大庆实验中学实验二部 2022 级高（二）上学期期中考试
数学参考答案
一．单项选择题
1. B 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C 7.C 8.C
二．多项选择题
9. ABD 10.BD 11.CD 12.BCD
三.填空题
x 113. 0.2 14. 15. 4 5 16. 2
8
三．解答题
1
17. 2（1）∵函数 f (x) 3 sin x cos x sin x , x R ，
2
（f x = 3） sin 2x 1 cos 2x 1 sin(2x π ) 1 所以函数 f x 的最小正周期T π；
2 2 6
2kπ π π π π π令 2x 2kπ ,k Z，解得 kπ - x kπ , k Z，
2 6 2 6 3
π π
所以函数的单调递增区间为 kπ ,kπ
,k Z；
6 3
f (B) sin(2B π) 1 3 sin(2B π 1（2）因为 ，所以 ) ，
6 2 6 2
0 B π π 2B π 5π π π π因为 ，所以 6 6 6 ，所以 2B ，即
B ，
2 6 6 6
因为 3sinA 2sinC ，根据正弦定理可得 3a 2c，
2 2 2 π 2 2
根据余弦定理可得b a c 2ac cos , a c 3ac 1 ，解得 a 2， c 3（舍去负
6
值），所以△ABC 的周长 a b c 3 3 .
18.（1）抛物线 y2 8x的焦点为 2,0 ，可得 F 2,0 ，则 c 2；
c 2 3
由 ，可得 a 3，由b2 a2 c2得b2 1，
a 3
x2
故双曲线C的标准方程为 y2 1；
3
（2）当直线 l垂直于 x轴时， AB 2 3 ，不合题意；
3
当直线 l不垂直于 x轴时，可设过双曲线右焦点 F 2,0 的直线 l : y k(x 2)，且与双曲线C
的交点为 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
{#{QQABTQKAgggAAAJAABgCQQG4CgKQkBECCCoGBAAIIAAAwANABAA=}#}
y k(x 2)
由 x2 可得 1 3k 2 x2 12k 2x 12k 2 3 0 2 12 ，则 k ，
y 1 3 3
2 1
因为焦点在双曲线的内部，则直线斜率存在且 k 时，直线与双曲线必有两交点，
3
x x 12k
2
, x x 12k
2 3
1 2 ，1 3k 2 1 2 1 3k 2
12(k 2 x x 2 x 2 1)则 1 2 1 x2 4x1x2 ，(1 3k 2 )2
2
则 AB 1+k 2 x
2 3k 3
1 x
2
2 1+k x1 x2
2 4x 21x2 1+k 2 3，1 3k 2
解得 k 1，即直线 l的方程为 x y 2 0或 x y 2 0 .
19.（1）由频率分布直方图的性质，可得 (0.006 0.008 0.020 0.030 0.024 m) 10 1，
解得m 0.012 .
（2）因为大于第 70 百分位数的频率为 0.3，测试成绩位于[90,100]的频率
0.012 10 0.12 0.3，位于[80,100]的频率0.024 10 0.012 10 0.36 0.3，故第 70 百分
位数位于[80,90)，设为 x .
则 90 x 0.024 0.12 0.3，解得 x 82.5，即第 70 百分位数为82.5
（3）测试成绩位于[80,90)的频率 P1 0.024 10 0.24 ，
位于[90,100]的频率 P2 0.012 10 0.12 ，
因为 P1 : P2 2 :1，所以确定的 6 人中成绩在[80,90)内的有 4 人，分别记为 A1, A2 , A3 , A4，成
绩在[90,100]内的有 2 人，分别记为 B1,B2 ，
从 6 人中随机抽取 2 人的样本空间：
Ω {(A1, A2 ), (A1, A3 ), (A1, A4 ), (A1,B1), (A1,B2 ), (A2 , A3 ), (A2 , A4 ), (A2 ,B1), (A2 ,B2 ), (A3 , A4 ), (A3 ,B1),
(A3,B2), (A4 ,B1), (A4 ,B2), (B1,B2)}
{#{QQABTQKAgggAAAJAABgCQQG4CgKQkBECCCoGBAAIIAAAwANABAA=}#}
共有 15 个样本点，
其中 A (A1,B1), (A1,B2 ), (A2 ,B1), (A2 ,B2 ), (A3,B1), (A3,B2 ), (A4 ,B1), (A4 ,B2 ) ，即 n(A) 8，所以
8
概率为 P(A) .
