1.4解直角三角形 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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1.4解直角三角形北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在中，，，，垂足为，平分交于点，则的长为
( )
A. B. C. D.
2.在中，，，如果的形状和大小都被确定，那么线段的长度不可能为( )
A. B. C. D.
3.如图，在四边形中，，，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，，，，的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则( )
A.
B.
C.
D. 无法求得
6.如图，在中，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. 在中，锐角的两边都扩大倍，那么的值也扩大倍
B. 若均为非零向量，且，则有或
C. 若，则它的邻边和对边的比值为
D. ，则为实数
8.如图，若将绕点按顺时针方向旋转后，得到，且，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知线段，按如下步骤作图：
取线段中点；
过点作直线，使；
以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
作的平分线，交于点则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则( )
A. B. C. D.
12.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，反比例函数的图象经过点、，若，，且，时，的值为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在矩形中，点是边上一点，于点若，，则的长为 ．
14.由个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点，，，都在格点上，，则的值为___________．
15.如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为 ．
16.如图，在中，，点在的延长线上，连接，若，，则的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知：如图，中，，，，点、分别在边、上，且：：，．
求的正切值；
如果设，，试用、的线性组合表示；
求作在、方向上的分向量．
18.本小题分
如图，已知在中，，，点在边上，连接，．
求边的长；
求的值．
19.本小题分
如图，，，，，求的值和点到直线的距离．
20.本小题分
已知：如图，在中，，是边的中点，，，．
求：的长．
的值．
21.本小题分
在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于点，求的值．
22.本小题分
如图，在的网格中，有、、三点，仅用无刻度的直尺作出下列图形，并保留作图痕迹．
在网格中画出格点，使四边形为菱形，并画出菱形；
作边上的高；
连接，过点作，交的延长线于点；
在菱形外部画出格点，使画出一个点即可
23.本小题分
如图，在的网格中，已知的三个顶点均为格点，请按下列要求画图，
如图，作格点，使为等腰三角形，且的面积等于的面积；
如图，作格点，使，且的面积与的面积相等．
24.本小题分
如图，在中，，，，是边上一点，且，，垂足为点．
求的正弦值；
求的长．
25.本小题分
已知，，，是边上一点，连接，是上一点，且．
如图，若，
求证：平分；
求的值；
如图，连接，若，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形、含度角的直角三角形、特殊角的三角函数，通过解直角三角形求出、的长度是解题的关键．在中，利用等腰直角三角形的性质可求出的长度，在中，由的长度及的度数可求出的长度，在中，由的长度及的度数可求出的长度．
【解答】
解：，
．
在中，，，
，
在中，，，
，，
平分，
．
在中，，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，当时，
，
设，，
，
，
或舍去，
，，
的形状和大小都被确定，
或，
线段的长度不可能为．
故选：．
当时，根据，可设，，根据勾股定理得，所以，根据的形状和大小都被确定，可得或，即可解决问题．
本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，判断出三角形唯一确定的的范围，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理及含度角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
分析题意构造一个直角三角形，然后利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：如图，延长，交于点，
则．
在中，锐角所对直角边等于斜边一半，
，
在中，锐角所对直角边等于斜边一半，
，即，，
解得：．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：作交于，
，，
，，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
作交于，根据，，得出，，进而得出，再根据勾股定理即可得出答案．
本题考查三角函数，勾股定理，正确计算是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设每个小正方形的边长为，作于点，由图可得：，，
，
，
故选：．
先作于点，即可求出答案．
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，构造出合适的直角三角形．
6.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
在中，，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据，想到构造直角三角形，所以过点作，垂足为，可得，因为，所以得出，从而求出，可得，再根据，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：在中，锐角的两边都扩大倍，但是锐角的度数不变，故的值不变，原说法错误；
B.若均为非零向量，且，不一定有或，原说法错误；
C.在直角三角形中，若，则它的邻边和对边的比值为，原说法错误；
D.时，则为实数，说法正确；
故选：．
根据三角函数的定义判断，，根据向量的有关性质判断，．
本题考查了三角函数，向量，正确理解相关概念是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由旋转可得：，，
过作于，而，
，，
，
，
故选：．
过作于，利用等腰三角形与旋转的性质可得，，再利用锐角三角函数的含义解答即可．
本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过点作于点设，则，
，
，
平分，，，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点设，则，利用面积法求出，可得结论．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】
【解析】解：如图，取网格点，连接，
由网格图，可得：，，，
，
是直角三角形，且，
，
故选：．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求、，再根据三角函数的意义可求出的值．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：过作交延长线于，
，，，
，
，，
，
，
故选：．
过作交延长线于，计算出、的长，根据正弦计算方法计算即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．
12.【答案】
【解析】解：如图，设，则
，
，
，
，即，
在中，，
设，则，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
．
故选：．
设，则，可得，由，可得出，即可得出的值．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图形上点的坐标特征，三角形的面积，知道是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：在矩形中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和解直角三角形即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形、都是菱形，，
、都是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质证明、都是等边三角形，求得，利用等边对等角求得，据此即可求解．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．
通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示、即可求出答案．
【解答】
解：过点作，交的延长线于点，
，，
∽，
，
，
，
在中，
由于，
设，则，
又，
，，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法．通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出，再根据，设参数表示、即可求出答案．
【解答】
解：过点作，交的延长线于点，
，，
∽，
，
，
，
在中，
由于，
设，则，
又，
，，
，
故答案为．
17.【答案】解：中，，，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
：：，
，
；
如图，在、方向上的分向量分别为，．

