3.1圆 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.1圆北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列各图形中，各个顶点一定在同一个圆上的是
．( )
A. 正方形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 梯形
2.有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，，点、分别在射线、上，长度始终保持不变，，为的中点，点到、的距离分别为和，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为．( )
A. B. C. D.
3.在平面内与点的距离为的点的个数为
( )
A. 无数个 B. 个 C. 个 D. 个
4.下列圆中既有圆心角又有圆周角的是
A. B. C. D.
5.如图，点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上．若，都是整数，则这样的点一共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 以上都不对
6.如图，中，，，，以为圆心为半径作圆，延长交圆于点，则长为( )
A. B. C. D.
7.在等腰中，，，点在以为圆心，长为半径的圆上，且，则的度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.如图，中，，是的中点，以为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则的度数是( )
A. B. C. D.
9.如图，已知，是的弦，，点在弦上，连接并延长交于点，，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.圆的直径，点是圆上一点不与点、重合，作于点，若，则的长是
( )
A. B. C. 或 D.
11.如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点，之间的距离为现用一个半径为的圆形纸片将其完全覆盖，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12.如图，在中，，，，的面积为，点，分别在、线段上运动，则长度的最小值等于
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在中，弦半径，，则的度数为 ．
14.如图，在中，，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，则的长为 ．
15.著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一位数学家、发明家．他曾经设计过一种如图所示的圆规，有两个互相垂直的滑槽滑槽的宽度忽略不计，一根没有弹性的木棒两端、能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆．若，则画出的圆的半径为 ．
16.如图所示的正方形网格中，，，，，是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，则与的长度之比为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，、是的两条弦．若，，求的度数．
18.本小题分
已知，．
求作：的外接圆要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
若的外接圆的圆心到边的距离为，，求的面积．
19.本小题分
由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近日，市气象局测得沙尘暴中心在市正东方向的处，正向西北方向转移，如图所示，距沙尘暴中心的范围内将受到影响，则市是否会受到这次沙尘暴的影响？
20.本小题分
已知：如图，是的直径，是的弦，，的延长线交于，若，，求及的度数．