15
1
20.（1）由题意，取 CA的中点 N，连接 MN，BN，则MN / /AF且MN AF，
2
AF / /BE BE 1又 且 AF，所以MN / /BE且MN BE，
2
所以四边形MNBE为平行四边形，得ME / /BN ，
又 BN 平面 ABC，ME 平面 ABC，所以ME / /平面 ABC；
（2）分别取 AB、EF的中点 O、D，连接 OD，OC，则OD / /AF ，
由 AF 平面 ABC，得OD 平面 ABC，则OD OC ,OD AB ，
又 ABC为正三角形，所以OC AB，
因为 AF 平面 ABC，OC 平面 ABC，得 AF OC，
而 AF AB A, AF、AB 平面 ABEF ，所以OC 平面 ABEF ，
故 OC、OA、OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系O xyz，
则C( 3,0,0),B(0, 1,0),E(0, 1,2),F (0,1, 4),M ( 3, 1,2) ，
2 2
得CB ( 3, 1,0),BE (0,0, 2),ME ( 3, 3 ,0) ，
2 2
设平面CBE的一个法向量为 n (x, y, z)，
n CB 3x y 0
则 ，令 y 3，得 x 1, z 0，得 n (1, 3,0)，
n BE 2z 0
π
设 ME与平面CBE所成角为 ， 0, 2
，
ME n
sin cos ME,n 1 π则 2，所以 ，ME n 6
π
故 ME与平面CBE所成角为 .
6
p
21.（1）由题意，设抛物线C的方程为 x2 2 py ( p 0 )，则焦点 F 的坐标为 (0, ) .
2
p
设直线 l的方程为 y kx ， A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，2
x2 2py
联立方程得 p，消去 y得 x2 2pkx p2 0， 4 p2k 2 4 p2 0 ，
y kx
2
{#{QQABTQKAgggAAAJAABgCQQG4CgKQkBECCCoGBAAIIAAAwANABAA=}#}
x x 2pk x x p2 y y p
2
所以 1 2 ， 1 2 ， 1 2 ，4
uur uuur
因为OA OB x1x2 y y
3
1 2 ，所以 p 1故抛物线的方程为 x2 2y .4
（2）设 P(x0 , y0 )（ x0y0 0），M (m,0)， N (n,0)，易知点M 、 N的横坐标与 P的横坐标均
y0
不相同.不妨设m n .易得直线 PM的方程为 y (x m)x m 化简得0
x0 m myy0x (x0 m) y my0 0
0
，又圆心(0,1)到直线PM的距离为 1，所以 1
y 2
，
0 (x0 m)
2
所以 (x 2 20 m) y0 (x m)
2 2my 2 20 0(x0 m) m y0 ，不难发现 y0 2，故上式可化为
(y 2)m 2 2x m y 0 (y 2)n 20 0 0 ，同理可得 0 2x0n y0 0 ，
所以m 2
2x y
、n可以看作是 (y0 2)t 2x0t y0 0的两个实数根，则m n
0
，mn 0y0 2 y0 2
，
2
m n 2 m n 2 4mn 4x0 4y
2 8y
所以
0 0
2 因为
P(x0 , y0 )是抛物线C上的点，所以y0 2
2 m n 2 4y
2
0 2yx 2 y 00 0，则 2 ，又
y 2，所以m n ，
y0 2
0 y0 2
S 1 1
2y0 y
2
从而 0
4 4
PMN (m n)y2 0
y y 2 4 2 ( y 2) 4 8
2 y0 2
0 y0 2
0 y0 2
0 y0 2
当且仅当 (y0 2)
2 4时取得等号，此时 y0 4， x0 2 2
故△PMN 面积的最小值为 8.
2
22.（1）由题意令 x c b，代入得 y ，
a
a 2b,
2
所以 2b2 解得 a 2，b 1
x
，所以椭圆 E的方程为： y2 1.
