3.4圆周角与圆心角的关系 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.4圆周角与圆心角的关系北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，四边形内接于，，，的大小为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，是的直径，点，在上，，交于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.下列命题中，正确的命题个数是
( )
顶点在圆周上的角是圆周角；
圆周角度数等于圆心角度数的一半；
的圆周角所对的弦是直径；
圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.如图，直径为的经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为．( )
A. B. C. D.
5.若实数，，满足，且，则函数的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
6.如图，为的直径，点是上的一点，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，是直径，，则的长为
( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
9.如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，是的外接圆，若，则等于
( )
A. B. C. D.
11.如图，是的外接圆的直径，若，则等于
( )
A. B. C. D.
12.如图，是的直径，点，在上，若，，则的度数为
．( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为______ ．
14.如图，，，是上三点，，则的度数是________．
15.如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则
16.如图，内接于，，的半径为，则的长为_________保留根号．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知：如图，线段与经过点的直线．
求作：在直线上求作点，使．
作法：
分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于上方的点，连接，；
以点为圆心，以长为半径画圆交直线于点不同于点，连接则点即为所求．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：分别以点，为圆心，长为半烃画弧，两弧交于上方的点．
为等边三角形．
．
在中，在优弧上任取点，连接，．
_________________________填推理依据
点，，，在上．
_________________________填推理依据
即．
18.本小题分
下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为”尺规作图的过程．
已知：如图，．
求作：矩形，使矩形内接于，对角线与的夹角为
作法：作的直径；
以点为圆心，长为半径作弧．交直线上方的圆于点；
连接并延长交于点；
顺次连接、、和．
四边形就是所求作的矩形，
根据小明设计的尺规作图过程
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：点，都在上，
，．
四边形是平行四边形．__________填推理依据．
又是的直径，
________填推理依据．
四边形是矩形．
又________．
是等边三角形．
四边形是所求作的矩形．
19.本小题分
已知：如图，中，．
求作：射线，使得平分．
作法：
作的垂直平分线交于点；
以为圆心，为半径画圆，与直线的一个交点为点与点在的异侧；
作射线．
所以射线即为所求．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接．
直线为的垂直平分线，
．
，
．
点，，都在上．
又点在上，于点，
，
__________，
_______________________填推理的依据．
射线平分．
20.本小题分
已知：如图在中，弦，交于点，，
利用尺规作图确定圆心的位置，保留作图痕迹；
求证：．
21.本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，于点．
求证：；
连接并延长，交于点，连接若的半径为，，求和的长．
22.本小题分
如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
求证：；
若，求弦的长．
23.本小题分
如图，的直径垂直弦于点，，，求的长．
24.本小题分
如图，中，，以为直径作，交边于点，交的延长线于点，连接，．
求证：；
若，求的长．
25.本小题分
如图，是的直径，是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点．
求证：；
连接，若，求的度数。
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．首先证明，再利用等腰三角形的性质求出，利用圆周角定理即可解决问题．
【解答】
解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．根据圆周角定理得到，，再由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【解答】
解：是的直径，
，
，
，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了圆周角定理及推论，熟练地记忆圆周角定理的定理与推论是解决问题的关键．
根据圆周角定理的定义，定理与推论进行分析即可．
【解答】
解：根据圆周角定理可知：顶点在圆周上且两边与圆相交的角是圆周角，故此选项错误；
圆周角的度数等于圆心角度数的一半；根据在同圆和等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，故此选项错误；
的圆周角所对的弦是直径；根据圆周角定理推论可知，此选项正确；
在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧相等，此选项错误；
正确的有．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理和平面直角坐标系及解直角三角形的相关知识，能够作出辅助线是解题的关键．
作直径，连接，则，根据圆周角定理得出，解直角三角形求出的余弦值即可．
【解答】
解：如图，作直径，连接，则，根据圆周角定理得：，
为直径，
，
，
，
根据勾股定理，
，
故答案为．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出、的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
先判断出是负数，是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与轴的交点的位置即可得解．
【解答】
解：，且，
，，的正负情况不能确定，
，
函数的图象与轴正半轴相交，
，
函数的图象经过第一、二、三象限．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】根据圆的性质，为的直径，点是上的一点，则 ，在 中，运用内角和定理，结合 ，可得 ．
【详解】解：为的直径，点是上的一点，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，灵活运用该知识点是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查圆周角定理，关键是根据圆周角定理得出解答．根据圆周角定理得出，进而得出是等腰直角三角形，进而解答即可．
【解答】
解：，，
，
，
是直径，
是等腰直角三角形，
，
，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．由等腰三角形的性质得出，再由圆周角定理即可得出答案．
【解答】
解：，
，
是的直径，
．
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质．由，可得，再根据圆周角定理求出，由三角形内角和即可求得的度数．
【解答】
解：，
，
为的直径，
，
．
故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了等边三角形的性质与圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
由，易得是等边三角形，继而求得的度数，又由圆周角定理，即可求得的度数．
【解答】
解：，
是等边三角形，
，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】解： 是 的外接圆 的直径，
点 ， ， ， 在 上，
，
，
是 的外接圆 的直径，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到 ， 是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形内角和定理，平行线的性质有关知识，根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得的度数．
【解答】
解：，，
，
，，
，
．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：设交轴于，连接，则是直径，
在中，，，
则，
，
由圆周角定理得，，
则，
故答案为：．
设交轴于，连接，则是直径，根据勾股定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可．
本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：所对的圆心角是，所对的圆周角是，
，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理进行计算即可．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
如图，连接，证明，求出，可得结论．
【解答】
解：如图，连接．
是直径，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了圆周角定理、勾股定理等知识，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
首先过点作于，由垂径定理可得，又由圆周角定理，可求得的度数，然后求得的度数，利用勾股定理，即可求得答案．
【解答】
解：过点作于，
则，
内接于，，
，
，
，
的半径为，
，
，
．
17.【答案】解；如图所示，
圆周角定理；圆内接四边形对角互补．

