3.5确定圆的条件 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.5确定圆的条件北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
2.的半径为，点在外，则的长可能是( )
A. B. C. D.
3.如图，中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在直线上，若，则点和外心之间的距离是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，是的平分线，是的垂直平分线，交于点若，则外接圆的面积为
( )
A. B. C. D.
5.已知的半径为，平面内有一点到圆心的距离为，则此点可能在( )
A. 内 B. 外 C. 上 D. 以上都有可能
6.如图，为线段的中点，点，，到点的距离相等，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知是的外心，、分别是、的中点，连接、交于点、，若，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转后，得到，则的外接圆圆心坐标是( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转后，得到，则的外接圆圆心的坐标是( )
A. B. C. D.
10.如图，中，，是的平分线，垂直平分，交于点若，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
11.如图，是的内接三角形，于点，若，，则( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，是的外接圆，，若的半径为，则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在，的正半轴上，以所在的直线为对称轴将翻折，使点落在点处，若点的坐标为，则的外接圆半径为 ．
15.在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是 ．
16.如图，是的直径，，，是上一动点，是的中点，连接，则的最小值为_____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知：如图，．

求作：的外接圆要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
若是直角三角形，则其外接圆的圆心在 ．
若是边长为的等边三角形，其外接圆的圆心到边的距离为，求其外接圆的面积．
18.本小题分
如图，为锐角的外接圆，半径为．
用尺规作图作出的平分线，并标出它与的交点保留作图痕迹，不写作法；
若中的点到弦的距离为，求弦的长．
19.本小题分
如图，已知是的内接三角形，是的直径，是的弦，连接，交于点．
求证：；
如图，连接、，若，且，，求的长．
20.本小题分
阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：是的一个内角．
求作：．
作法：作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，与直线交于点；
以点为圆心，为半径作的外接圆；
在弧上取一点，连结，．
所以．
请回答：
根据上述做法，利用尺规作图的方式，补全图形；
线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，与直线交于点，
______ ______ ，
与对，
______ 填写理由．
21.本小题分
如图，，为中点，点为射线上不与点重合的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设．
求证：
当时，求的度数
若的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围．
22.本小题分
如图，在的正方形方格中，的顶点、、在单位正方形的顶点上，在边格点上．
请找出的外心；
请用无刻度直尺在边上找出所有使得与相似的点．
23.本小题分
如图，已知．
作的外接圆，并在的上方作弦，使尺规作图，保留作图痕迹．
连结，求证：．
24.本小题分
如图，已知内接于，若，平分交于点，交于点．
求证：；
若，，试求、的长．
25.本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，，．
是直径下方半圆上的一点，交于点．
求的长：
若，求的长；
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
根据正方形网格的特征作和的垂直平分线，它们相交于点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为点．
【解答】
解：连结，
作和的垂直平分线，它们相交于点．
故选：．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心以及旋转的性质和勾股定理的运用，熟知锐角三角形的外心在三角形的内部直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点钝角三角形的外心在三角形的外部，是解题的关键设外心为点，因为是直角三角形，所以外心在斜边的中点，易求的长和的长，进而可求出的长，即点和外心之间的距离．
【解答】
解：将绕点按逆时针方向旋转得到，点在直线上，
，
，
，
设外心为点，，
外心在斜边的中点处，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．由等腰三角形的性质得出，，则点是外接圆的圆心，则由圆的面积公式可得出答案．
【解答】
解：，是的平分线，
，，
是的垂直平分线，
点是外接圆的圆心，
，
外接圆的面积为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：的半径为，平面内有一点到圆心的距离为，．
该点在圆外，
故选：．
根据点到圆心的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案．
本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心距离与半径的大小关系可作出判断．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】如图，连接，，是的外心，、分别是、的中点，，，，，，，，，，，，，故选B．
8.【答案】
【解析】，，，，，，，是由绕点按顺时针方向旋转后得到的，，，轴，轴，，
的外接圆的圆心是的中点，的外接圆的圆心坐标是故选A．
9.【答案】
【解析】，．，，．是由绕点按顺时针方向旋转度后得到的，，．旋转角是，轴，轴，．的外接圆的圆心是的中点，的外接圆的圆心坐标是故选A．
10.【答案】
【解析】，是的平分线，，，即垂直平分，垂直平分，点是外接圆的圆心，，外接圆的面积故选D．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，，
，
，
，
，，
在中，，
，
故选：．
如图所示，连接，，由圆周角定理得到，由垂径定理得到，，再解求出，则．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
根据圆周角定理求得，过点作，由垂径定理得出，结合等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质求出的长度，即可得出答案．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及垂径定理，理解相关性质定理并进行推理计算是解题的关键．
