3.9弧长及扇形的面积 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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3.9弧长及扇形的面积北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，线段经过的圆心，，分别与相切于点，若，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在半径为的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与、相切，则劣弧的长为( )
A. B. C. D.
3.如图，的内接正六边形的边长为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，是的直径，是弦，点，在直径的两侧．若：：：：，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵三叶花的面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，正方形的边长为，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将正方形从与重合的位置开始，绕着点逆时针旋转，交点运动的路径长是( )
A. B. C. D.
7.如图，在 中，，的半径为，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，在边长为的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
9.如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，则点运动的路径长为( )
A. B. C. D.
10.
如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为，点运动的路径长为
( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，内接于，，若，则的长为
( )
A. B. C. D.
12.如图，将绕点旋转得到，已知，，则线段扫过的图形面积为
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图所示，点在上，若，，，则的长度为 ．
14.如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为______．
15.在边长为的正方形中，为边上一点，且，以为圆心，为半径作圆，分别与、的延长线交于点、，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，直径为的半圆，绕点逆时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是____________．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，矩形的边与相切，切点为，与相交于点，，连接，．
求证：．
若，的半径为，求扇形即阴影部分的面积．
18.本小题分
如图，是的直径，，是弦，，与交于点点是的延长线上一点，且．
判断与的位置关系，并证明你的结论．
若，求阴影部分的面积．
19.本小题分
如图，是的外接圆，，，交 的延长线于，交于．

求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．
20.本小题分
如图所示，为的直径，点，在上，且，，．
求的长；
求图中阴影部分的面积．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是、、以点为旋转中心，将顺时针旋转，得到．
在坐标系中画出．
若上有一点，直接写出旋转后对应点的坐标．
求旋转中线段所经过部分的面积．
22.本小题分
如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．
23.本小题分
如图，为的直径，，为弦，，为延长线上的点，．
求证：是的切线；
若的半径为，求图中阴影部分的面积．
24.本小题分
如图，是圆的内接三角形，连结并延长交于点，设，．
若，求的度数；
若，求证；
若弧长是周长的，，求．
25.本小题分
如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求图中阴影部分的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：连接、，
，分别与相切于点，．
，，
，
，
，
，，
，
，
，
的长度为：，
故选：．
连接、，根据切线性质和，易证得和是等腰直角三角形，进而求得，，根据弧长公式求得即可．
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了对称的性质和弧长公式．
作点关于的对称点，连接、，如图，利用对称的性质得到，则可判断四边形为菱形，再根据切线的性质得到，，则可判断四边形为正方形，然后根据弧长公式求解．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，连接、，
，
四边形为菱形，
折叠后的与、相切，
，，
四边形为正方形，
，
劣弧的长
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
六边形为正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
的长为
故选：．
连接、，求出圆心角的度数，再利用弧长公式解答即可；
本题考查了正多边形和圆，弧长公式，等边三角形的判定和性质，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和弧长公式，能求出半径的长是解此题的关键．
根据平角定义和已知求出，，，则，解直角三角形求出半径，再根据弧长公式求解即可．
【解答】
解：：：：：，
，
，，．
．
，，
．
．
的长是，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积、直角等腰三角形的面积、弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．先算出三叶花即一个小弓形的面积，再算三叶花的面积．一个小弓形的面积扇形面积三角形的面积．
【解答】
解：如图，弧是上满足条件的一段弧，连接、，
由题意知，．
，．
，
，
，
．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轨迹、正方形的性质、旋转变换、圆的有关知识、弧长公式等知识，如图，连接首先证明，推出点在与为圆心的圆上，点的运动轨迹是，在上取一点，连接、、、，则，推出，因为，所以，根据弧长公式计算即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接．
是正方形，
，
，
是直径，
，
，
，
点在与为圆心的圆上，点的运动轨迹是，
在上取一点，连接、、、，则，
，
，
，
，
，
运动的路径长，
故选A
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的性质，扇形面积的计算，先根据平行四边形的性质可以求得的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
【解答】
解： 在 中，，
．
的半径为，
．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
垂直平分，
，
弓形的面积弓形的面积，
，
故选：．
设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明，得到弓形的面积弓形的面积，则．
本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
9.【答案】
【解析】，点在以为直径的上运动，运动路径为，连接，如图，
，，，，的长为．
10.【答案】
【解析】解：，
点在以为直径的上运动，运动路径为，连接，如图，
，，，
，
，
的长为，
故选：
由，得点在以为直径的上运动，运动路径为，连接，代入弧长公式即可．
本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点在以为直径的上运动是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．连接，首先证明是等腰直角三角形，求出即可解决问题．
【解答】
解：连接，．
，
，
，
，
的长为，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．根据图形可以得出扫过的图形的面积，由旋转的性质就可以得出，就可以得出扫过的图形的面积，求出其值即可．
【解答】
解：绕点旋转得到，
≌，
，．
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积，
扫过的图形的面积
故选D．
13.【答案】
【解析】如图所示，设圆心为，连接，，，，过点作于点．
，，，
．
，
，
，
，
，．
，
是等边三角形，
，，
的长度为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
利用轴对称的性质，得出当点移动到点时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧的长与的长度和，分别进行计算即可．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接、，
此时最小，即：，
由题意得，，
，
，
的长，
阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：在中，，
，
在和中，
，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：
根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，证明，得到，，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查扇形面积的计算，由旋转得出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键．
由旋转的性质可得半圆和和半圆的面积相等，所以阴影部分的面积和为扇形的面积，计算扇形的面积即可得到答案．
【解答】
解：半圆，绕点顺时针旋转，
把阴影部分的半圆旋转到空白处，
阴影部分的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积扇形的面积．
，，
，
故答案为．
17.【答案】证明：连接，与相交于点与相切，切点为，，四边形是矩形， ，， ，．
解：四边形是矩形，，，四边形是矩形，，在中，
， ，
．

