2.5二次函数与一元二次方程 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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2.5二次函数与一元二次方程北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值有下列结论：
；和是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
2.如图，抛物线交轴于，两点，与轴的交点在，之间包含端点，抛物线的对称轴为直线有以下结论：
；
；
；
为实数；
若，，，是抛物线上的两点，当时，其中结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
3.若二次函数的图象与轴有公共点，那么的取值范围是
( )
A. B. C. D.
4.如图，抛物线交轴于点，，交轴于点若点坐标为，对称轴为直线，则下列结论错误的是( )
A. 二次函数的最大值为 B.
C. D.
5.已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
6.如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
8.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是
( )
A. B. C. 且 D. 或
9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，它与轴分别交于，两点，与轴的交点为，过点作平行于轴交抛物线于点，交于点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.二次函数的部分对应值如表：
利用二次函数的图象可知当函数值时，的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
11.二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是( )
A. 图象开口向下
B. 时，函数有最大值
C. 方程的解是，
D. 时，函数随的增大而减小
12.在平面直角坐标系中，已知函数，，，其中，，是正实数，且满足设函数，，的图象与轴的交点个数分别为，，，下列选项正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为 ．
14.如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则有下列结论：
；；；关于的方程有一个根为．
其中正确的结论个数有_______填序号
15.已知二次函数的图象的顶点在轴下方，则实数的取值范围是 ．
16.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与直线相交于、两点，点是原点．
求二次函数的解析式．
求点的坐标．
直接写出不等式的解．
18.本小题分
如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，抛物线经过点，．
求抛物线的解析式；
根据图象，写出不等式的解集．
19.本小题分
已知二次函数．
求证：无论取任何值，二次函数的图象与轴总有两个不同的交点；
若此函数图象的顶点为点，与轴的交点于点，直线与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴相交于点，求证：．
20.本小题分
如图，一名男生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是．
求：
铅球在行进中的最大高度；
该男生将铅球推出的距离是多少？
21.本小题分
如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点．
求点、、坐标；
若直线经过、两点，直接写出不等式的解集．
22.本小题分
如图，抛物线交 轴于，两点点在的右边，与轴交于点，连接，点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为点，交于点．
求、两点坐标；
过点作，垂足为点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？
试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由．
23.本小题分
二次函数的图象经过，两点，将图象中，的部分称为函数的图象，将平行于轴的直线平行移动．
求二次函数的图象与轴的交点坐标；
求直线平移与函数的图象只有一个公共点时，的取值范围．
24.本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
求该二次函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，直接写出的取值范围．
25.本小题分
如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为．
求二次函数的解析式及点的坐标；
由图象写出满足的自变量的取值范围；
坐标原点为，在抛物线上是否存在一点，使得的面积为？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．依据二次函数图象及其性质，逐项判断即可．
【解答】
解：当时，，
当时，，
，
，
，
正确；
是对称轴，
时，则时，，
和是关于的方程的两个根；
正确；
，，
，
，
当时，，
，
，
错误，
正确的结论有个，
故选：．
2.【答案】
【解析】本题考查了二次函数的图象及性质．抛物线开口向下，对称轴为直线， ，，，，错误．抛物线与轴交于点，，，，正确．，抛物线与轴的交点在，之间包含端点，，， ，正确．抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，当为实数时，，，，错误．点，是抛物线上的两点，点，关于对称轴对称， ，当时，，正确．结论正确的是．
3.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，根据已知得出方程 有两个实数根，即 ，求出不等式的解集即可．
【详解】 函数 的图象与轴有公共点，
方程 有两个实数根，即 ，
解得： ．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：抛物线过点，对称轴为直线，
因此有：，即，因此选项D错误，符合题意；
当时，的值最大，选项A正确，不符合题意；
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，因此选项B正确，不符合题意；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，故选项C正确，不符合题意；
故选：．
本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的性质及相应一元二次方程的根的判别式逐个判断即可．
5.【答案】
【解析】解：二次函数的图象和轴有交点，
，且，
且，
故选：．
根据抛物线与轴的交点则且，可得答案．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，明确的符号决定了抛物线与轴的交点个数是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解．
【解答】
解：抛物线对称轴为直线，点坐标为，
由抛物线的对称性可得图象与轴另一交点坐标为，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：二次函数的图象与轴有交点，
方程有实数根，
即，，由于是二次函数，故，
则的取值范围是且．
故选：．
分析：利用有实数根，根据判别式可求出取值范围．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系．
8.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的对称性求出与轴的另一个交点坐标，然后根据函数图象写出轴下方部分的的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
又抛物线开口向下，
不等式的解集是且．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，二次函数的性质，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：抛物线，
顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，
