3.6直线与圆的位置关系 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.6直线与圆的位置关系北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是．( )
A. B. C. D.
2.已知的半径为，圆心到直线 的距离为，则直线与的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
3.已知三角形为直角三角形，，为圆切线，为切点，，则和面积之比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
4.如图，点是上一定点，点是上一动点，连接，，，分别将线段，绕点顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有( )
点在上
当时，与相切．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，为的外心，四边形为正方形以下结论：是的外心；是的外心；直线与的外接圆相切其中所有正确结论的序号是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，是的直径，过外一点作的两条切线，切点为，若，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，是半圆的直径，点在半圆上不与，重合，于点，交于点，下列条件中能判定是切线的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为( )
A. B. C. D.
9.如图，过外一点引的两条切线、，切点分别是、，交于点，点是优弧上不与点、重合的一个动点，连接、，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图所示，是等边三角形的内切圆，若，则的半径是( )
A.
B.
C.
D.
11.下列命题是真命题的是( )
A. 三角形的内心到三边的距离相等
B. 明天昆明城区晴天是必然事件
C. 是无理数
D. 有一个角是，且有一组邻边相等的四边形是正方形
12.如图，点为外一点，过点作的切线、，记切点为、，点为上一点，连接、若，则等于( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.的半径为，若圆心到直线的距离是，则直线与的位置关系是 ．
14.如图，，是的切线，，是切点．若，则 ．
15.如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，开始时，如果以秒的速度沿由向的方向移动，那么当的运动时间秒满足条件______ 时，与直线相交．
16.如图，在中，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接若，则的度数等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，为的直径，点在上，与过点的切线互相垂直，垂足为连接并延长，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
18.本小题分
如图，已知为的直径且，点是上一点不与点，重合，点在直径上，且，是的切线，，垂足为点，若．
求线段的长．
请直接写出线段的长．
19.本小题分
已知：等腰，；求作：，使得经过，两点并且分别与直线和相切．作法：分别以，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点；连接，；以为圆心，长为半径作就是所求作的圆．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：等腰
．
__________，
四边形是菱形．
又
菱形是正方形．_____________________________填推理的依据
，．
点，点在上，
直线和与相切．__________________________________填推理的依据
20.本小题分
如图，在中，以为直径作，恰好经过点，点为半圆的中点，连接，过点作 交的延长线于点．
求证：为切线．
若，，求的半径长．
21.本小题分
下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图，及上一点．
求作：直线，使得与相切．
作法：如图，
连接并延长交于点；
在上任取一点点，除外，以点为圆心，长为半径作，与射线的另一个交点为．
连接并延长交于点．
作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图的过程．
使用直尺和圆规，补全图形：保留作图痕迹
完成下面的证明．
证明：是的直径，
________________________填推理的依据
．
又是的半径，
是的切线________________填推理的依据
22.本小题分
如图，在中，以为直径作，与交于点，连接，点为半圆的中点，连接，与交于点，连接，若，．
求证：为的切线．
若，求的半径长．
23.本小题分
如图，平分，与相切于点，延长交于点，过点作，垂足为点．
求证：是的切线．
若的半径为，，求的长．
24.本小题分
按要求作图：
如图，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点，，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径；
如图，，是中的两条弦，是上一点，，利用无刻度直尺在图中画一个含有角的直角三角形；
如图，利用无刻度直尺和圆规，以边上一点为圆心，过、两点作不写作法，保留作图痕迹；
如图，与圆相切，且切点为点，利用无刻度直尺在网格中找出点的位置．
25.本小题分
如图，是的直径，点是的中点，过点作于点，连接．
判断与的位置关系，并证明．
若，，求的半径．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．
设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标．
【解答】
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为矩形，四边形为矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．根据圆心到直线的距离为大于圆的半径，则直线和圆相交．
【解答】
解：圆心到直线的距离为，的半径为，
，
直线和圆相离．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质等知识点，
利用判定，再利用，得出，，即可得出结果，
【解答】
解：如图，连接，
是的切线，为半径，
，即，
，
又，即，
，
是的直径，
，即，
又，而，
，
在和中，
，
又，
，
，
即和面积之比为，
4.【答案】
【解析】解：，，
是等边三角形，
同理可得，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
点在上，
故正确，
，
，
在和中
≌，
故正确，
由知，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故正确，
如图，
过点作于，
是等边三角形，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
和重合，
，
，
在和中，
，
，
，
是半径，
是的切线，
故正确，
综上所述：均正确，
故选A．
可证得和是等边三角形，可推出，从而得出正确；根据“边角边”可证得；根据可推出，进一步得出正确；作，可推出，进而得出，结合可推出点和点重合，进而得出正确，从而得出结果．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
5.【答案】
【解析】解：连接、、，
为锐角三角形的外心，
，
四边形为正方形，
，
，
，是的外心，故本选项符合题意；
，即不是的外心，故本选项不符合题意；
，，
直线与的外接圆相切．故本选项符合题意；
故选：．
根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
、是的两条切线，
，
，
，
，
故选：．
先根据切线的性质和四边形内角和定理求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数即可．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，正确求出的度数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，根据等腰三角形的性质得到，推出，于是得到结论．
【解答】
解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质，掌握勾股定理，两点间的距离公式，等积法，切线的性质等知识是解决问题的关键．
当与在第一象限相切时，有最小值，此时点、、重合，连接，过点作轴与点，则，由，，得出，由切线的性质得出，由勾股定理求出，由等积法，进而求出，，得出，即可求出．
【解答】
解：如图，当与在第一象限相切时，有最小值，此时点、、重合，连接，过点作轴与点，则，
，，
，
与相切，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解；连接，，
，是的切线，切点分别是、，
，
，
，
．
，，
≌，
，
，
故选：．
连接，，根据切线的性质可得，再根据四边形的内角和可先求出的度数，然后利用证明≌，从而可得得，最后根据圆周角定理即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，分别与、相切于、，
连接，，，，
，，
，
平分，
同理：平分，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
的半径是．
故选：．
由切线的性质得到，，又，推出平分，同理：平分，由等边三角形的性质推出是等腰三角形，由等腰三角形的性质求出的长，由锐角的正切即可求出的长．
本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，关键是由切线的性质，角平分线性质定理的逆定理推出平分，平分，得到是等腰三角形．
11.【答案】
【解析】解：、三角形的内心到三边的距离相等，是真命题，符合题意；
B、明天昆明城区晴天是随机事件，不符合题意；
C、不一定是无理数，比如：当时，是有理数，不符合题意；
D、有一个角是，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，不符合题意；
故选：．
根据三角形的内切圆与内心、随机事件、无理数的概念以及正方形的判定等知识逐一进行判断即可．
本题主要考查了三角形的内切圆与内心，无理数的概念，随机事件以及正方形的判定等知识点，难度不大．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．先根据切线的性质得，再利用四边形的内角和和圆周角定理即可得到的度数．
【解答】
解：、是的切线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
13.【答案】相交
【解析】【分析】根据圆心到直线的距离小于半径即可判定直线与 的位置关系为相交．
【详解】解：圆心到直线的距离是 ， 的半径为 ，
又 ，
直线与 相交．
故答案为：相交．
【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若 ，则直线与圆相交；若 ，则直线于圆相切；若 ，则直线与圆相离．
14.【答案】
【解析】解：，是的切线，，是切点，
，，
，
，，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，首先分析相切时的数量关系，则点到的距离应是，根据所对的直角边是斜边的一半，得；那么当点在上时，需要运动秒；当点与重合时，需要运动秒．所以．
【解答】
解：当点在射线时与相切，过点作于，
，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
需要运动秒，
当点在射线时与相切，
，
过点作于，
，
，
，
的圆心在直线上向右移动了后与相切，
需要运动秒，
在这两个切点之间的都是相交，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：连接，如图，
切于点，
．
，
，
．
，
，
故答案为：．
连接，由切线的性质得出，结合，得出，由圆周角的性质得出，再由平行线的性质得出．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质是解决问题的关键．
17.【答案】证明：连接、，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为直径，
，
，
，，
，
，
．
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
连接、，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后证明，从而得到结论；
利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用面积法求出的长．
18.【答案】解：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
直径，
半径，
；
设，则，
由得：，，，
，
，，
∽，
，即，
解得：，
经检验，是原方程的根，
，
，
故线段的长为．
【解析】连接，根据切线的性质可得，进而推出，由平行线性质可得，再结合圆的半径相等和等腰三角形性质可得，运用三角形内角和定理及等腰三角形性质可得，即可求得；
设，则，可证得∽，得出，即，解方程即可求得答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：
；有一个角是直角的菱形是正方形；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【解析】根据题干中的作图步骤进行尺规作图即可；
根据作图步骤、正方形的判定定理和切线的判定定理解答即可．
20.【答案】证明：如图，连接点为半圆的中点， ，， ，，为的半径，为的切线．
解：如图，过点作，垂足为点 ， ，，，， 在中， ，由勾股定理，得 ， 即，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，，由勾股定理，得，， ，的半径长为 ．

