3.2圆的对称性 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.2圆的对称性北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，，为半圆的三等分点，则下列结论：绕点逆时针旋转与重合其中正确的共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.如图，在中，，则与的大小关系是
( )
A. B. C. D. 不能确定
3.如图，、是的两条弦，，，垂足分别、，若，则的度数等于( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，是的直径，点在上，点，是的三等分点，，则的度数是
( )
A. B. C. D.
5.下列图形中为圆心角的是( )
A. B. C. D.
6.如图是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则( )
A. B. C. D.
7.在中，弦等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交，于点，，连接，则弧的度数为( )
A. B. C. D.
9.在中，若圆心角，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
10.如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点，连接，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
11.如图，的外接圆上，，，三弧的度数比为自劣弧上取一点，过分别作直线，直线的平行线，且交于，两点，则的度数为．( )
A. B. C. D.
12.已知在扇形中，，，为弧的中点，为半径上一动点，点关于直线的对称点为，若点落在扇形内不含边界，则长的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，是的直径，是的弦，、的延长线交于点，若，，则弧的度数为
14.如图，点在半圆上，是直径，若，则的长为 ．
15.如图，和是的直径，弦若弦，则弦的长为 ．
16.如图，半径为的扇形中，，为半径上一点，过作于点，以为边向右作等边，当点落在上时，______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，，求证：．
18.本小题分
如图，的弦、的延长线相交于点，且求证：．
19.本小题分
如图，中，弦与相交于点，，连接、．
求证：；
．
20.本小题分
如图，，是的直径，是上的一点，且
求证：；
若，求的度数．
21.本小题分
如图，、、、是上四点，且，求证：．
22.本小题分
如图，在边长为的正方形网格纸中，以为圆心，为半径作圆，点、、均在格点上仅用无刻度直尺，完成下列作图不写作法，保留作图痕迹：
在图中，作的中点；
在图中，作，使得．
23.本小题分
如图：，于，于，求证：．
24.本小题分
在扇形中，，点在上，且，点在半径上，以，为邻边作平行四边形，当点，，共线时，
求的度数
求证：．
25.本小题分
如图所示，的弦，所在直线相交于点，若，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆心角，弧，弦之间的关系，关键是熟练掌握它们之间的关系根据等分，可得圆心角相等，弧相等，弦相等，从而判断的正误；根据等分可得圆心角的度数，从而可得两三角形的关系，即可判断的正误．
【解答】
解：因为，为半圆的三等分点，所以，故正确
在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，
所以，．
又因为，
所以．
易知，和为全等的等边三角形，故正确．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆心角，弧，弦的关系，根据圆心角，弧，弦的关系直接进行求解即可．
【解答】
解：在中，，
，
故选C．
3.【答案】
【解析】解：如图，设交于点．
，，
，
，
，
，
故选：．
如图设交于点证明，可得结论．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是圆心角，弧，弦的关系在同圆中，由弧等可得到所对的圆心角相等，由此可求出的度数，再根据互补关系可求出的度数．
【解答】
解：、是上的三等分点，
，
，
，
是的直径，
．
，
，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】圆心角的特征：角的顶点是圆心角的两边与圆相交，只有选项符合故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
由弧长公式：是弧的圆心角的度数，是弧的半径长，即可计算．
【解答】
解：圆弧的半径，圆心角，
的长．
故选：．
7.【答案】
【解析】本题考查的是圆心，弦，弧有关知识．
根据题意画出图形，判断出是等边三角形，再求出弦所对的圆心角的度数．
【解答】
解：如图，是的一条弦，是的半径，
，
是等边三角形，
，
故选C．
8.【答案】
【解析】，，，，，的度数为故选C．
9.【答案】
【解析】如图，作的平分线，交于，平分，．，，，，，故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图，连接，证明≌，推出，由，推出，，由，推出，根据三角形内角和定理构建方程求出即可．
【解答】
解：如图，连接，．
，，，
≌，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆心角、弧、弦的关系，平行线的性质，先根据，，三弧的度数比为：：求出、、的度数，再根据其度数即可求出及的度数，由平行线的性质即可求出及的度数，由三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：、、弧的度数比为，
的度数为：，的度数为：，
，，
，，
，，
．
故选C．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，当点落在上时，，
，，
，
，
，
．
当点落在上时，连接，，，，过点作于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，，
≌，
，
设，则．
，
，
，
观察图象可知：点落在扇形内不含边界，则．
故选：．
求出两种特殊位置：当点落在上时，当点落在上时，的值，可得结论．
本题考查圆心角，弧，弦，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
弧的度数为
故答案为：
连接、，根据得等于圆的半径，在和中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出，，进而得到弧的度数．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求出的度数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】如图，连接，，
是直径，，即，，，在中，，，．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】解：如图，连接设．
，
，
，
，
，
在中，，

，
是等边三角形，
，，
，
，
，
负根已经舍去，
．
故答案为：．
如图，连接设证明，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】证明：，
，
，
即，
．
【解析】此题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系定理结合已知条件证明，再次根据圆心角、弧、弦的关系定理可得答案．
18.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用等式的性质可得，从而可得，即可解答．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】证明，
，即，
；
，
，
在和中，
，
．
【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；也考查了圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
由知，即，据此可得答案；
由知，结合，可证，从而得出答案．
20.【答案】证明：，
．
，
，
；
解：，，
．
由知，，
，
．
【解析】本题主要考查的是圆心角，弧，弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
根据可知，再由证出，即可得出结论；
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再由可得出，根据邻补角的定义即可得出结论．
21.【答案】证明：，
，
，
即，
．
【解析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出是解此题的关键．
22.【答案】解：如图，连接，过点、作直线交于点，点就是所求的点；
如图，连接，过点作的垂线交于点，即为所求．

【解析】在图中连接，过点、作直线交于点，点就是所求的点；
在图中连接，过点作的垂线交于点，即为所求．
本题考查了作图应用与设计作图，圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是准确画图．
23.【答案】证明：如图，
，
，
于，于，
，
在与中，
≌，
．
【解析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．根据相等的弧所对的圆心角相等得到，再根据于，于得出，然后证明≌，最后根据全等三角形的性质即可证明．
24.【答案】解：，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
连接，
，，
是等边三角形，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
；
，
，
．
【解析】本题考查平行四边形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
求出，再利用平行四边形的性质和平行线的性质求解即可．
连接，则是等边三角形，可得，，然后由平行线的性质和等角对等边证明即可．
25.【答案】证明：如图，连接，．
，
，
，，
，
同法可证，，
，
，
．
【解析】如图，连接，证明，推出，可得结论．
本题主要考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是连接，，证明．
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