1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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1.2 角的三角函数值 北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.下列计算错误的个数是( )
；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.按如图所示的运算程序，能使输出值为的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，的斜边在轴上，，，将绕原点顺时针旋转，则的对应点的坐标为
( )
A. B. C. D.
6.在中，若，满足，则的大小是
( )
A. B. C. D.
7.已知，则锐角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，每个小正方形的边长都为，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，、、均是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为，那么的值为( )
A. B. C. D.
11.已知在中，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
12.在三角形中，为直角，，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是 ．
14. ．
15.在中，若角，满足，则的大小是 ．
16.在中，若、满足，则 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
对于钝角，定义它的三角函数值如下：
，
求，，的值
若一个三角形的三个内角的比是，，是这个三角形的两个顶点，，是方程的两个不相等的实数根，求的值及和的大小．
18.本小题分
计算：
；
．
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
计算：．
求不等式组的解集．
先化简，再求值，其中的值是方程的根．
21.本小题分
如图，在中，，，，分别，，的对边．
求的值；
填空：当为锐角时， ______ ．
利用上述规律，求下列式子的值：
22.本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．
23.本小题分
计算：．
先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢的整数代入求值．
24.本小题分
计算：．
化简：先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值．
25.本小题分
如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．
渔船航行多远距离小岛最近结果保留根号
渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，则救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短最短航程是多少结果保留根号
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记的余弦值是解题的关键．
根据的余弦值为计算．
【解答】
解：
，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值和同角设计师的关系，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，注意：，，，，，，，．
【解答】
解：，，
，故错误；
，故正确；
，故错误；
，，即，故错误；
即错误的有个，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、是三角函数值是解题的关键．根据题意把特殊角的三角函数值代入计算，即可判断．
【解答】
解：，，
，则；
B.，，
，则；
C.，，
，则；
D.，，
，则；
故选C．
4.【答案】
【解析】解：
在中，，，
，
设，则，，
，
故选：．
根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质旋转、特殊角的三角函数值以及勾股定理，根据旋转变换的性质求出的长度，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．先求出的长度，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小求出的长，过点作轴于，求出的度数为，然后解直角三角形求出、，写出点的坐标即可．
【解答】
解：如图，过点作轴于，
，，，
，
将绕原点顺时针旋转，是旋转得到，
，，
，
，
，
．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形内角和定理，特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，偶次方的非负性的有关知识，利用非负性质求出，，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【解答】
解：，
，
，，
则，，
则．
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的增减变化，明确锐角三角函数的增减变化以及特殊角的三角函数值，是解题的关键．由，，锐角的余弦值随着的变大而减小，可得出的范围，从而可得答案．
【解析】
解：且
锐角的余弦值随着的变大而减小，
故
故选：．
8.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
由勾股定理得：，，，
，，
，，
．
故选：．
根据勾股定理求出的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出，即可得到是等腰直角三角形，，根据特殊角的三角函数值即可得出答案．
本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理及其逆定理等知识点，能求出是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的三边关系，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
由三角形的三边关系可得当点在上时，的最小值为的长，由菱形的性质可得，，，，由锐角三角函数可求，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，
在中，，
当点在上时，的最小值为的长，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
点是的中点，
，
，
，
，
故选A．
10.【答案】
【解析】如图所示，连接，
，，
，，，
为等腰直角三角形，，
，．
11.【答案】
【解析】易混淆和角的正切值出错．
，．，
故选C．
12.【答案】
【解析】解：中，，则，
．
，
，
故选：．
中，，则，根据互余两角的三角函数的关系，可得，根据同角三角函数关系求得，可得答案．
本题考查互为余角三角函数关系，利用了互为余角的两角的三角函数的关系，同角三角函数关系．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质．由，可得，即可证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用表示出与，即可求得答案．
【解答】
解：，
，
∽，
，
在中，
，
在中，，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值与零次幂进行计算即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值与零次幂，掌握特殊角的三角函数值与零次幂是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值结合非负数的性质得出，，进而利用三角形内角和定理求出答案．
【解答】
解：，
，，
，，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：由题意得，
，
．
三角形的三个内角的比是，
三个内角分别为，，．
当，时，方程的两根为，．
将代入方程，得，解得，
方程为．
经检验，是方程的根，
满足题意．
当，时，方程的两根为，不满足题意．
当，时，方程的两根为，．
将代入方程，得，解得，
方程为．
经检验，不是方程的根，
此种情况不满足题意．
综上所述，，，．

【解析】见答案
18.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据特殊角的三角函数值进行解题即可．
本题考查特殊角的三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
19.【答案】解：
．
【解析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂是解题的关键．
20.【答案】解：
；
解不等式得，；
解不等式得，，
原不等式组的解集为；
，
解方程得，，
，
，，
，
原式．
【解析】根据绝对值的定义，负整数指数幂，特殊角的三角函数，计算即可；
根据不等式组的解法解不等式组即可；
根据整式的混合运算化简后代入的值计算即可．
本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：，
，
在中，，，
，
的值为；
，
，
，
，
故答案为：；
设，
则，
得：
，
，
的值为．
根据勾股定理可得，然后在中，根据锐角三角函数的定义可得，，最后代入式子中进行计算即可解答；
根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用的结论即可解答；
设，则，然后将两个等式相加，再利用的结论进行计算即可解答．
本题考查了规律型：数字的变化类，互余两角三角函数的关系，从数字找规律是解题的关键．
22.【答案】解：
；
，
当时，
原式．
【解析】先根据零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂化简，再计算，即可求解；
先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
本题主要考查了零指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
23.【答案】解：
；
，
或时，原分式无意义，，
可以取得整数为，
当时，原式．
【解析】先化简，然后计算加减法即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法，再在中选一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
24.【答案】解：
；
，
，时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【解析】根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方，进行计算即可求解；
根据分式的混合运算进行计算，然后根据分式有意义的条件，将代入化简结果，即可求解．
本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方，分式的运算法则是解题的关键．
25.【答案】【小题】
如图，过作于．
由题意可得，．
在中，，，
．
渔船航行距离小岛最近．
【小题】
，，
．．
．
在中，，，
救援队从处出发沿东南方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是．

【解析】 见答案
见答案
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