2.4二次函数的应用 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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2.4二次函数的应用北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，下列结论错误的是( )
A. 当小球抛出高度达到时，小球距点水平距离为
B. 小球距点水平距离超过米呈下降趋势
C. 小球落地点距点水平距离为米
D. 斜坡的坡度为：
2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润单位：万元与销售量单位：辆之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为
( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
3.图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶拱桥洞的最高点离水面，水面宽如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( )
A. B. C. D.
4.在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.如图是抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶离水面，当水面宽度增加到时，水面下降( )
A. B. C. D.
6.如图，正方形的边长为，点和点分别从点和点出发，沿射线向右运动，且速度相同，过点作，垂足为，连接，设点运动的距离为，的面积为，则能反映与之间的函数关系的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A. 篮球出手时离地面的高度是
B. 篮圈中心的坐标是
C. 此抛物线的顶点坐标是
D. 此抛物线的解析式是
8.向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是
( )
A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒
9.如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧已知自然状态下，弹簧的初始长度为从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变，得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示根据图象，下列说法正确的是( )
A. 小球从刚接触弹簧就开始减速
B. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
C. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
D. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为
10.农特产品展销推荐会在杨凌举行某农户销售一种商品，每千克成本价为元已知每千克售价不低于成本价，不超过元经调查，当每千克售价为元时，每天的销量为千克，且每千克售价每上涨元，每天的销量就减少千克为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为( )
A. B. C. D.
11.某畅销书的售价为每本元，每星期可卖出本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价元，每星期可多卖出本，设每件商品降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数关系为
( )
A. B.
C. D.
12.滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离单位：与滑行时间单位：之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为时，滑行距离为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面图和截面示意图图，足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如表：则该运动员踢出的足球在第______ 落地．
14.汽车刹车后行驶的距离与行驶时间秒的函数关系是，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒
15.如图，一块矩形土地由篱笆围着，并且由一条与边平行的篱笆分开，已知篱笆的总长为篱笆的厚度忽略不计，当 时，矩形土地的面积最大．
16.旅游盛夏季，在延庆世园公园妫汭湖畔，上演了名为世园之心的音乐喷泉光影秀．如图，是其中一个喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面米，喷出的水流的运动路线是抛物线．如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离是米，水流的落地点到水枪底部的距离是米．那么水流最高点与地面的距离是多少米？
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，要利用一面墙墙长为，用的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．
如果围成的总面积为，求羊圈的边长，各为多少？
保持羊圈的基本结构，羊圈总面积是否可以达到？请说明理由．
18.本小题分
某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 ，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面．
建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
此时，若对方队员乙在甲前处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？
19.本小题分
某商店购进一批成本为每件元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
若商店按单价不低于成本价，且不高于元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润元最大？最大利润是多少？
若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于元，则每天的销售量最少应为多少件？
20.本小题分
某款零件的成本为元个，当售价为元个时，一周销售量为个，经过市场调查，每个零件的售价每降低元降低的价格为偶数，每周销售量会增加个，设每个零件的售价降低元时一周销售量为个．
求与之间的函数表达式．
当每个零件降价多少元时一周销售利润最大，最大利润为多少元？
21.本小题分
某超市销售成本为每千克元的某种水果．在销售过程中发现，每天的销售量 与每千克售价元之间满足一次函数关系其中，且为整数当每千克的售价是元时，每天的销售量为；当每千克的售价是元时，每天的销售量为．
求与之间的函数关系式．
该超市若想获得元的利润，应将售价定为每千克多少元？
当每千克的售价定为多少元时，超市销售该水果每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
22.本小题分
某超市销售一种进价为元的商品，经市场调查后发现，每天的销售量与销售单价元满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元
销售量
根据表中的数据，请直接写出与之间的函数关系式．
超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，若每天获得元的利润，销售单价为多少？
销售单价定为多少时，超市每天的利润最大？最大利润是多少？
23.本小题分