21.本小题分
如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点．
求证：
当是等腰三角形时，求的大小．
22.本小题分
如图，半圆的直径，半径，为上一点，，，垂足分别为，，求的长．
23.本小题分
如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，求和的长．
24.本小题分
如图，已知在中，．
请用圆规和直尺作出，使圆心在边上，且与，两边都相切保留作图痕迹，不写作法和证明
若，，求的面积．
25.本小题分
如图，是的直径，点在圆周上不与点、重合，点在的延长线上，连接交于点，D.求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：正方形对角线相等且互相平分，
四个顶点到对角线交点距离相等，
正方形四个顶点定可在同一个圆上．
故选：．
四个顶点可在同一个圆上的四边形，一定有一点到它的四个顶点的距离都相等，因而、、都是错误的；正方形的四个顶点到对角线的交点的距离都相同，因而正方形的四个顶点一定可以在同一个圆上．
此题主要考查了圆的认识，能够理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】连接、，
由勾股定理，得，
在中，点是的中点，，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的弧，
当点落在线段上时，的值最小，
的最小值为故选C．
3.【答案】
【解析】解：所有到定点的距离等于的点在以点为圆心，为半径的圆上．
故选：．
在平面内与点的距离为的点在“以点为圆心，为半径为的圆”上．
本题主要考查了圆的相关概念．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角与圆心角的识别，熟记圆周角与圆心角的定义与图形特征是解题的关键．根据圆周角的定义：顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆心，两条边都与圆周相交的角是圆心角．进行判断便可．
【解答】
解：图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；
B.图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；
C.图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
D.图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】根据题意，得其整数解为所以这样的点一共有个．
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用及圆的有关性质。连接，并作边上的垂线，由于与均为圆的半径，则为等腰三角形，由三线合一的性质可知，在和中，利用勾股定理即可求得的长度，从而可求的长度。
【解答】
连接，过点作边上的垂线，垂足为，如图所示：
因为，则与均为直角三角形；
设，，由勾股定理得：
，
，
联立可得：，
则，
因为、均为圆的半径，所以为等腰三角形，利用三线合一的性质可知：，
则。
故答案为：．
7.【答案】
【解析】解：如图，当点在直线的右侧时，连接，
，，
，
，，，
≌，
，
，
当点在的左侧时，同法可得，
，
故选：．
分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题．
本题考查圆的相关概念，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
8.【答案】
【解析】解：如图，由题意得：．
，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据圆中半径相等，得到，，利用三角形内角和定理，平角的定义，以及四边形的内角和为，进行计算即可．
本题考查圆的基本概念，三角形的内角和定理．熟练掌握圆中半径都相等，利用等边对等角，进行求解，是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆的性质和等腰三角形的性质及角的计算，掌握圆的半径相等和等边对等角是解题的关键．连接，根据圆的半径相等证明和，得到答案．
【解答】
解：连接，
，
，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
分两种情况画出图形，由勾股定理求出，则可得出答案．
【解答】
解：当点在上，如图，连接，
圆的直径，
，
，
，
，
当点在线段上时，如图，
同理可得出．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查圆的有关概念，掌握圆的有关概念和勾股定理是解题关键．
根据，求出每个小正方形的边长，再由勾股定理和半径相等列方程组求解．
【解答】
解：如图，设．
在中，，，
，
解得负值舍去，
，，
圆心在图形的对称轴上，设，，
解得：负值舍去，
的最小值是．
故选B．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的相关概念，三角形三边之间的关系，垂线段最短，直角三角形的性质等知识．
作，交于，交于，则，即是的最小值，根据含角的直角三角形的性质得出、，求出半径，即可解答．
【解答】
解：作，交于，交于，则，即是的最小值，
，，，
，
，
，
的面积为，
，
，
长度的最小值等于．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和：三角形内角和是也考查了等腰三角形的性质和圆的认识．先根据平行线的性质得到，然后根据圆半径都相等，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】：
【解析】解：由勾股定理得，，
则，
，
与的长度之比：：，
故答案为：：．
根据勾股定理分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
17.【答案】设，在中，又，在中，，，解得
【解析】见答案
18.【答案】略
【解析】略
19.【答案】如图，过点作于点，由题意，得，，所以．
在中，设．
由勾股定理，得，
所以，所以
因为，
所以市将受到这次沙尘暴的影响．

【解析】见答案
20.【答案】解：连接，

，
，又，
，
，
同理


【解析】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质等有关知识，要求 的度数，由知与半径相等，连接构造等腰和等腰，得到，由图知 ，进行求解即可．
21.【答案】【小题】
【证明】连接并延长，交于，如图．，弧弧．过圆心，垂直平分弦，平分，．，，．
【小题】
设由知，．是等腰三角形，则分两种情况进行讨论：
若，则．，在中，，，解得，．
若，则，在中，，，，．
综上所述，当是等腰三角形时，的大小为或．

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】解：如图，连接．
，，，
，
四边形是矩形，．
，．

【解析】本题考查了圆的认识及矩形的判定与性质，解题的关键是利用矩形的判定方法判定四边形为矩形．连接，利用三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，利用矩形的对角线相等即可得到所求结论．
23.【答案】解：连接，，
，垂足为，，，
，
；
，
．
【解析】本题考查的是圆的相关概念，勾股定理的知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接、，根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，进一步求出，再利用勾股定理求出的长，即可得到结论．
24.【答案】解：如图所示，则为所求作的圆．
，平分，
，
，
，
在中，
，
，
，
的面积为．
【解析】本题考查的是基本作图，角平分线，勾股定理，含直角三角形有关知识．
作的平分线交于，再以为圆心，为半径即可作出；
根据角平分线的定义得到，得出，然后再利用勾股定理求出，最后求出的面积即可．
25.【答案】解：如图，连接．
设．
，
．
是的外角，
．
是的外角，
．
，
，即D.
．
．
【解析】见答案．
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