【解析】略
18.【答案】解：与相切．
证明：如图，连接，，，，，，， 即，是的半径，为的切线．
如图，连接，， 设的半径为， 则 在中，，， 解得 在中，，
， ，阴影部分的面积为 ．

【解析】略
19.【答案】解：连接．
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
且，
，即，
，
∽，
，
，
，
在中，
，
，
．

【解析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
连接，根据平行线的性质得到，再根据圆周角定理得到，得到，由切线的判定即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和已知条件证得，即可证得∽，根据相似三角形的性质求得，再根据勾股定理求得圆的半径，即可求得扇形的面积，根据面积的和差即可求得阴影部分的面积．
20.【答案】解：如图所示：连，
为的直径，
，
，，
．
．
，
．
．
；

【解析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，连接构造直角三角形是解题的关键．
由为的直径，得到，由勾股定理求得，连，得到等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论；
根据即可得到结论．
21.【答案】解：如图，即为所求作．
．
线段所经过部分的面积，

【解析】分别作出，，的对应点，，即可．
利用旋转变换的性质判断即可．
利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查作图旋转变换，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：直线与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
在中，，
，
，
即：，
，
又是半径，
直线与相切；
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积．
【解析】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据等边对等角得到，，推出，即，于是得到结论；
根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
23.【答案】证明：
连接，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
解：，，，
，由勾股定理得：，
图中阴影部分的面积
．
【解析】连接，求出，求出，求出，根据切线判定推出即可；
求出、长，分别求出扇形和三角形面积，即可求出答案．
24.【答案】解：连接，如图：
，
，
，
是等边三角形，
；
延长交于，连接，如图：
为直径，
，即，
中，，，
，即，
，
；
过作于，作于，如图：
弧长是周长的，
，
是等腰直角三角形，，，
、是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
．
【解析】连接，由，得，根据，即得是等边三角形，故；
延长交于，连接，用两种方法表示，列方程变形即可得证明；
过作于，作于，由弧长是周长的，可得，从而可证、、是等腰直角三角形，根据，可得，，设，在中，，在中，，在中，，在中，，即可得．
本题考查圆的性质及综合应用，涉及等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是用含的代数式表示和的长度．
25.【答案】解：直线与相切，
理由：如图，连接，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
如中图，
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积．
【解析】连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
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