中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为，球网在场地中央且高度为排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．

若某队员第一次在处正上方米发球，当排球运行至离的水平距离为米时，到达最大高度米．
求排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：的函数关系式；
这次所发的球能否过网________填“能”或“否”．
若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由．
24.本小题分
小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是元，花卉的平均每盆利润是元．调研发现：
盆景每增加盆，盆景的平均每盆利润减少元；每减少盆，盆景的平均每盆利润增加元；
花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共盆，设培植的盆景比第一期增加盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为，单位：元．
用含的代数式分别表示，；
当取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是多少？
25.本小题分
某工艺品厂设计了一款每件成本为元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量件是每件售价元为正整数的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
每件售价元
每天销售量件
求关于的函数解析式；
若用元表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求关于的函数解析式；
该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
求出当时，的值，判定；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断；求出抛物线与直线的交点，判断，根据直线解析式和坡度的定义判断．
本题考查的是解直角三角形的坡度问题、二次函数的应用、一次函数的应用，掌握坡度的概念、二次函数
的性质是解题的关键．
【解答】解：当时，，
整理得，
解得，，，
当小球抛出高度达到时，小球水平距点水平距离为或，A错误，符合题意；
，
则抛物线的对称轴为，
当时，随的增大而减小，即小球距点水平距离超过米呈下降趋势，B正确，不符合题意；
，
解得，，，
则小球落地点距点水平距离为米，C正确，不符合题意；
坡度可以根据一次函数图象上点的坐标来判定，
斜坡的坡度为：，D正确，不符合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的应用，掌握销售问题中的等量关系是解题的关键．
设在甲地销售了辆，则在乙地销售了辆，则，，设总利润为元，根据总利润等于两地的利润之和表示出与之间的关系式，再求其最值即可．
【解答】
解：设总利润为元，在甲地销售了辆，则在乙地销售了辆，则，，
由题意，得．
二次项系数为，
时，．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．
本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．
【解答】
解：设此函数解析式为：，；
由题意在此函数图象上．
则
即得，
那么抛物线的关系式是：．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的应用．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
【解答】
解：当时，则，
解得舍去或，
则小康这次实心球训练的成绩为米．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．
根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面下降了多少，本题得以解决．
【解答】解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由已知可得，点在此抛物线上，
则，
解得，
，
当时，
，
此时拱顶离水面，
即水面下降，
故选C．
6.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为．
是正方形的对角线
是等腰直角三角形
的面积
与之间的函数关系是二次函数，且二次函数图象开口方向向上；
因此，选项中只有选项符合条件．
故选：．
根据正方形的性质得到，由题意得出是等腰直角三角形；过点作的高，同时也是的高；再根据等腰直角三角形的性质求出，也就能求出的面积了．
此题综合性较强，涉及二次函数、等腰三角形等知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难．
7.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
可设抛物线的函数关系式为．
篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 ，
，
．
故D正确；
当时，，
球出手处离地面，
故A错误；
由图示知，篮圈中心的坐标是，
故B错误；
由图示知，此抛物线的顶点坐标是，
故C错误；
故选：．
先根据题意求出函数解析式，再根据图象和解析式逐一判断即可．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：此炮弹在第与第秒时的高度相等，
抛物线的对称轴是：，
炮弹所在高度最高是秒，
在四个选项中炮弹所在高度最高的是秒．
故选：．
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值．
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由图象可知，弹簧压缩后开始减速，故选项A不合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为时，此时弹簧的长度为，故选项B符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为，故选项B的说法正确，选项C不合题意：
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故选D不合题意．
故选：．
根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大时，弹簧的长度即可解答．
本题考查一次函数的实际应用，理解图象是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：设每千克的售价应定为千克，每天的销售利润为元，
根据题意得，，
答：当为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为元，
故选：．
设每千克的售价应定为千克，每天的销售利润为元，根据题意得，，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
设每本降价元，则售价为元，销售量为本，根据销售额售价销售量即可列出函数解析式．
【解答】
解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本，
根据题意得，，
故选B．
12.【答案】
【解析】解：观察函数图象，与的关系可近似看成二次函数，
设关于的函数关系式为，
将，，代入得，
解得，
近似地表示关于的函数关系式为，
当时，．
故选 B．
本题考查二次函数的应用，以及待定系数法求二次函数解析式．
根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可解答．
13.【答案】
【解析】解：设抛物线解析式，
将，代入抛物线解析式，
得，，
解得，
抛物线的解析式为：，
令，得舍或，
故答案为：．