【解析】根据题意作出图形即可求解；
根据圆周角定理，以及圆内接四边形对角互补，即可求解．
18.【答案】解：如图所示，矩形即为所求；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；直径所对的圆周角是直角；．

【解析】按作图步骤运用尺规作图即可．
根据平行四边形的判定定理，圆心角的性质，等边三角形的判定，依照条件填写即可．
19.【答案】如图，射线即为所求．
；等弧所对的圆周角相等．

【解析】根据要求作出图形即可；
利用圆周角定理证明即可．
20.【答案】如图所示：
同弧所对的圆周角相等，
，．
在和中
≌．
，，
，
即．

【解析】同弧所对的圆周角相等，可得出和中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得，≌，得，，从而证得D.
21.【答案】证明： 是 的直径， ，
，
．
解：如图，
是 的直径， ，
点为 的中点，
点是 的中点，
．
是 的直径，
．
的半径为，
，
．

【解析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理．
根据垂径定理得到 ，再根据圆周角定理证明结论；
根据垂径定理得到点为 的中点，再根据三角形中位线定理可得 ，然后根据圆周角定理得到 ，再根据勾股定理，即可求解．
22.【答案】解：，为的直径，是弦，
，
，
，
，
；
，，
，，
在中，，
，是弦，
，
，
弦的长为．

【解析】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想的应用，会利用垂径定理证，利用等弧所对圆周角性质，结合半径等腰三角形证，会求半径，会由勾股定理求，利用垂径求是解题关键．
由，为的直径，是弦，利用垂径定理有，利用等弧所对圆周角性质，结合半径，即可得出结论，
先求出半径，再求，由勾股定理可求，利用垂径，便可求．
23.【答案】解：，
，
，
，
直径垂直弦于，
，
．
【解析】根据圆周角定理得出的度数，在中，得出，再由垂径定理得出即可．
本题考查了垂径定理，还考查了圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．
24.【答案】证明：是圆的直径，
，
，
；
解： 与所对的弧是弧，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
．

【解析】根据圆周角定理求得，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
由同弧所对的圆周角相等可得，再证，然后可求得的长，最后运用勾股定理求得的长．
25.【答案】
第题答图
如答图所示，连结．
是的直径，
，即．
，．
，
．
连结是的直径，．
，
答：的度数为．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
连接首先证明，推出即可解决问题；
连接，根据，只要求出即可；
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