【解析】解直角三角形求出，，再利用平行线分线段成比例定理求出，，可得结论；
根据，求解即可；
利用平行四边形法则求解即可．
本题考查作图复杂作图，解直角三角形，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．
18.【答案】解：设，
，，
，，，
，，
，
，
解得，
；
作于点，
由知，，，，
，
，
解得，
，，，
，
，
，
即的值是．
【解析】根据题意和锐角三角函数，可以求得的长；
根据中的结果，可以得到、的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据等面积法可以求得的长，从而可以求得的长，然后即可得到的值．
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】解：，，，
．
．
过点作于点．
，
．
，即．
，
即点到直线的距离为．

【解析】见答案
20.【答案】解：在中，，是边的中点；
，
，
，
，
；
作，垂足为，
是边的中点，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，，
解得，，
，即．
【解析】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．
先由直角三角形的中线定理求出的长度，然后根据勾股定理求出长度；
作，垂足为，所以，由是边的中点，可得，，，得到∽，然后根据相似比求出，，，因此，即．
21.【答案】解：连接，，如图所示，
则 ，
．
设每个小正方形的边长为 ，
则 ，，．
是直角三角形，．
．
．
【解析】构造及直角三角形，根据平行的性质转化角并利用正弦的定义解题即可．
本题主要考查三角函数函数值的求法，能够熟练构造直角三角形是解题关键．
22.【答案】解：如图，菱形即为所求作．
如图，线段即为所求作．
如图，点即为所求作．
如图，点，点，点即为所求作．

【解析】根据平行四边形的判定解决问题即可．
取格点，连接交于点，线段即为所求作．
利用平行四边形的性质解决问题．
通过计算可知，可得满足条件，再利用四点共圆的性质，可知，也满足条件．
本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：在的垂直平分线上取点，使到的距离等于到的距离，连接，，如图：
即为所求；
取上方的格点，连接，以为直径作交上方第三条格线于，连接，，如图：
即为所求；
理由：
，是直径，
过点，
，
，
，，
，
，
又到的距离等于到的距离，
满足条件的点．
【解析】在的垂直平分线上取点，使到的距离等于到的距离，连接，，则即为所求；
取上方的格点，连接，以为直径作交上方第三条格线于，连接，，则即为所求；
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是利用同弧所对的圆周角相等确定的位置．
24.【答案】解：，
，
又在中，，在中，，
，
；
过点作于点，如图所示：
在中，，
在中，，
，
又为等腰三角形，，
．
【解析】通过已知条件推出，即可通过求的正弦值求出的正弦值；
过点作于点，利用求出的长，结合等腰三角形性质即可求出的长．
本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题关键．
25.【答案】证明：，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
平分．
解：如图中，过点作于．
平分，，，
，
，，
，
，
．
解：如图中，连接，过点作交的延长线于．
，，
，
，，
，
，
≌，
，，
，，
，
，

【解析】想办法证明即可解决问题．
如图中，过点作于证明，即可解决问题．
如图中，连接，过点作交的延长线于证明≌可得结论．
本题考查解直角三角形，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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