设抛物线的解析式为：，将，代入抛物线解析式，令，求出的值即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
14.【答案】
【解析】解：，
汽车从刹车到停下来所用时间是秒．
故答案为：．
利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
考查了二次函数的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的顶点式求函数的最值．
设，矩形土地的面积为，则，进而求出与的函数关系式，将其化为顶点式求最值即可．
【解答】
解：设，矩形土地的面积为，
则，
由题意可得，
，
当时，取得最大值，此时，
，
故答案为：．
16.【答案】水流最高点与地面的距离是米．
【解析】【分析】依据题意，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，进而求出顶点纵坐标即可得解．
【详解】解：以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则点的坐标是 ，点的坐标是 ，水流轨迹抛物线的对称轴是 ，从而可设抛物线为 ，
，且 ．
．
顶点 ．
水流最高点与地面的距离是米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的的性质，正确得出函数解析式是解题关键．
17.【答案】解：设，则，
，
，
由题意知，，即，
解得：，舍，
，，
答：羊圈的边长长为，的长为；
不能，理由如下：
设羊圈的面积为，
则，
当时，，
羊圈总面积最大是，故羊圈的总面积不能达到．
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程或函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
设，则，根据墙长可得的范围，由矩形面积公式列出关于的方程，解之可得；
设羊圈的面积为，由矩形面积公式得出函数解析式，继而配方成顶点式后可得最值．可求出羊圈的最大值，然后可得羊圈的面积不能达到．
18.【答案】解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：
，，
设二次函数解析式为，
将点代入可得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
将点坐标代入抛物线解析式得：
左边右边
即点在抛物线上，
此球一定能投中；
能拦截成功．
理由：将代入得，
他能拦截成功．
【解析】【分析】
观察函数图象可知：抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是设抛物线的解析式是，根据抛物线上点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；
将代入得进而得出答案．本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；代入求出值．
19.【答案】解：设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：
解得：
故函数的表达式为：；
由题意得：，
，故当时，随的增大而增大，而，
当时，由最大值，此时，，
故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润元；
由题意得：，
解得：，
当时，销售量最少．
每天的销售量，
每天的销售量最少应为件．
【解析】将点、代入一次函数表达式，即可求解；
由题意得，即可求解；
由题意得，解不等式即可得到结论．
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润得出函数关系式是解题关键．
20.【答案】解：由题知每个零件的售价降低元时一周销售量为个．
售价是元个时，每周可卖出个，若销售单价每个降低元，则每周可多卖出个，
每个零件的售价降低元时每周可多卖出，
每个零件的售价降低元时一周销售量为；
设利润为元，依题意有：
，
且为偶数，
当或时，取得最大值，最大值最大利润是元；
答：当每个零件降价元或元时一周销售利润最大，最大利润为元．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量每个的利润得出函数关系式是解题关键．
根据题意，由售价是元个时，每周可卖出个，若销售单价每个降低元，则每周可多卖出个，可得销售量个与降价元之间的函数关系式；
根据题意结合每周获得的利润销量每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案．
21.【答案】解：设与之间的函数关系式为，根据题意，得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；
，
，
，
，，
，
只取，
答：将售价定为每千克元．
设每天的销售利润为元，则有：
，
，
开口向下，
当时，随的增大而增大，
，且为整数．
当时，有最大值，最大值为元．
答：当每千克的售价定为元时，超市销售该水果每天销售利润最大，最大利润是元．
【解析】设与之间的函数关系式为，利用待定系数法求解析式即可；
根据销售数量乘以每千克的利润等于总利润列方程求解即可；
设每天的销售利润为元，列函数关系式，根据二次函数的性质解答．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
22.【答案】解：设，将，代入得：
，
解得，
与之间的函数关系式是；
根据题意得：，
解得或，
超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
取，
销售单价为元；
设每天的利润为元，
根据题意得，
，抛物线开口向下，
当时，取最大值，最大值为，
销售单价定为时，超市每天的利润最大，最大利润是元．
【解析】本题主要考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用的有关知识．
设，用待定系数法可得与之间的函数关系式是；
根据每件利润乘销售量可得：，解方程取符合题意的解即可；
设每天的利润为元，可得，由二次函数性质可得答案．
23.【答案】解：由题意可得抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
把 代入，得 ，
所求函数关系为 ．
当 时，则 ，
故能过网．
令 ，则 ，
解得 舍， ．
，
没有出界．

【解析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线的图像性质解题．
根据顶点式列出抛物线方程，然后代入点 求得，即可得到函数关系式．
根据抛物线图像性质求解即可．
24.【答案】解：培植的盆景比第一期增加盆，
则第二期盆景有盆，花卉有盆，
所以，
；
根据题意，得：
，
因为，且为整数，
所以当时，取得最大值，最大值为，
答：当时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润最大，最大总利润是元．
【解析】本题主要考查二次函数的应用及二次函数的性质，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式，属于中档题．
培植的盆景比第一期增加盆，则第二期盆景有盆，花卉有盆，根据“总利润盆数每盆的利润”可得函数解析式；
将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
25.【答案】解：设，
由表可知：当时，，当时，，
则，解得：，
关于的函数解析式为：；
由题意可得：
，
关于的函数解析式为：；
，
当或时，代入，
可得：，
该工艺品每件售价为元或元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】根据表格中数据利用待定系数法求解；
利用利润销售量售价成本即可表示出；
根据中解析式求出当为何值，二次函数取最大值即可．
本题考查了求一次函数表达式，二次函数的实际应用，解题的关键是弄清题中所含的数量关系，正确列出相应表达式．
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