3.3垂径定理 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.3垂径定理北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在等边中，，都是圆的弦，，，垂足分别为，，如果，那么的面积为( )
A. B. C. D.
2.如图，为的直径，弦于点，于点，若，，则的长度是
( )
A. B. C. D.
3.如图，中，，，是线段上一点，过点的交 于点，是线段上一点，且，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径，水面宽是，则截面水深是( )
A. B. C. D.
5.如图，是的直径，弦于点，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6.如图，半圆的直径，弦，平分，则的长为( )
A. B. C. D.
7.如图，是的直径，弦于点，如果，，那么线段的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为( )
A.
B.
C.
D.
9.某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度弧所对的弦的长，拱高弧的中点到弦的距离，则求拱桥的半径为
( )
A. B. C. D.
10.如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，是以为直径的半圆上一点，连结，，分别以，为边向外作正方形，，，，，的中点分别是，，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
12.已知：如图，在以点为圆心的两个圆中，大圆的弦和小圆交于点，，大圆的半径是，，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，的直径为，为弦，是的中点，若，则弦的长为 ．
14.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于，两点，他测得“图上”圆的半径为厘米，厘米若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为分钟，则现在“图上”太阳与海平线的位置关系是______ ；“图上”太阳升起的平均速度为______ 厘米分．
15.如图，是的弦，于点，若，，则半径的长为 ．
16.如图，为的直径，弦，垂足为点，连接，若，，则等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的点、、．
试确定所在圆的圆心；
设是等腰三角形，底边厘米，腰厘米，求圆片的半径结果保留根号
18.本小题分
如图是正在修建的某大门上半部分的截面，其为圆弧型，跨度弧所对的弦的长为米，拱高弧的中点到弦的距离为米．
求该圆弧所在圆的半径；
在修建中，在距大门边框的一端点米处将竖立支撑杆，求支撑杆的高度．
19.本小题分
如图，弓形铁片所在圆的圆心为点，半径为，弓形的高弧的中点到弦的距离的长度为，求弦的长度．
20.本小题分
紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上图是正确使用该工具时的示意图如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点若，，求这个紫砂壶的壶口半径的长．
21.本小题分
某桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径桥拱圆弧所对的弦的长为，拱高桥拱圆弧的中点到弦的距离为求此桥拱圆弧的半径精确到
22.本小题分
如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点、、．
用尺规作图法找出所在圆的圆心保留作图痕迹，不写作法；
设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径．
23.本小题分
图为杭州国际会议中心，是全国最大的球形建筑，如图是球体的轴截面示意图，已知这个球体的高度为米，球的半径为米，则这个国际会议中心建筑的占地面积为多少？结果保留
24.本小题分
已知：如图，直线与圆交于点、，直线过圆心，若圆的半径是，且，，求弦的长．
25.本小题分
如图，为的直径，为弦，，连接，交于点．
求证：：
过点作，垂足为，交于点，若是的直径，，求和的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，根据垂径定理可知是等边的中位线，再根据可求出的长，再由等边三角形的性质即可求出的面积．
【解答】
解：，都是的弦，，，垂足分别为，，
，分别是，的中点，
是等边的中位线，
，
，
由勾股定理可得边上的高为：，
，
故选B．
2.【答案】
【解析】解：于点，
．
，，，
．
．
，，
∽．
，即．
．
，
．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，垂径定理等知识点，解题的关键是构造辅助线得到使线段最小的位置．
【解答】
解：如图，作，，，、、是垂足，则是矩形，．
是的弦，，
，，
，
，
的最小值是．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键，由题意知，交于点，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论．
【解答】
解：由题意知，交于点，
，
，
在中，
，，
，
．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：，
，
在中，．
故选：．
先利用垂径定理得到，然后根据勾股定理计算的长．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
6.【答案】
【解析】解：连接，，作于，于，
角平分线的定义，
，
，
又，
≌，
，
在中，，
在中，．
故选：．
连接，，作于，于，运用圆周角定理，可证得，即证≌，所以，根据勾股定理，得，在直角三角形中，根据勾股定理，可求的长．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系及垂径定理，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了垂径定理和勾股定理．
根据垂径定理可得，，在中，根据勾股定理，，计算即可得出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
在中，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接．
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，
设，
在中，则有，
解得，
，
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．用表示桥拱，的圆心为，半径为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点根据垂径定理和勾股定理列出，求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，用表示桥拱，的圆心为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点．
