3.8圆内接正多边形 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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3.8圆内接正多边形北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，等边三角形和正方形都内接于，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
2.正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是( )
A. B. C. D.
3.周长相等的正方形与正六边形的面积分别为、，和的关系为
( )
A. B.
C. D.
4.如图，是正五边形的外接圆，这个正五边形的边长为，半径为，边心距为，则下列关系式错误的是( )
A. B. C. D.
5.如图，用四根长为的铁丝，首尾相接围成一个正方形接点不固定，要将它的四边按图中的方式向外等距离移动，同时添加另外四根长为的铁丝虚线部分得到一个新的正八边形，则的值为．( )
A. B. C. D.
6.如图，点是正六边形的中心，的两边、分别与、相交于点、当时，下列说法错误的是．( )
A. B.
C. D. 与相等
7.如图，是正九边形两条对角线的夹角，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，正五边形内接于，过点作的切线交对角线的延长线于点，则下列结论不成立的是( )
A. B. C. D.
9.下列说法正确的是( )
A. 最小的整数是
B. 角的大小与角的两边的长短无关
C. 各边都相等的多边形叫正多边形
D. 若线段，则点是线段的中点
10.如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，若该圆的半径为，则线段的长为( )
A. B. C. D.
11.刘徽在九章算术注中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为，则这个圆内接正十二边形的面积为( )
A. B. C. D.
12.如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ ．
14.如图，过正六边形的顶点作一条直线于点，分别延长、交直线于点、，则 ；若正六边形的面积为，则的面积为 ．
15.如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点，则的度数为 度．
16.如图，某酒店有一张桌面边长为米的正六边形桌子，每边围坐两人平均每人占据米长的桌沿，可以坐下人．现酒店想将桌面改成正十二边形，每边坐人，也可坐下人，改造方案如下：在原正六边形桌面的顶点处分别截去一个等腰三角形，则桌面改造后围坐的人每人占据的桌沿长度比改造前减少 米．精确到米，参考数据：
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，是半圆的直径，点在半圆外，请仅用无刻度的直尺画出的三条高的交点；
已知如图所示．
求作的内接正方形尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
若的半径为，则它的内接正方形的边长为_______________．
18.本小题分
如图，正方形内接于，是的中点，连接，，．
求证：；
求证：．
19.本小题分
如图，六边形是的内接正六边形．
求证：在六边形中，过顶点的三条对角线四等分．
设的面积为，六边形的面积为，求的值结果保留．
20.本小题分
已知和上的一点，作的内接正六边形要求：尺规作图，不要写出作图步骤，但要保留作图痕迹
21.本小题分
如图，要把边长为的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少？
22.本小题分
按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
如图，为上一点，请用直尺不带刻度和圆规作出的内接正方形；
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点请运用上述性质，只用直尺不带刻度作图，如图，在 中，为的中点，作的中点．
23.本小题分
如图，四边形是的内接矩形，点、分别在射线、上，，且点、、在一条直线上，与相切于点．
求证：矩形是正方形；
若，则正方形的面积是______ ．
24.本小题分
如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、．
用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______；
求圆半径的长度；
若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系．
25.本小题分
如图，在的内接四边形中，，，点在弧上，连接、．
求的度数；
连接、，当时，恰好为的内接正边形的一边，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接、、，过作于，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接、、，过作于，如图所示：
则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：设这个正多边形的边数是，
正多边形的中心角是，
，解得．
故选A．
设这个正多边形的边数是，再根据正多边形的中心角是求出的值即可．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形的性质，能用分别表示出正方形及正六边形的面积是解答此类题目的关键．
设正方形的边长为，根据正方形与正六边形的周长相等，可求出正六边形的边长；然后根据正方形的面积公式边长边长，可求出；再把正六边形分成六个小正三角形，结合等边三角形的性质和勾股定理，先求出一个小正三角形的面积，即可得到正六边形的面积，即可解答．
【解答】
解：设正方形的边长为，则正六边形的边长为，
．
正六边形的边长为，
把正六边形分成六个小正三角形，其高为，
．
：，
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正多边形和圆和锐角三角函数的定义，解题的关键是根据正五边形得到，在中，，利用三角函数的定义即可判断．
【解答】
解：如图．
是正五边形的外接圆，
，
，
选项A错误
，即选项B正确
，即选项C正确
，即选项D正确
故选A．
5.【答案】
【解析】解：如图，由题意可知：是等腰直角三角形，，．
则有：，
或舍弃
故选：．
如图，由题意可知：是等腰直角三角形，，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】如图，连接、、，
六边形是正六边形，，
，
因此选项A正确，不符合题意；
，
．
又，，≌，，，因此选项D正确，不符合题意；
，即，，因此选项B正确，不符合题意；
，
因此选项C错误，符合题意．故选C．
7.【答案】
【解析】如图，设这个正九边形的外接圆为，连接，，，，，则，，所以，，所以．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质、圆周角定理、正多边形与圆、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定、解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
连接、、，根据正多边形的性质求出各个角的度数，结合平行线的判定方法，再逐个判断即可．
【解答】
解：五边形是正五边形，
，，
，
，
，
，故A正确；
连接、，
五边形是正五边形，
，
，
，
切于，
，
，
，
，
故D正确；
又，
，故B正确；
C.连接，过作于，则，
，，
，
，
，故C错误．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：整数分为正整数、负整数和，而要大于任何一个负整数，没有最小的整数，故A错误，不符合题意；
B.角的大小与角的两边的长短无关，故B正确，符合题意；
C.各边都相等，各个内角也相等的多边形叫正多边形，故C错误，不符合题意；
D.若线段，且点在线段上时，则点是线段的中点，故D错误，不符合题意；
故选：．
根据整数的定义，角的定义，正多边形的定义，线段中点的定义进行判断即可．
本题主要考查了相关的数学概念，解题的关键是熟练掌握整数的定义，角的定义，正多边形的定义，线段中点的定义．
10.【答案】
【解析】解：在圆内接正六边形中，，，
，
，，
，
，
连接，交于，
则，，
，
，
故选：．
根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
过作于，求出中心角的度数，利用含角的直角三角形的性质求出三角形的高，再利用面积公式求解即可．
【解答】
解：如图，过作于，
圆的内接正十二边形的圆心角为，，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
连接，分别求出，，即可得出答案．
【解答】
解：如图，连接，
点是正五边形和正方形的中心，
，，
．
故选：．
13.【答案】九
【解析】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，，
，
，
而，
这个正多边形为正九边形，
故答案为：九．
根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
14.【答案】

