江苏省盐城重点中学2023-2024学年高二上学期第二次学情调研考试（期中）数学试卷（含答案）

2023-2024学年度高二年级第一学期第二次学情调研考试
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数在处的导数为1，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
2.点在椭圆上，则等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3.已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（ ）
A．2 B． 4 C． D．
4.已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知点P是直线l：4x＋3y+7＝0上的动点，过点P引圆C：(x-2)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则PM的最小值为时，r的值为(　　)
A．1 B. 2 C. D．
6.已知数列满足，若， 则（ ）
2 3 4 8
7.设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D． 2
8.在数列中，，，且．表示不超过的最大整数，若，数列的前项和为，则（ ）
A．2 B．2022 C．3 D．2023
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题说法正确的有 （ ）
A.已知直线与直线，若，则2或-5
B.点关于直线的对称点的坐标为
C.原点到直线的距离的最大值为
D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
10.已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（ ）
A. B. C. D.
11.已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A.点的坐标为 B.
C.若，则直线经过定点
D.若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
12.设数列满足：，则下列说法中，正确的有（ ）
A.是递增数列 B.是等差数列
C. D.当时，
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.已知f(x)＝，g(x)＝mx，且，则m＝________．
14.抛物线的准线方程是，则________．
15.已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为______.
16.设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为 .
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知直线：.
(1)求证：无论k为何值，直线：恒过定点；
(2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知圆C过点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．
19.（本小题满分12分）
已知数列满足, 且
(1)设, 求证:数列是等比数列;
(2)若数列满足, 求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（0，﹣1），B（0，1），一个顶点为
H（0，2）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于y轴上的点P（0，t），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆过点，其右顶点为，下顶点为，且，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.
（1）求椭圆的方程：
（2）当点的横坐标的乘积是时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
22. （本小题满分12分）
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
（1）若，求，；
（2）设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年度高二年级第一学期第二次学情调研考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数在处的导数为1，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
2. 点在椭圆上，则等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】A.
3.已知点是双曲线：的右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，的面积为20，则点的横坐标为（ ）
A．2 B． 4 C． D．
【答案】D．
4.已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
5．已知点P是直线l：4x＋3y+7＝0上的动点，过点P引圆C：(x-2)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　)
A．1 B. 2 C. D．
【答案】 B
6.已知数列满足，若， 则（ ）
2 3 4 8
【答案】A.
7.设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足， ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】A.
8.在数列中，，，且．表示不超过的最大整数，若，数列的前项和为，则（ ）
A．2 B．2022 C．3 D．2023
【答案】C．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题说法正确的有 （ ）
A.已知直线与直线，若，则2或-5
B.点关于直线的对称点的坐标为
C.原点到直线的距离的最大值为
D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
【答案】 B ．C．
10.已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A. B．D．
11.已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A.点的坐标为 B.
C.若，则直线经过定点
D.若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
【答案】A. C．D．
12.设数列满足：，则下列说法中，正确的有（ ）
A.是递增数列 B.是等差数列
C. D.当时，
【答案】B ．C．D．
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.已知f(x)＝，g(x)＝mx，且，则m＝_____-9___．
14.抛物线的准线方程是，则________．
15.已知是正项等比数列的前项和，，则的最小值为______.
16.设点P是函数图象上任意一点，点Q的坐标，当取得最小值时圆C：上恰有2个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为 .
四 解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知直线：.
(1)求证：无论k为何值，直线：恒过定点；
(2)若直线交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线的方程.
【详解】（1）直线l：可化为，故过定点 ，
所以无论k为何值，直线l：恒过定点；
2）因为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，所以，
则中取得，取得，
，
当且仅当时，即时取“=”，所以S的最小值为4，直线l的方程为.
18.（本小题满分12分）
已知圆C过点，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．
(1)(2)
【详解】（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点
所以，直线CD的方程为，即，
联立，解得，即，
所以半径，所以圆C的方程为；
（2）由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，设点M关于直线的对称点，
则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线CN即为直线，且，
直线方程为，即.

19.（本小题满分12分）
已知数列满足, 且
(1)设, 求证:数列是等比数列;
(2)若数列满足, 求实数的取值范围.
解：(1) ，即，所以数列是等比数列
(2) 由（1）数列是等比数列，首项，公比，则
根据累加法，，
则，经检验符合，则，所以
20.（本小题满分12分）
已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（0，﹣1），B（0，1），一个顶点为
H（0，2）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于y轴上的点P（0，t），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，c＝1，a＝2，则b＝
故所求的椭圆标准方程为
（2）设M（x0，y0）（y0≠±2），则 ①
又由P（0，t），H（0，2）．则由MP⊥MH可得，即（﹣x0，t﹣y0） （﹣x0，2﹣y0）＝0即
由①②消去x0，整理得 ②
∵y0≠2，∴
∵﹣2＜y0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1
故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆过点，其右顶点为，下顶点为，且，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.
（1）求椭圆的方程：
（2）当点的横坐标的乘积是时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.
（1）；（2）直线过定点，定点为.
【详解】
（1）由题意知：，，，…①，
将代入椭圆方程可得：…②，
又，由①②可得：，，椭圆的方程为；
（2）设直线，，，
由得：，
则，即，
，；
由（1）知：，直线方程为：，
令，解得：，即；
同理可得：，，
即，解得：，
此时，即或，满足题意；
，恒过定点.
22.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
（1）若，求，；
（2）设满足的n的最小值为，求及 （其中[x]是指不超过x的最大整数，如，）；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{}为等比数列？若存在，求b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2），；
（3）存在，详见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题中定义进行求解即可；
（2）根据“和扩充”的方法，确定和的递推关系式，利用配凑法求得的通项公式，解不等式求得的最小值，然后根据“和扩充”的定义即得；
（3）根据“和扩充”的方法，利用等比数列求和公式结合条件可得，再根据等比数列的定义和性质进行求解即可.
【小问1详解】
数列1,2,3，经第1次“和扩充”后得到数列为1,3,2,5,3，
数列1,2,3，经第2次“和扩充”后得到数列为1,4,3,5,2,7,5,8,3，
所以，；
【小问2详解】
数列经每1次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经“和扩充”后的项数为，
则经第次“和扩充”后增加的项数为，
所以，所以，
由（1）得，是首项为4，公比为2的等比数列，
所以，所以，
由，即，解得，即，
所以，
数列a，b，c经过第1次“和扩充”后得到数列，且，
数列a，b，c经过第2次“和扩充”后得到数列，且，
数列a，b，c经过第3次“和扩充”后得到数列
，且，
即；
【小问3详解】
因为，，，，，
所以，
，
若使为等比数列，则或，
即或，
综上，存在实数a，b，c，满足或，使得数列{}为等比数列．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.