2.3确定二次函数的表达式 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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2.3确定二次函数的表达式 北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.将二次函数化为的形式，结果为
( )
A. B. C. D.
2.二次函数的自变量与函数的对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大
C. 二次函数的最小值是 D. 抛物线的对称轴是直线
3.如图，在平面直角坐标系中放置，，点现将沿轴的正方向无滑动翻转，依次得到，，连续翻转次，则经过三个顶点的抛物线解析式为( )
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中，将抛物线，绕原点旋转，所得到的抛物线的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
5.将二次函数化成的形式应为( )
A. B.
C. D.
6.把二次函数配方成的形式，以下结果正确的是( )
A. B.
C. D.
7.抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表：下列结论不正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线与轴的一个交点坐标为 D. 函数的最大值为
8.把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得图象的解析式是，则有
( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.若二次函数图象的顶点坐标为，且抛物线过点，则二次函数的解析式是
( )
A. B.
C. D.
11.下列图形中，阴影部分面积为的是( )
A. B.
C. D.
12.如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于，两点在的左侧，若点的横坐标的最小值为，则点的横坐标最大值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 ．
14.若一个函数的图像和二次函数形状、开口方向相同，且顶点为，则抛物线解析式是___________．
15.已知抛物线，其顶点为，若点到轴的距离为，则的值为______．
16.二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表：
给出下列结论：二次函数图象开口向上；当时，随的增大而增大；二次函数的最小值是；二次函数图象的对称轴是直线其中正确结论的序号是____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式及的值．
18.本小题分
某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度米与水平距离米之间近似满足函数关系．
下面是水流高度和水平距离之间的几组数据：
米
米
根据上述数据，直接写出水流喷出的最大高度，并求出满足的函数关系式；
由于调整了水压，水流喷出高度与水平距离之间近似满足函数关系，调整后水流落点为，则________填“”，“”或“”
19.本小题分
二次函数的图象经过点和点，求此二次函数解析式．
20.本小题分
如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴的另一个交点为
求该图象的解析式；
求长．
21.本小题分
把函数写成的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
22.本小题分
已知二次函数图象的顶点是，且函数过点．
求这个函数的解析式；
请在坐标系内画出这个函数的图象．
23.本小题分
如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．
求此抛物线的解析式；
若点是抛物线上点与点之间的动点不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
24.本小题分
如图，在正方形中，轴，点，点已知抛物线是常数且经过点与点，且顶点位于上若抛物线与轴交于点，求的长．
25.本小题分
已知抛物线与轴交于点，顶点为，与直线交于，两点，其中点坐标为．
求抛物线和直线解析式；
直接写出抛物线关于对称的抛物线的解析式；
求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．
根据配方法进行整理即可得解．
【解答】
解：
．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可．
【 详解】解：将点、、代入到二次函数中，
得：，解得：
二次函数的解析式为．
A. ，抛物线开口向上，不正确；
B. ，当时，随的增大而增大，不正确；
C. ，二次函数的最小值是，不正确；
D. ，抛物线的对称轴是， D正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，图形规律问题，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及抛物线的平移是解题的关键．
过点作轴，垂足为，根据已知可得的三边长，再根据三角形有三条边，可得连续翻转次是一个循环，，从而可得与位置相同，一个周期长为，然后求出、、的坐标，利用待定系数法求出过、、的抛物线解析式，最后利用向右平移个单位即可解答．
【解答】
解：过点作轴，垂足为，
，点，
，，
，
三角形有三条边，连续翻转次是一个循环，，
与位置相同，一个周期长为，
是直角三角形，
的面积，
，
，
，
，
，，，
设过、、的抛物线解析式为，
把代入中得：
，
解得：，
过、、的抛物线解析式为，
将抛物线向右平移四个循环，得抛物线为，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
该抛物线的顶点坐标为，
绕原点旋转后的抛物线顶点坐标为，
