，
新抛物线的表达式为，
故答案为：．
将二次函数一般式化为顶点式，再利用平移规律即可解答．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线 向下平移个单位长度，得到的抛物线解析式为 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】点的坐标为，对称轴为，则：之间的距离为，即可求解．
【详解】点的坐标为，对称轴为，
则：之间的距离为，
则：点的横坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键．
17.【答案】 抛物线的对称轴为 ，且 ，
对称轴为： ，
即 ，
解得 ．
由题意可得，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴的右侧 都有 ，故不符合题意；
当 时，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
从而 ，
解得： ．

【解析】由题意可得抛物线的对称轴为 ，再利用抛物线的对称轴公式 可得 的值；
对于任意的 ， 随 的增大而减小，分类讨论 和 时 的取值范围，当 时不能满足 ，都有 ，当 时可以满足对于 ，都有 的条件，使得对称轴 ，从而可求出 的取值范围．
【点睛】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键．
18.【答案】解：由表格数据可知：抛物线的对称轴为直线 ，
的对称点为 ，
，
解：把 ， 代入 得：
解得：
所以抛物线解析式为 ．
解：由表格数据可知：当 和 时， ，
抛物线开口向下，
当 时， 或 ．

【解析】本题考查了二次函数的解析式求解、对称性及与一元二次不等式的关系．从表格数据得出二次函数的相关性质是解题关键．
由表格数据得出抛物线的对称轴，即可求解；
把 ， 代入 ，即可建立方程组求解；
由表格数据可知：当 和 时， ，结合抛物线的开口方向即可求解．
19.【答案】解：抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
抛物线的对称轴为直线 ．
当 时，抛物线 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
点 ， ， 在抛物线上，且 ，
，
．

【解析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：
根据对称轴公式即可求得；
根据题意得出 ，即可得到 ．
20.【答案】
或

【解析】【详解】解：抛物线 ， ，
抛物线的顶点坐标为 ．
当 时，抛物线开口向上，
若点、在对称轴异侧
，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
， ，
又 ，此情况不成立
若点、在对称轴同侧
当 时，随的增大而增大
，
当 时，抛物线开口向下，
若点、在对称轴异侧
，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离
， ，

若点、在对称轴同侧
当 时，随的增大而减小，
， 与 矛盾，
此情况不成立
综上所述， 或 ．
21.【答案】


【解析】【详解】解：二次函数 在 和 时函数值相等，
对称轴为直线 ．
过 作轴的平行线与二次函数 的图象交于不同的两点、，
设点在点的左侧，
对称轴为直线 ， ，
点的坐标为 ，点的坐标为
， ，
，
22.【答案】解：对称轴为直线；
将代入二次函数解析式中得：
，
，
二次函数的二次项系数不等于，
，
，
；
，
它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
，
当时，，
，
综上所述，；
当时，即时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
，
；
当时，即时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
点关于对称轴的对称点为，
，
或．
【解析】根据计算即可；
将代入二次函数解析式中得的表达式，从而得到的表达式，根据二次函数的图象得到的取值范围；
二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算的取值范围即可．
本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象，二次函数的性质，体现了分类讨论，数形结合的数学思想，第问进行分类讨论是解题的关键．
23.【答案】解：图象经过点，
，解得．
，
时，
时，对称轴在直线右侧或与重合，
，解得舍去；
时，对称轴在直线左侧，
，解得舍去或；
综上，．
【解析】将点坐标代入解析式，求解；
分情况讨论：时，对称轴在直线右侧或与重合，时，分别确定自变量取值范围内的函数极值，建立方程求解．
本题考查二次函数的性质，根据自变量取值范围确定函数极值是解题的关键．
24.【答案】解：在矩形中，，，
，
为的中点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
该函数的解析式为，
把代入，
得，
；
由题意知，两点坐标分别为，，
，
，
在边上，不与，重合，即，
解得，
当时，有最大值．
．
【解析】当为的中点时，点的坐标为，由此代入求得函数解析式，把代入解析式即可求得坐标；
根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25.【答案】
【解析】证明：，
点在的垂直平分线上．
同理点在的垂直平分线上．
垂直平分．
所以．
由知，，
，
，
则
．
又筝形的两条对角线长分别为，，
所以
故答案为：．
令，则，
由知，
，
又，的长度为整数值，
则当时，
有最大值，最大值为．
此时．
由和可得出点和点都在的垂直平分线上，进而解决问题．
由的结论即可解决问题．
设的长为，用表示出筝形的面积，再求最值即可．
本题考查二次函数的最值，能用长表示出筝形的面积是解题的关键．
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