1, 4
a
（2）由题意，直线 l的斜率显然存在且不为 0，不妨设直线 l的方程为 y 1 k x 2 ，
即 y kx 1 2k ，
y kx 1 2k ,
联立方程 x2 得 1 4k 2 x2 8k 1 2k2 x 16 k 2 k 0 ，
y 1, 4
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，C x3, y3 ，
{#{QQABTQKAgggAAAJAABgCQQG4CgKQkBECCCoGBAAIIAAAwANABAA=}#}
8k 2k 1 16 k 2k k当 64k 0，即 0时， x1 x2 ， ，1 4k 2 x1x2 1 4k 2
1
则 AC的方程为 y y1 x x ，①2 1
与椭圆 E联立得 2 x 2 2 x1 4 y1 x 2 y x
2
1 1 4 0，
x1 x3 x1 2y1，所以 x3 2y1，
y 1 x 1代入①得 x1 x3 ，代入 x3 , y3 得 y
1
3 x1，2 2 2
1 x y 1
直线 BC的方程为： 1 2y y 2 x x ，联立OP : y x得，2 2y1 x 2 22
2y1 2y2 x1 x2 x 4y 1y2 x1x2
2y1 x2 2y1 x
.
2
2
2y 4 1 4k 1 2y2 x1 x2 2k 1 x x 4 1 2k ，1 2 1 4k 2
4 1 4k 2
4y1y2 x1x
2
2 4k 1 x1x2 4k 1 2k x1 x2 4 1 2k 2 ，1 4k 2
4 1 4k 2 1 4 1 4k 2
故 x 1 0 1， 不恒为 0，所以 x 1，
1 4k 2 2 y1 x2 1 4k
2 2y1 x2
y 1则 x
1
，
2 2
1
故直线 BC OP 1, 与直线 交于定点 2
.
{#{QQABTQKAgggAAAJAABgCQQG4CgKQkBECCCoGBAAIIAAAwANABAA=}#}影大庆实验中生
大庆实验中学实验二部2022级高（二)上学期期中考试
则as=()
数学试题
A.25
B.24
c.5
D,4
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
7.已知R,E是双曲线C:
1.若方程，之+上。=1表示椭圆，则实数m的取值范国是（）
京F=1（a>0,b>0)的左、右焦点，C的右支上存在
25-mm+9
一点B满足B服1B服，BR与C的左支的交点A满足血M三_BC
sin ZAF B FE'
则双曲线C的离心率
A.（-9,25)B.（-9,8U(8,25)
c.(8,25)
D.(&+o)
为()
2.数列{a}满足a=a,neN,则“a=2"是{a.}为单调递增数列的()
A.3
B.25
c.3
D.5
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
PA
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知平面上两定点A、B,则所有满足P(1>0且11)的点P的轨迹是一个圆
3.某校高一年级有女生504人，男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学
生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体里为
心在AB上，半径为
一4到的圆这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿
49kg,60个男生的平均体重为57kg,依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重
氏因.己知棱长为3的正方体ABCD-ABCD,表面上动点P满足PA=2PE,则点P的轨迹长度
最合理的计算方法为()
4.49+57
B品9品7
为()
2
A.2π
D.(2+5)π
c器品
*
0器007
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）、：
4.点5,0)到双曲线兰-上=1的一条渐近线的距离为()
9.下列说法错误的是()
169
A.过点A(-2,-3)且在两坐标轴上截距相等的直线1方程为x+y+5=0
A.4
B.3
C.5
.
5.“抛掷一颗敬子，结果向上的点数小于3”记为事件A,抛掷一颗骰子，结果向上的点数
B."a=-1“"是直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直的充要条件
大于1且小于5"记为事件B,则()
C.若直线I的一个方向向量是E=(-H,,则直线1的斜率为-5
A.事件A,B互斥
B.事件A,B对立
C.事件A,B相互独立
D.事件A与B不相互独立
6.图1是第七届国际数学教有大会的会徽图案，会微的主体图案是由如图2所示的一连串
D.过两点（化，以化，）的直线的方程都可以表示为-=-三
一为马一
直角三角形演化而成的，其中
10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取5次，
每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则()
OA=44=44=…=AA=l,如果把
A.可能取到数字4B.中位数可能是2C.极差可能是4·D.众数可能是2
图2中的直角三角形继续作下去，记0A
山.己知P是椭图C:千+y=1止任意一点，2是圆M:+0-2=1止任意-点，乃，
0A,…,0A,的长度构成的数列为{a},
ICME-7
B分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆的下顶点，则()
图1
图2
试卷第1页，共2页