所得到的抛物线的函数关系式是．
故选：．
先将抛物线表达式化为顶点式，求出顶点坐标，再根据关于原点对称点的坐标特征得出绕原点旋转后的顶点坐标，最后根据平移的规律即可求解．
本题主要考查了求二次函数顶点坐标，关于原点对称的点的坐标特征，点的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式的方法，以及关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数．
5.【答案】
【解析】解：，
故选：．
运用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
根据完全平方公式：加一次项系数一半的平方，即加，再减，配成，从而得出结论．
本题考查了二次函数的顶点式，将二次函数配方成顶点式，其实就是一变变二次项系数为，二配配常数项，三合合成完全平方形式，四合并常数项；其中第步配常数项，具体方法是：在二次项系数为的前提下，加一次项系数一半的平方，得到完全平方式，它有前提“二次项系数为”，故我们在配顶点式时，如果二次项系数不是时，总是通过提取二次项系数的办法，使得括号里的式子二次项系数为，再进行配方即可．
7.【答案】
【解析】解：把，，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线开口向下，所以选项不符合题意；
，
抛物线的对称轴为直线，所以选项不符合题意；
当时，有最大值，所以选项不符合题意；
当时，，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为，，所以选项符合题意．
故选：．
先利用待定系数法求出抛物线解析式为，根据二次函数的性质，由可对选项进行判断；利用配方法把一般式化为顶点式得到，则根据二次函数的性质可对、选项进行判断；解方程得抛物线与轴的交点坐标，则可对选项进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：抛物线顶点为，而，顶点在轴下方，故A不符合题意；
在中，令得，，则抛物线对称轴为直线，故B不符合题意；
图中抛物线可能是，故C符合题意；
在中，令得，，故抛物线与轴有一个交点横坐标为，故D不符合题意；
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系判断．
本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数图象的顶点、对称轴、与轴轴交点等．
10.【答案】
【解析】【分析】
根据二次函数的顶点式求解析式．
主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：．
【解答】
解：设这个二次函数的解析式为
二次函数的图象的顶点坐标为，
二次函数的解析式为，
把代入得，
所以．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握二次函数的图象特点是解决问题的关键．首先根据图形的函数解析式求出函数与轴交点坐标及顶点坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，得出答案．
【解答】
解：该抛物线与坐标轴交于，，，故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积；
B.该抛物线与坐标轴交于，，顶点坐标为，故阴影部分的三角形是等腰三角形，其面积；
C.该抛物线与坐标轴交于，，顶点坐标为，故阴影部分的三角形是等腰三角形，其面积；
D.该抛物线与坐标轴交于，，，故阴影部分的三角形是等腰三角形，其面积．
故选A．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，明确顶点运动到时，点的横坐标最大，是解题的关键．根据待定系数法求得顶点是时的解析式，进而即可求得顶点是时的解析式，然后求得与轴的交点即可求得．
【解答】
解：抛物线的顶点为时，点的横坐标为，
设此时抛物线解析式为，
代入得，，
，
此时抛物线解析式为，
抛物线的顶点在线段上运动，
当顶点运动到时，点的横坐标最大，
抛物线从移动到后的解析式为，
令，则，
解得或，
点的横坐标最大值为．
故选B．
13.【答案】
【解析】【分析】由开口向下可知二次项系数小于，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．
【详解】解：顶点在坐标原点，
可设抛物线解析式为，
图象开口向下，
，
可取，
抛物线解析式为，
故答案为：答案不唯一 ，任何 ， 的二次函数均可．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是待定系数法求二次函数解析式有关知识，由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再根据二次项系数决定开口方向和开口大小得到，从而得到所求抛物线解析式．
【解答】
解：设抛物线解析式为，
因为抛物线与抛物线的形状和开口方向相同，
所以，
所以所求抛物线解析式为．
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质．
先把二次函数的解析式配成顶点式，得出顶点坐标，再根据顶点到轴的距离等于得到，解方程即可得出结论．
【解答】
解：
抛物线的顶点坐标为，
，
或无解．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质，由条件求得二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由所给、的对应值可求得函数解析式，再利用二次函数的性质分别判断即可求得答案．
【解答】
解：由表中数值知抛物线过点，和，
设抛物线解析式为，
将代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为，
，
抛物线的开口向上，正确；
抛物线的对称轴为，且开口向上，
当时，随的增大而增大，错误，正确；
当时，取得最小值，最小值为，错误；
故答案为．
17.【答案】解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点