【解析】如图，连接、交于点．
六边形是正六边形，
．
，
．
．
四边形是正六边形，面积为，
点在上，，的面积为．
．
，
由勾股定理易得，
．
15.【答案】
【解析】【分析】
求出正六边形的中心角和正五边形的中心角，即可得出的度数．
本题主要考查正多边形与圆，会求正多边形的中心角是解题关键．
【解答】
解：如图，连接，
正六边形的中心角为，
正五边形的中心角为，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】如图，由题意，得，，，．
．
过点作于点，
，．
设，则，由勾股定理易得．
米，
．
解得．
围坐的人每人占据的桌沿长度比改造前减少米．
17.【答案】解：如图，、、为所作．
如图，正方形为所作；
．

【解析】半圆与、分别交于点、，利用直径所对圆周角是，得到，，与相交于，延长交于，利用三角形三条高线相交于一点可判断；
先作直径，再过点作的垂线得到直径，则四边形满足条件；利用正方形的性质求解．
18.【答案】证明：四边形是正方形，
，
．
是的中点，
，
，
．
证明：连接，过点作交的延长线于．
四边形是正方形，
，，
，
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
即．
【解析】证明，即可得出．
连接，过点作交的延长线于证明，推出，即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
19.【答案】证明：如图，连接，，，
六边形是的内接正六边形，
，
，
，
过顶点的三条对角线四等分；
解：过作于，连接，
设的半径为，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
正六边形的面积，
的面积，
．
【解析】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，，根据正六边形的性质得到，求得，于是得到，即可得到结论；
过作于，连接，设的半径为，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
20.【答案】解：首先作直径，然后分别以，为圆心，长为半径画弧，分别交于点，，，，连接，，，，，，
则正六边形即为所求；

【解析】由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形；
本题考查了正多边形与圆的知识以及平行四边形的性质与判定、矩形的判定等知识．注意根据正六边形的性质作图是关键．
21.【答案】解：剪去三个三角形，得到正六边形，
剪去的三个三角形是全等的等边三角形；
且被剪的正三角形的边长为，
剪去的小正三角形的边长．
【解析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，可知得到剪去的小正三角的边长为．
本题考查了等边三角形的性质，正六边形的性质等知识，熟练掌握等边三角形、正六边形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：如图，连接并延长交圆于点，作的中垂线交圆于点，，四边形即为所求．
如图，连接，交于点，连接交于点，连接并延长交于点，即为所求．

【解析】连接并延长交圆于点，作的中垂线交圆于点，，四边形即为所求．
连接，交于点，连接交于点，连接并延长交于点，点即为所求．
本题是三角形的重心，作图应用与设计作图，平行四边形的性质，正多边形与圆，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行四边形的性质及三角形垂心的性质．
23.【答案】
【解析】证明：如图，连接，
四边形是的内接矩形，
是的直径，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
≌，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
矩形是正方形；
解：，，
，
，，
，
，
，
，
正方形的面积是．
故答案为：．
连接，证明≌，可得，然后证明，即可解决问题；
根据勾股定理求出，进而可以求出正方形的面积．
本题考查的是正多边形和圆，矩形的性质，正方形的判定与性质，切线的性质，解题关键是利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长．
24.【答案】如图，点为所作；．
点的坐标为，
，
即圆的半径是．
，，
，
，
点在圆外．
【解析】解：如图，点为所作；
由图可知点的坐标为：．
故答案为：．
点的坐标为，
，
即圆的半径是．
，，
，
，
点在圆外．
利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为；
利用勾股定理计算的长度即可；
通过比较与的大小关系可判断点与圆的位置关系．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和点与圆的位置关系．
25.【答案】解：如图，连接，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是的内接四边形，
，
；
连接，
，
，
，
，
．
【解析】此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
如图，连接，由已知条件证是等边三角形，得到，从而由圆内接四边形的性质可得；
如图，连接，由，可得，结合，可得，从而可得．
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