1.1锐角三角函数 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.1锐角三角函数 北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.某人沿着有一定坡度的坡面前进了米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为( )
A. ： B. C. D.
2.如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是
( )
A. B. C. D.
3.在如图所示的网格中，小正方形的边长为，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是
( )
A. B. C. D.
4.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均在格点上，则的值是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，则下列结论中正确的是
( )
A. B. C. D.
6.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方形网格中，点，，为网格交点，，垂足为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如果方程的两个根分别是的两条直角边的长，最小的角为，那么的值为( )
A. B. C. D. 或
9.如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值等于( )
A. B. C. D.
10.如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形的三个顶点分别在这三条平行直线上，则的值是
( )
A. B. C. D.
11.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是( )
A. B. C. D.
12.如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是( )
A. 的值越小，梯子越陡 B. 的值越小，梯子越陡
C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在中，，，，则的值是______．
14.等边中，点在射线上，且，则的值为______．
15.比较大小： 填“”“”或“”
16.如图，在中，点在边上，，，，，那么 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，，是直角边上一点，于点，，，求的值．
18.本小题分
如图，点是矩形的对角线的中点，过点作的垂线交于点，交于点，连接，．
点在对角线上，且，求证：．
若，求的值．
19.本小题分
如图，射线放置在的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点即每个小正方形的顶点，并连接、使为直角三角形，并且
使的值为；
使的值为．
20.本小题分
如图，在中，，垂足为若，，求的值．
21.本小题分
如图，在中，，垂足为若，，求的值．
22.本小题分
如图，在中，，为上的一点，，求的三个三角函数值．
23.本小题分
如图，点是的边上的一点，已知点的横坐标为，若，
求点的纵坐标
求的其他三角函数值．
24.本小题分
如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接，
求证：≌．
如果，，求的值．
25.本小题分
如图，在中，，点是的中点，过点作交于点延长至点，使得，连接，，．
求证：四边形是菱形
若，则的值为 ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了坡度的定义，比较容易利用勾股定理求得水平距离，根据坡度定义求解．
【解答】
解：某人沿着有一定坡度的坡面前进了米．此时他与水平地面的垂直距离为米，
根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为米．
所以这个坡面的坡度为．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
证明∽，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
点是边的中点，
，
∽，
，
，
，
点是边的中点，
由矩形的对称性得：，
，设，则，
，
；
故选A．
3.【答案】
【解析】解：如图，取格点，连接，．
观察图象可知，，，
，
，
故选：．
如图，取格点，连接，观察图象可知，，，推出，求出即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
4.【答案】
【解析】如图，延长到，连接，
，，，
，
，故选C．
5.【答案】
【解析】在中，，，
设，，则，
故，故A选项错误
，故B选项错误
，故C选项错误
，故D选项正确．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：设小正方形的边长为，作的延长线于点．
在中，，，，
，
故选A．
的值可以转化为直角三角形的边的比的问题，因而过点作垂直于的延长线于点在中根据三角函数的定义求解．
本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．也考查了勾股定理．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．
先利用等面积法求出，在中，再利用勾股定理求出，利用正弦的定义求出即可．
【解答】
解：如图，连接，
在中，，
，
，
，
即，
解得，
在中，，
．
8.【答案】
【解析】，，
解得，．的两条直角边的长为，．
是最小的角，所对的边长为小角对小边，
故选C．
9.【答案】
【解析】如图，连接，
在中，，，为的中点，
，，，
．，，
，，
，故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点作于，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后利用勾股定理列式求出，再根据勾股定理求出，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，过点作于，过点作于，
设和之间的距离为，则和之间的距离也为．
，，
，
在等腰直角三角形中，，
在和中，
≌．
，
，
在中，
，
在等腰直角三角形中，
．
．
故选D．
11.【答案】
【解析】由折叠的性质可知，．
由题意得，，，，在中，，
，解得，
则在中，．
故选C．
12.【答案】
【解析】解：的值越大，梯子越陡；的值越大，梯子越陡的值越小，梯子越陡．
所以B正确．
故选：．
根据锐角三角函数的增减性即可得到答案．
本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记的值越大，梯子越陡；的值越大，梯子越陡的值越小，梯子越陡．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理，以及锐角三角函数定义，关键是掌握正弦：锐角的对边与斜边的比叫做的正弦．
首先利用勾股定理计算出，再根据正弦定义进行计算．
【解答】
解：，，，
，
．
14.【答案】或
【解析】解：如图，当在之间
在等边中，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，当在延长线上时，过点作于，
在等边中，
，，
，
设，则，
，
，
，
，，，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论，并画出图形，当在之间，根据等边三角形的性质，求出，，
再根据，得出，从而求出的值；当在延长线上时，过点作于，设，则，在中用三角函数表示两条直角边，从而求出的值．
本题主要考查了锐角三角函数，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质的应用，分情况讨论，作出相应的图形是解题关键．
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】
【解析】，，．
，，
∽，，
，．
，．
17.【答案】解：，，
，
又，
∽，
，
设，，
由勾股定理得，
在中，．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义易证∽，根据相似三角形的对应边成比例可得，设，，利用勾股定理得到，即可根据余弦的定义得到答案．
18.【答案】证明：，点是的中点，， 又，∽，．
解：设，四边形是矩形，，，， 设，则 在中，，由勾股定理，得，， 答：的值为 ．
【解析】略
19.【答案】解：如图所示：
，且，，可找到格点．
如图所示；
同上一问的解法，可以求得，即可找到点．
【解析】此题主要考查了应用设计与作图，利用锐角三角函数关系得出是解题关键．
根据的值分别为、，构造直角三角形进而得出答案．
20.【答案】在中，，，所以，所以在中，，所以，，所以．
【解析】见答案
21.【答案】解：在中，，
，，
，
．
在中，
，，，
，
，，
．
【解析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理有关知识，先在中，由正切函数的定义得，求出，则，再在中，由勾股定理得，，，由此求出的值．
22.【答案】在中，，，
．
又，
．
，，
．

【解析】见答案
23.【答案】【小题】
如图，过作轴于，则，
点的横坐标为，．
，
，点的纵坐标是．
【小题】
在中，
，，，
，
，．

【解析】 见答案
见答案
24.【答案】证明：在矩形中，，，，
，
，
，
又．
．
解：由知．
．
在中，，
，
在中，，
．
【解析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义，熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质和勾股定理求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．
根据矩形的对边平行且相等得到，再结合一对直角相等即可证明三角形全等；
根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得，的长；再根据勾股定理求得的长，运用三角函数定义求解．
25.【答案】【小题】
证明：点是的中点，
．，
四边形是平行四边形．
又，平行四边形是菱形．
【小题】

【解析】 见答案

设，则由菱形的性质得，，则再由勾股定理得，然后由锐角三角函数的定义即可得出结论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)