3.7切长线定理 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.7切长线定理北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，点是外任意一点，、分别是的切线，、是切点．设与交于点则点是的( )
A. 三条高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点
D. 三条边的垂直平分线的交点
2.如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，是的内切圆，点、分别在、上，且是的切线．若的周长为，，则的周长是
( )
A. B. C. D.
4.如图，，分别切于点，，切于点，分别交，于点，若，则的周长是( )
A. B. C. D.
5.如图，是的内切圆，，，分别为切点，且已知，，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，直线、、分别与相切于、、，且，若，，则的长等于
( )
A. B. C. D.
7.如图，是的直径，点是外一点，过点的两条直线分别与圆相切于点、，点是圆周上任意一点，连接、，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，与正方形的两边都相切，且与相切于点，若正方形的边长为，，则的长为
( )
A. B. C. D.
9.我们知道：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
问题解决如图，现有一块边长为的正方形空地，在边取一点，以长为直径，在这个正方形的空地内建一个半圆形儿童游乐场，过点划出一条与这个半圆相切的分割线，正方形位于分割线右下方的部分作为娱乐区，娱乐区的最大面积等于( )
A. B. C. D.
10.如图，、是的切线，、为切点，是圆的直径，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
11.如图，，，是的直径，平分，若，，则的半径为
( )
A. B. C. D.
12.如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为当时，的半径为 ．
14.如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为，边的长为，则的周长为 ．
15.如图，是三角形纸片的内切圆，在的右侧沿着相切的直线剪下若的周长为，，则剪下的的周长为
16.如图，、、是的切线，、、为切点，若，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．

如图，求证：；
如图，连接，延长交于点，求证：；
如图，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度．
18.本小题分
如图，直线、、分别与相切于、、，且，，求：
的度数
的长
的半径．
19.本小题分
如图，直线、、分别与相切于、、，且，，求：
的度数
的长
的半径．
20.本小题分
如图，、分别与半圆切于点、，切于点，若，，求的半径．
21.本小题分
如图，，是的切线，，为切点，是的直径，求的度数．
22.本小题分
如图，是的直径，和是它的两条切线，过上一点作直线，分别交、于点、，且．
求证：直线是的切线；
求证：．
23.本小题分
已知，如图，在中，，以为直径作半圆，交边于点，点在的延长线上，连接，交于点，．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
24.本小题分
如图，若的三边长分别为，，，的内切圆切，，于点，，求的长．
25.本小题分
如图，和是的两条切线，，为切点，点在上，点和点分别在和上，且，，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
连接、、、，根据切线长定理得出，证得≌，得出是的平分线，然后根据圆周角定理证得，从而证得结论．
【解答】
解：连接、、、，
、分别是的切线，
，
，
，
，
≌，
是的平分线，，
延长交于，连接，
由圆周角定理可得，
，
同理，
，，
，
点是的三个角的角平分线的交点，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，和圆的切点分别是，，，，根据切线长定理，得
，，．
则有，
解得：．
所以的周长．
故选：．
因为，，和圆的切点分别是，，根据切线长定理得到，所以三角形的周长即是的值，再进一步根据切线长定理由三角形的三边进行求解即可．
此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
3.【答案】
【解析】解：的周长为，，，
设与的三边、、的切点为、、，切为，
则，，，，
，
的周长
，
故选B．
根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可．
本题主要考查切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
根据切线长定理得，，然后根据三角形周长定义进行计算即可．
【解答】
解：直线、、分别与相切于点、 、，
，，，
的周长
故选D 。
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理，正方形的性质和判定以及直角三角形内切圆半径求法等知识，熟练掌握切线长定理和勾股定理．此题让我们记住一个结论：直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半．首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，然后求得正方形的面积．
【解答】
解：连，，，如图，设半径为，则，，，，
四边形是正方形，
，
，，
，，，
，
，
，
四边形的面积为，
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题主要是考查了切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】
解：，
．
、，分别与相切于、、，
，，，，
．
．
．
．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：连接，
，分别切圆于、，
，
，
，
，
是圆的直径，
，
．
故选：．
连接，由切线长定理得到，因此，由，得到，由切线的性质定理得到，求出，由圆周角定理即可得到．
本题考查切线的性质，切线长定理，圆周角定理，关键是由切线长定理求出的度数，即可由圆周角定理得到的度数．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查勾股定理、切线长定理等知识．设与、相切于点、连接、，则四边形是正方形．根据切线长定理，可得，，然后根据勾股定理可得答案．
【解答】
解：设与、相切于点、连接、，则四边形是正方形．
、是的切线，
，
，
，
在中，．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是正方形的性质，勾股定理，切线长定理的有关知识，当半圆面积最大，即与重合时，娱乐区的面积最大，由线长定理得到，，设，由勾股定理列出关于的方程，求出的长即可解决问题．
【解答】
解：当半圆面积最大，即与重合时，娱乐区的面积最大，
与半圆相切于，交于，
四边形是正方形，
，，
，分别是半圆的切线，
，，
设，则，，，
在中，，
，
，
，
娱乐区的最大面积梯形的面积
10.【答案】
【解析】【分析】
利用切线长定理可得，，则，，计算出，然后根据三角形内角和计算的度数．
【解答】
、是的切线，、为切点，
，，
，，
，
，
．
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，是常考题，熟练掌握切线的判定方法是解答本题的关键，在证明圆的切线时建议熟记“无交点，作垂线段，证半径”，“有交点，作半径，证垂直”连接，作，垂足为，则有，先证明、是的切线，再结合条件“”“平分”证，最后证∽，利用相似三角形对应边成比例即可求得的半径．
【解答】
解：如图，连接，作，垂足为，则有，
，，是的直径，
是的切线，，，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
同角的余角相等，
又，，，
∽，
，即，
，
即的半径为，
故选A
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、切线的性质以及切线长定理的运用．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长长度相等，圆心和这一点的连线，平分这两条切线的夹角．由切线长定理可得，，，由于的周长，所以的周长，故可求得三角形的周长．
【解答】
解：连接．
是的切线，点是切点，
；
；
、为圆的两条相交切线，
；
同理可得：，．
的周长，
的周长，
的周长，
故选C．
13.【答案】或
【解析】连接，，，由题意，得，，，因为在中，，所以，，三点共线．易证四边形、四边形为正方形，四边形为矩形，所以设的半径为，则由切线长定理，得，所以在中，由勾股定理，得，即，解得，所以的半径为或．
14.【答案】
【解析】解：的周长为，，
，
设与的三边、、的切点分别为、、，与的切点为，
则，，，，
，
的周长．
15.【答案】
【解析】解：设，分别是的切点，由切线长定理得，，，，，
，
，
的周长，
故答案为：
根据切线长定理得到，，，，根据三角形的周长公式计算．
本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：与相切于点，与相切于点，
，
，
．
与相切于点，与相切于点，
，
的长为，
故答案为：．
由与相切于点，与相切于点，可得，同理得，再由求得结果．
此题考查切线长定理，由于两次用到切线长定理，所以应先通过观察确定要求的线段的长由哪两条线段的差构成．
17.【答案】解：因为是等腰直角三角形，
所以，，
所以，
所以，
所以；
如图：连接，
因为是的内心
所以：，，
，
所以：；
如图中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
与内切于点，，，
，，，
．
【解析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内切圆，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
根据已知等腰，可得，则有，结论得证；
根据是的内心，可得，，即有；
如图中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，证明四边形是正方形，再证明，推出，因为与内切于点，，，推出，，，可得．
18.【答案】解：如图，连接，，，
根据切线长定理得，，易证
，，
，．
，
，
，
．
由知，，
，，
由勾股定理得，
．
，，
根据三角形面积公式，得，
．