【解析】略
21.【答案】补全图形如图所示：即为所求．
；圆周角定理；切线的判定定理．

【解析】根据题意作图即可；
根据圆周角定理可得，根据切线的判定定理即可得结论．
22.【答案】证明：点为半圆中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，为直径，
为切线；
解：连接．
，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
半径为．
【解析】根据等弧所对的圆周角相等得到，即，根据的等边对等角得到证明结论；
连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，即可求出，然后利用勾股定理求出半径长．
本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．
23.【答案】证明：与相切于点，且是的半径，
，
平分，于点，于点，
，
点在上，
是的半径，且，
是的切线．
解：，，
，
，
，
，
，
，
的长是．
【解析】由切线的性质得，而平分，，所以，则点在上，即可证明是的切线；
由，，得，，由，得，所以的长是．
此题重点考查切线的性质定理、角平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，根据角平分线的性质证明是解题的关键．
24.【答案】解：根据垂径定理可知，的垂直平分线过圆心，连接，利用网格找出线段的垂直平分线即可，图中即为直径．
解：延长交与点，连接并延长交于点，在连接，则即为所求；
解：作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，为半径作圆即可，如图．
解：过点作圆的两条割线：和连接，交于点，延长和交于点，连接交圆于点，连接即可，如图．

【解析】根据垂径定理可知，的垂直平分线过圆心，连接，利用网格找出线段的垂直平分线即可；
延长交与点，连接并延长交于点，再连接，则即为所求；
作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，为半径作圆即可；
过点作圆的两条割线：和；连接，交于点，延长和交于点，连接交圆于点，连接即可．
25.【答案】解：与相切．
证明：如图，连接点是 的中点， ，，，， ，，，，是的半径，与相切．
如图，连接， ，， 是的直径， 在中，，
设，，，，，， 即的半径为．
【解析】略
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