1.6利用三角函数测高 北师大版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

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1.6利用三角函数测高北师大版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影的长为，则大树的高为 ( )
A. B. C. D.
2.已知飞机离水平地面的高度为千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标的俯角为，那么这时飞机与目标的距离为
( )
A. ； B. ； C. ； D. ．
3.如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度：，长为米，则古塔的高度为( )
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
4.在一次夏令营活动中，小霞同学从营地点出发，要到距离点千米的地去，先沿北偏东方向走了千米到达地，然后再从地走了千米到达目的地，此时小霞在地的
( )
A. 北偏东方向上 B. 北偏西方向上 C. 北偏西方向上 D. 北偏西方向上
5.如图，在平地上种植树木时，要求株距相邻两棵树之间的水平距离为，若在坡比为：的山坡种树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离为( )
A. B. C. D.
6.如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则，之间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
7.如图大坝的演断面，斜坡的坡比：，背水坡的坡比：，若的长度为米，则斜坡的长度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头，的俯角分别为和，且、、在同一水平线上已知桥米，则无人机的飞行高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9.如图，一艘海轮位干灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔的南偏东方向上的处，此时灯塔位于海轮的什么位置？( )
A. 北偏西方向，距离海轮海里处
B. 南偏东方向，距离海轮海里处
C. 北偏西方向，距离海轮海里处
D. 南偏东方向，距离海轮海里处
10.如图，车库宽的长为米，一辆宽为米即米的汽车正直停入车库，车门长为米，当左侧车门接触到墙壁时，车门与车身的夹角为，此时右侧车门开至最大的宽度的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
11.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为则自动扶梯的垂直高度约为保留两位小数( )
A. B. C. D.
12.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为若，则此时云梯顶端离地面的髙度的长是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，某建筑物矗立于水平地面上，在处测得，，在处测得，，则的长为________结果取整数．参考数据：
14.如图，一条笔直铁路和一条笔直公路在点处交汇，，在点处有一栋居民楼，米，已知火车行驶时，周围米以内都会受到噪声的影响，若火车在铁路上沿方向以每秒米的速度行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为______秒．不考虑火车长度，结果保留小数点后一位，参考数据：，
15.如图，航拍无人机从处测得一幢建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度约为______结果保留整数，．
16.如图，无人机在离地面的点处，测得操控者的俯角为，测得教学楼顶部点的俯角为，已知操控者和教学楼之间的水平距离为，教学楼的高度是______
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
图是一盏可调节台灯，图为其平面示意图，固定底座与水平面垂直，为固定支撑杆，为可绕着点旋转的调节杆．若，，，，，求台灯灯体到水平面的距离．结果精确到参考数据：，，，，，
18.本小题分
如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得点到点的距离为，点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为，求无人机从点到点的上升高度精确到．
参考数据：，，，，，
19.本小题分
如图，五一劳动节的清晨，小明到大连人民广场参加升旗仪式，在距旗杆的处，测得旗杆顶部的仰角约为，已知小明的身高为，求旗杆的高度．结果取整数．参考数据：，，
20.本小题分
图是我国第一个以“龙”为主题的主题公园“兰州龙源”“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑高度的实践活动，具体过程如下：如图，“龙”字雕塑位于垂直地面的基座上，在平行于水平地面的处测得，，求“龙”字雕塑的高度．三点共线，结果精确到参考数据：，，，，，
21.本小题分
综合与实践
问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，．
独立思考：
这架云梯顶端距地面的距离有多高？
深入探究：
消防员接到命令，按要求将云梯从顶端下滑到位置上云梯长度不改变，，那么它的底部在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度．
问题解决：
在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？
22.本小题分
年月日是我国第个“全国消防宣传日”，该年“消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为．
当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．
结果精确到，参考数据：，，，
23.本小题分
如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点，一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在，处分别测得，求轮船航行的距离参考数据：，，，，，．
24.本小题分
如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、求轮船航行的距离参考数据：，，，，，
25.本小题分
在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点、均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点的南偏东方向且米，点在点的东北方向参考数据：，，
求道路的长度精确到个位；
若甲从点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，其速度为米分钟若两人同时到达点，请比较谁的速度更快？快多少？精确到十分位
答案和解析
1.【答案】
【解析】如图，过点作水平线与的延长线交于点，则，，在中，，，在中，，故选A．
2.【答案】
【解析】解：如图：为飞机离地面的高度，
所以在中，，，
则，
故选：．
已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用锐角的三角比定义解答．
此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形．
3.【答案】
【解析】解：如图，作，，垂足分别为，，则四边形是矩形，则，
斜坡，：，设，，
，
，则，
，，
长为，
，
，
，
，
即古塔的高度为米，
故选：．
作，，由：，可设，，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
4.【答案】
【解析】解：如图，
千米，千米，千米，
，
为直角三角形，即，
又点在的北偏东方向，
，
，
即点在的北偏西的方向上．
故选B．
由千米，千米，千米得，根据勾股定理的逆定理得到，再利用平行线的性质和互余的性质得到，求得．
本题考查了解直角三角形有关方向角的问题：在每点处画上东南西北，然后利用平行线的性质和解直角三角形求角．也考查了勾股定理的逆定理．
5.【答案】
【解析】解：水平距离为，坡比为：，
铅直高度为．
根据勾股定理可得：
坡面相邻两株树间的坡面距离为．
故选：．
利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是对坡度坡角的理解掌握情况．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．解题的难点是推知是等腰直角三角形．如图，根据题意易求是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求的长度．
【解答】
解：如图，，，
，
．
又，，，
．
在直角中，，
海里．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：分别过、作，，
四边形为矩形，
斜坡的坡比：，即，不妨设，则，
在中根据勾股定理：，，
解得或不合题意，舍去，
又背水坡的坡比：，
，
在中根据勾股定理得：，
故选：．
分别过、作，，四边形为矩形，根据斜坡的坡比为：，结合勾股定理求出的长度，可得、的长度，再根据勾股定理求得答案．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握坡比的定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，，
在和中，
，，
米，米，
米，
米．
答：无人机的飞行高度为米．
故选：．
由、可得出、，进而可得出米、米，再结合米即可求出的长度．
本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：作于点，
在的北偏东方向，
，
，
又在的南偏东方向上，
，灯塔位于海轮的北偏西方向上，
，
，，海里，
在中，，
海里，
在中，，
三角形为等腰直角三角形，
海里，
海里．
故选：．
过点作，则在中，通过的直角三角形，计算出的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出．
本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查解直角三角形的应用，关键是根据锐角三角函数得出解答．
过作于，根据锐角三角函数得出，进而解答即可．
【解答】
解：如图所示，过作于，
，米，
米，
，
右侧车门开至最大的宽度的长为米．
11.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得到，再根据三角函数的定义即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，锐角三角函数，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在直角三角形中，，
，
根据题意可得：，
；
故选：．
根据的正切可得，而，进而即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
在中，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据解直角三角形，得出、的长，解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，以点为圆心，以米为半径画圆，则交于点，设另一个交点为，连接，
当火车行驶到点时，开始影响居民楼，当驶离点时，结束影响居民楼，
米，，
米
米，
，
米，
影响所持续的时间为秒，
故答案为：．
画出相应的图形，根据垂径定理、勾股定理求出的长度，再根据速度、时间、路程的关系进行计算即可．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理以及速度、时间、路程的关系是正确解答的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，在中，，，
，
在中，，
，
答：该建筑物的高度约为米．
故答案为：．
在中，根据正切函数求得，在中，求得，再根据，代入数据计算即可．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
教学楼的高度是，
故答案为：．
过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，易得．
在中，， ，，，，，，四边形为矩形，，，， 在中，， ， 答：台灯灯体到水平面的距离约为．