设半径为，
根据垂径定理得，是的中点，是的中点，就是拱高．
，，，
在中，由勾股定理得，
即：
解得．
拱桥的半径为．
10.【答案】
【解析】解：过点作于，交半圆于点，连接，如图，
半圆沿所在的直线折叠，圆弧恰好过圆心，
，
，
，
，即，
为直径，
，
．
故选：．
过点作于，交半圆于点，连接，根据折叠的性质得到，则，则可根据含度的直角三角形三边的关系得，即，根据圆周角定理得，根据含度的直角三角形三边的关系得．
本题考查了垂径定理，折叠的性质和圆周角定理，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】
【解析】解：连接，，
，，，的中点分别是，，，，
，，
、是、的中点，
，
，，
，
，
故选：．
连接，，根据，，，的中点分别是，，，得到，，从而得到、是、的中点，利用中位线定理得到和，从而利用求解．
本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．
12.【答案】
【解析】解：过点作于点，
大圆和小圆的圆心都为点，，
，，
，
，
，
，
设，
则，
在中，，
解得：，
即的长为，
故选：．
过点作于点，由垂径定理求得，根据勾股定理求出的长度，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的长．
本题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理常与勾股定理相结合来解题．
13.【答案】
【解析】【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，垂径定理“平分弦不是直径的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧”连接 ，根据垂径定理可得 ，根据勾股定理求出 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，
的直径为，
，
是 的中点，
，
根据勾股定理可得： ，
．
故答案为．
14.【答案】相交
【解析】解：结合图形，依题意得：“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；
故答案为：相交．
设圆心为，过点作于，直线交圆于，，如图：
，，
在中，由勾股定理得：，
，
“图上”太阳升起的平均速度为：厘米分．
故答案为：．
结合图形依题意即可得出答案；
设圆心为，过点作于，直线交圆于，，先利用勾股定理得求出，进而得，据此可求出“图上”太阳升起的平均速度．
此题主要考查了垂径定理及其推论，勾股定理等，理解垂径定理及其推论，灵活运用勾股定理进行计算是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
，
为的中点，
在中，，，
．
的半径，
故答案为：．
根据垂径定理得出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：为圆的直径，弦，
，
，，
，
，
．
．
故答案为：．
由垂径定理得到，根据，可求出的长，利用勾股定理可求出的长．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据垂径定理得出是解答此题的关键．
17.【答案】解：作必过圆心，作，必过圆心，、交点必为圆心；
设半径为连接，因为，故A．
所以：，．
根据勾股定理，，解得．
【解析】根据垂径定理，作必过圆心，作，必过圆心，、交点必为圆心；
连接根据，过圆心，依据垂径定理推论，可判断，根据勾股定理求半径．
此题是一道实际问题，将圆的相关知识和勾股定理结合，有一定的开放性，可以作出图形，根据勾股定理和垂径定理解答．
18.【答案】解：垂直平分，
圆心在的延长线上，
连接、，过点作于点，如图，
设的半径为米，则米，
，
米，
在中，，
解得，
即该圆弧所在圆的半径为米；
过点作于点，如图，
米，
米，
，
四边形为矩形，
，米，
在中，米，
米，
米，
米．
即支撑杆的高度为米．
【解析】利用垂径定理得到圆心在的延长线上，，连接、，过点作于点，如图，设的半径为米，则米，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；
过点作于点，如图，先证明四边形为矩形得到，米，再在中利用勾股定理计算出米，然后计算的长，从而得到支撑杆的高度．
本题考查了垂径定理的应用：运用垂径定理和勾股定理，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
19.【答案】解：，
，
，，
，
，
．
【解析】利用垂径定理以及勾股定理求解即可．
本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，属于中考常考题型．
20.【答案】解：如图，连接．
过圆心，，，
．
，
．
，
．
解得．
这个紫砂壶的壶口半径的长为．
【解析】此题主要考查垂径定理及勾股定理的应用，连接，根据垂径定理与勾股定理求解．
21.【答案】解：如图，设圆心为，作于点，交圆弧为点，设半径为，
则，，，
由勾股定理得：，
解得：，
答：此桥拱圆弧的半径为．
【解析】设圆心为，作于点，设半径为，根据垂径定理得，，，由勾股定理得：，即可求出答案．
该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
22.【答案】解：如图，点即为所求；
如图，连接交于点，连接．
，
，
是半径，
，
，
，
，则有，
．
【解析】作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求；
如图，连接交于点，连接利用垂径定理，勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解．
本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：连接，
，
平方米．
答：这个国际会议中心建筑的面积为平方米．
【解析】本题考查勾股定理以及圆的面积公式的实际应用．首先根据勾股定理求出的值，然后根据圆的面积公式求出这个国际会议中心建筑的占地面积．
24.【答案】解：作于点．
，，
，
，
．
在中，，，
．
【解析】此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用．
已知的长及的半径，即可求出的长；过作的垂线，设垂足为，在中，由的长和的度数，可求出的值；进而可在中，用勾股定理求出的长．根据垂径定理知，由此可求出的长．
25.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】由平行线的性质得到：，由圆周角定理得到，因此；
连接，，由圆周角定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质，求出，推出是等边三角形，得到的长，由等腰三角形的性质推出，由锐角的余弦即可求出的长．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由圆周角定理，三角形外角的性质，直角三角形的性质求出．
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