【解析】本题考查切线的性质和切线长定理，勾股定理，三角形的面积．
根据切线的性质得到平分，平分，，再根据平行线的性质得，则有，即；
由勾股定理可求得的长，进而由切线长定理即可得到的长；
最后由三角形面积公式即可求得的长．
19.【答案】解：如图，连接，，，
根据切线长定理得，，
在和中，
，
同理可得，，
，．
，
，
，
；
由知，，
，，
由勾股定理得，
，，
；
，，
根据三角形面积公式得，
，
的半径为．

【解析】本题考查切线的性质和切线长定理，勾股定理，平行线的性质以及三角形的面积．
根据切线长定理可证，，可得平分，平分，，再根据平行线的性质得，则有，即；
由勾股定理可求得的长，进而由切线长定理即可得到的长；
由三角形面积公式即可求得的半径的长．
20.【答案】 解：过作于，
、与半圆切于、，
，
四边形为矩形，
，，
，；
；
；
在中，，
，
的半径为．
【解析】本题考查切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或全等三角形解决问题 过作的垂线，设垂足为；由切线长定理知：，；即；在构建的中，，，根据勾股定理即可求出即圆的直径，进而可求出的半径．
21.【答案】解：、是的切线，
，
，
是的直径，是的切线，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟记切线的性质定理是解题的关键．根据切线性质得出，，求出的度数，得出，根据三角形的内角和定理求出即可．
22.【答案】解：连接，，如图，
在和中，，
≌，
，
是的切线，
，
，
直线是的切线；
过作于点，如图，
则，
、都是的切线，
，
四边形是矩形，
，，
是的切线，
，，
，
，
，
即，
．
【解析】连接，，证明≌，得，进而得是的切线；
过作于点，易得四边形为矩形，得，再证明，进而根据勾股定理得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．
23.【答案】见解析；的半径是．
【解析】【分析】欲证是圆的切线，只需证明；
根据角与角间的数量关系推知的等边三角形．所以易求 则通过解直角来求直径的长度．
【详解】证明：连接．
，
，
是的切线；
解：，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
则 ．
．
又，
，
的半径是．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定以及解直角三角形，熟练掌握，即可解题．
24.【答案】解：的内切圆切，，于点，，，
根据切线长定理可知：
，，，
设，则，
，，，
，
，
，
，
解得．
答：的长为．
【解析】根据切线长定理可得，，，列出方程即可求得的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心、切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
25.【答案】解：，是的两条切线，
，
，
在和中，
≌
，
．
【解析】根据切线长定理得到，根据三角形内角和定理得到，证明≌，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
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