【解析】略
18.【答案】解：依题意，．，，，
在中，．，
．，．，
在中，．，
． ．
答：无人机从点到点的上升高度约为米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用有关知识，在中，求得，，在中，求得，根据，即可求解．
19.【答案】解：如图，过点作，垂足为点
由题意知，，，，．
，，
．
四边形是矩形，
，
在中， ，，
．

答：旗杆的高度约为．
【解析】本题主要考查的是解直角三角形的应用的有关知识，过点作，垂足为点，先证出四边形是矩形，进而得到，，然后解直角三角形求解即可．
20.【答案】解：在中，，，

在中，，，
．

答：“龙”字雕塑的高度约为．
【解析】略
21.【答案】解：在中，
，
答：这架云梯顶端距地面的距离有．
云梯的底部在水平方向滑动到的距离不是理由如下：
由可知，
．
在中，
，
．
若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，
则能够到达墙面的最大高度为．
，
，
在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．
【解析】由图可以看出梯子墙地可围成一个直角三角形，即梯子为斜边，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为，所以梯子顶端到地为米；
求出的长度即可；
先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与比较即可．
本题考查勾股定理和解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
22.【答案】解：如图，过点作于，过点作，垂足为，
则，，
，
，
在中，，
，
，
云梯消防车最高点距离地面的高度为
该消防车能有效救援层．
理由：当，时，能达到最高高度，
，
，
在中，，
，
该消防车能有效救援层．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，根据题意可得，，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的度数，进而求得的长即可；
当，时，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出的长，进行比较即可解答．
23.【答案】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．
24.【答案】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
在中，，
．
答：轮船航行的距离约为．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．
25.【答案】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，
由题意得：
，，
在中，，米，
米，
米，
米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
道路的长度约为米；
米，米，
米，
在中，米，
米，
在中，，
米，
甲的路程米，
乙的路程米，
乙的速度为米分钟，
乙所用的时间分钟，
甲所用的时间也是分钟，
甲的速度米分钟，
米分钟，
若两人同时到达点，甲的速度更快，快米分钟．
【解析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
利用的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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