，平行于轴，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得，
故选：．
根据题意和抛物线解析式，可以得到点和点的坐标，再根据题意可知四边形是平行四边形，即可得到，然后根据，即可得到的值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．
10.【答案】
【解析】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，的值随的值增大而减小；当时，的值随的值增大而增大，
，开口向上，
根据抛物线的对称性知：与轴交于、两点，
则当函数值时，的取值范围是．
故选：．
根据表格得到图象经过点和点，抛物线开口向上，根据二次函数的性质解答．
本题考查的是抛物线与轴的交点、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：图象的开口向下，对称轴是直线，
时，函数有最大值，当时，随的增大而增大，
故A，，D正确；
对称轴是直线，抛物线与轴的交点为，
抛物线与轴的另一交点为，
方程的解是，，
故C错误．
故选：．
分析：根据函数的图象得出图象的开口向下，与轴的交点在轴的正半轴上，对称轴是直线，并利用抛物线的对称性逐个判断即可．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质，能根据图象得出正确信息是解此题的关键，用了数形结合思想．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线与轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
选项B正确，利用根的判别式的性质证明即可．
【解答】
解：选项B正确．
理由：，，
，，
，，是正实数，
，
，
，
对于，
则有，
，
选项B正确，
故选：．
13.【答案】或或
【解析】【分析】
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与轴只有一个交点时，据此求解可得．
本题考查了抛物线与轴的交点：求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
【解答】
解：当，即时，函数解析式为，与轴只有一个交点；
当，即时，根据题意知，，
整理，得：，
解得：或；
综上，的值为或或．
故答案为：或或．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．本题属于中等题型．根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：由抛物线的开口可知：，
由抛物线与轴的交点可知：，
由抛物线的对称轴可知：
，
，
，故正确；
令，，
，故正确；
，
，故正确；
对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，
，
，
设关于的方程有一个根为，
，
，故正确．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在轴的下方得出，求出即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系和抛物线与轴的交点，能根据题意得出是解此题的关键．
【解答】
解：二次函数中，图象的开口向上，
又二次函数的图象的顶点在轴下方，
，
解得：，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：观察图象可知当，时，．
在交点之间时，一次函数的图象在抛物线下方，即，
所以不等式的解集是．
故答案为：．
首先确定两个图象的交点横坐标，再判断图象的位置，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．
本题考查了不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象点的坐标特征和数形结合思想是解题关键．
17.【答案】解：设抛物线顶点式为，
将代入得，
解得，
．
令，
解得，，
将代入，
点坐标为
由图象可得时，抛物线在直线下方，
不等式的解为．
【解析】设抛物线为顶点式，将原点坐标代入解析式求解．
联立抛物线方程与直线方程求解．
由图象中，交点的横坐标求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
18.【答案】解：当时，，
当时，，
解得，
，，
把，代入得：，
解得，
抛物线的解析式是．
观察函数图象可知当时的函数值大于的函数值，
不等式的解集为：．
【解析】根据题意得出、点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；
根据图象判断即可．
本题主要考查二次函数与不等式，待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
19.【答案】证明：，
方程有两个不相等的实数解，
即无论取任何值，二次函数的图象与轴总有两个不同的交点．
证明：二次函数，
对称轴的直线为，顶点点的坐标为，点，
对称轴的直线与轴相交于点，
，
，，，
，
，
是直角三角形，，
．
【解析】根据根的判别式得出，即可证明结论；
用表示出、两点的坐标，求出点的坐标，用表示出，，，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得出，即可得出答案．
本题主要考查了根的判别式，勾股定理及逆定理的应用，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理，准确进行计算．
20.【答案】解：，
，
的最大值为，即铅球行进的最大高度是；
由得，，
解这个方程得，，负值舍去，
该男生把铅球推出的水平距离是．
【解析】此题主要考查了二次函数的应用，结合题意理解铅球落地时离地的高度是解题的关键．
将函数的解析式配方得到，求出最大值即可；
根据题意可得：，进而解方程得出的值，即可得出答案．
21.【答案】解：令，则，
解得或，
点坐标为，点坐标为，
令，，
点坐标为．
由图象可得，当时，抛物线在直线上方，
的解集为．
【解析】令可得点，坐标，令可得点坐标．
通过观察图象，之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22.【答案】解：当，，解得，，
，，
，
的解析式为：，
设点，则点，
，
，
，
，
，
有最大值，
当时，的最大值为．
存在，理由：
点、、的坐标分别为、、，
则，，，，
当时，如图，
则，
设：，则，
由勾股定理得：，解得：或舍去，
故点．
当时，如图，
，则，
则，
故点
当时，
设点的横坐标为，
，
，
即，
解得．
，
舍去．
综上所述点的坐标为：或
【解析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，最后一问分类讨论是解本题的关键．
由二次函数交点式表达式，即可求解．
由即可求解．
分、、三种情况，当时，构造直角三角形利用勾股定理可求坐标；时，先求再求，即可得到坐标；时，求出和的表达式，解之即可．
23.【答案】解：由题意可知，函数的图象如图所示．
将与分别代入抛物线，
解得，，，即，
令，即 ，解得，，
图象与轴的交点坐标为，．
由题意可知图象中：当时，；当时，；顶点坐标为．
当直线平移与函数图象只有一个交点时，或．

【解析】本题考查求函数图象与轴交点坐标的求法，数形结合的分析、解决平行移动的直线与函数图象交点的个数问题．
24.【答案】解：解：把代入中得：，解得
二次函数解析式为；
当时，对于的每一个值，函数的值小于二次函数的值，
即当时，，
即，
令，
函数开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，的最小值为当时的值，
当时，，即当时，的最小值为，
．

【解析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式之间的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
利用待定系数法求解即可；
根据题意可知当时，恒成立，令 ，即可求出当时，的最小值为，从而可得的取值范围．
25.【答案】解：把代入得：，解得：，
，
令，，
点，
综上：二次函数的解析式为，点．
由图可知：
，，
当或时，．
，
，
的面积为
，即，
解得：，
设点到轴的距离为，即点的纵坐标为或，
当时，，
解得：，
，
当时，，解得：，
，或．
综上：存在，或或．
【解析】把代入即可求出的解析式，令即可求出点的坐标；
根据图象即可进行解答；
根据三角形的面积求出三角形的高，再进行分类讨论即可．
本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会根据图象求解自变量的取值范围．
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