解得
二次函数的表达式为 ．
当 时，
解法二：由题意，设二次函数的表达式为 ．
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
解法三：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，

【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据选取的点设合适的二次函数解析式的形式．
18.【答案】解：水流喷出的的最大高度为米．
由题意可得，抛物线经过点 和 ，
将上述两个点坐标代入 中，得
，
解得 ，
函数关系式为 ；
解：对于 ，
当 时， ，
解得： ，
点 ，即 ，
对于 ，
当 时， ，
解得： ，
点 ，即 ，
，
即 ．
故答案为：

【解析】本题考查了二次函数的解析式的求法，顶点坐标的应用．
利用待定系数法解答，即可求解；
分别求出点 ， ，即可求解．
19.【答案】解：将 ， 代入 得，
，
解得 ，
此二次函数解析式为 ．

【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法及方程组的解法，将点 和点 代入解析式中，求出，即可．
20.【答案】

【解析】【分析】把点代入中，利用待定系数法把问题转化为解方程组即可求解．
令求出，两点坐标即可解决问题．
【小问详解】
把点代入中，得
解之得
二次函数的解析式为：
【小问详解】
对于二次函数
令得
【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握求函数与坐标轴的交点坐标的方法，属于中考常考题型．
21.【答案】解：
，
，
抛物线开口向下，
顶点坐标为，
对称轴为直线．
【解析】本题考查利用配方法求抛物线的顶点式，以及抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴的求法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用配方法将函数写成的形式，根据的符号判断函数图象的开口方向，顶点坐标是，对称轴是直线．
22.【答案】解：因为二次函数图象的顶点是，
所以设函数的解析式为．
将点代入函数解析式得，
，
解得，
所以函数解析式为．
函数图象如图所示，
【解析】根据所给条件，可设函数解析式为顶点式，便可解决问题．
画出中函数图象即可．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，能根据抛物线上的点的坐标，设出合适的函数解析式是解题的关键．
23.【答案】解：抛物线对称轴是直线且经过点
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点
设抛物线的解析式为
即：
把代入得：
抛物线的解析式为：．
设直线的解析式为，设的面积为，
，，
，
解得
直线为，
如图，作轴于，交直线于，
设，则，
，
．
当时，，，
的面积的最大值为，此时点的坐标为
【解析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
因为对称轴是直线，所以得到点的对称点是，因此利用交点式，求出解析式．
根据面积的和差，可得的面积函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
24.【答案】解：四边形是正方形，点，点，
点，点．
抛物线是轴对称图形，点是抛物线的顶点且是上一点，
点的横坐标为，纵坐标为，即点
设该抛物线的表达式为，代入点，
得，
解得．
该抛物线的表达式为，即．
当时，，即点，
则
【解析】本题考查二次函数的图像和性质，正方形的性质等知识．
先求出，的坐标，得出的坐标，设该抛物线的表达式为，代入点，求出，再求出，即可．
25.【答案】解：抛物线过、两点
代入抛物线解析式可得：，
解得：，
抛物线解析式为；
直线过点，
，
，
直线为，
，
抛物线的顶点，
顶点关于直线的对应点的坐标为，
抛物线关于对称的抛物线的解析式为，
由，解得或，
，
抛物线的顶点，
把代入，得，
的面积．
【解析】利用待定系数法求解即可；
先确定点关于直线的对应点的坐标，然后根据顶点式写出对称后的抛物线解析式；
利用待定系数法求得直线解析式，解析式联立成方程组求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．
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