【解答】
解：过点作，交于点，
是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．直接利用圆周角定理得出，进而得出答案．
【解答】
解：内接于，是的直径，
，
，
．
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：如图，
过点作轴于点，
连接交于点，
根据翻折可知：是的垂直平分线，
作的垂直平分线交于点，
则点即为的外心，
设，
点
，，
则
，
，
在中，根据勾股定理，得
，解得，
即，
设，
则，
解得
所以的外接圆半径为：
故答案为：
先确定三角形外接圆的圆心，再根据已知条件和勾股定理分别求出、和的长，进而可以求出外接圆的半径．
本题考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形变化对称、翻折变换，解决本题的关键是综合运用以上知识．
15.【答案】
【解析】解：由题意圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心，则有，
解得，
圆心，
故答案为：
由题意圆心在线段的垂直平分线上，设圆心，根据勾股定理构建方程求解即可．
本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，连接，，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，，
是的中点，
，
，
，
点的运动轨迹为以为直径的，连接，
当点在上时，的值最小．
，
是等边三角形，
，
作，
在中，
，，
，，
，
在中，
，
．
故答案为．
17.【答案】解：如图所示，圆即是的外接圆．
斜边中点．
解：如图，是边长为的等边三角形，于，，
连接，
，
，
，
其外接圆的面积为．

【解析】作、的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆即可；
根据直角三角形外心为斜边中点作答即可；
连接，利用勾股定理求出半径即可．
18.【答案】解：如图，为所作；
连接交于，连接、，如图，
平分，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，．
【解析】本题考查了作图作角平分线，圆周角定理，垂径定理及勾股定理等．
利用基本作图作平分；
连接交于，连接，如图，根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，则，，然后在中利用勾股定理计算出，在中利用勾股定理可计算出．
19.【答案】证明：，都是弧所对的圆周角，
，
，
；
解：，点为的中点，
为的中位线，
，
为直径，
，，
，
，
设，，
在和中，
有，
即
整理得：，
，
解得：，
，
，
解得：或舍去，
的长为．
【解析】根据圆周角定理可得，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
由和点为的中点，可得是的中位线，求得，根据圆周角定理得，，由勾股定理求得，，设，，在和中，根据勾股定理建立关于、的方程，解方程即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
20.【答案】 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等
【解析】解：补全图形如下图：
连接，，，
线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，与直线交于点，
，
与对，
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
故答案为：，，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
根据作图过程补画图形即可；
根据圆的性质即可完成证明．
本题主要考查了作图复杂作图、线段垂直平分线的性质以及在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，能够准确作图并灵活运用所学知识是解题的关键．
21.【答案】证明：为中点，．
又，，．
解：由得，，
，，
．
解：．
【解析】本题是三角形和圆的综合题，主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形外接圆的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错．
根据证明：≌；
由中的全等得：，所以，由等边对等角可得结论；
三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．
22.【答案】解：如图，点为所求；
如图，或时，与相似，
，，
∽．
【解析】根据直角三角形的外心是斜边中点即可得答案；
根据相似三角形的判定方法，作出图形即可．
本题考查了作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
23.【答案】解：如图，圆及即为所求．
证明：，
，
，
．
【解析】分别作线段，的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，长为半径画圆，即可得的外接圆；以点为圆心，长为半径画弧，交上方的圆于点，连接即可．
由可得，根据圆周角定理可得，再结合平行线的判定定理可得结论．
本题考查作图复杂作图、圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理、平行线的判定、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．
24.【答案】证明：平分，
，
，
，
在和中，，，
∽，
：：，
；
解：设的圆心为点，连接交于，，过点作交的延长线于，如图：
，平分，
，
，
，，
，，
又，
为等边三角形，
，，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，，
，，
，
，
，
：：，
，
可设：，，
，
，即：，
，，
由得：∽，
：：，即：，
；
设，则，
由的结论得：，即：，
，
由相交弦定理得：，
即：，
将代入上式得：，
，
，故，
．
【解析】先证，然后根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定和相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论；
设圆心为点，连接交于，，过点作交的延长线于，先证及为等边三角形，从而得，，，设，则，，，再证，由得：：，于是可设，，则，从而得，则，，然后由得∽，据此由相似三角形的性质得，最后设，则，由的结论得，由相交弦定理得，据此即可求出，进而得的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定及性质，圆周角与圆心角之间的关系；解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质、垂径定理．
25.【答案】解：是的直径，
，
，
，
；
在中，由勾股定理得，，
，
，
，，
，
，
作于点，
则，
，
，
，
．
【解析】根据直径所对的圆周角为直角可得，再利用三角函数可得答案；
利用等腰三角形的判定与性质可推导出，作于点，根据，可得的长，即可得出答案．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角函数，垂径定理等知识，熟练掌握各性质是解决问题的关键．
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