2023—2024学年苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程期末综合复习题（含解析）

2023-2024学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》期末综合复习题（附答案）
一、单选题
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
5．一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（ ）．
A．15 B．16 C．16或17 D．15或16
6．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )
A． B． C．或 D．或
7．杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户8月份销售吉祥物“宸宸”摆件10万个，10月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价元，每天将盈利1080元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
10．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是 ．
11．若实数x满足， 则＝ ．
12．已知关于的一元二次方程的一个根是，则 ．
13．若矩形的长和宽是关于x的方程的两根，则矩形的周长为 ．
14．已知是方程的一个根，则= ．
15．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化（绿化部分为图中阴影部分），绿化后一边减少了另一边减少了 ，剩余部分是面积为的矩形空地，则原正方形空地的边长为 ．

16．如图，三角形ABC中，，一动点从出发沿着边以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当为 秒时，的面积为．

三、解答题
17．解下列方程
(1)
(2)
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)是方程的一个根，求的值及方程的另一根．
19．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
20．阅读下面的例题：
解方程
解：（1）当时，原方程化为，
解得：（不合题意，舍去）
（2）当时，原方程化为，
解得：，（不合题意，舍去），
∴原方程的根是．
请参照例题解方程．
21．阅读材料，解答问题：
已知实数满足，，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数满足：，且，则______，______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求的值；
(3)拓展应用：已知实数满足：，且，求的值．
22．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．
(1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元；
(2)在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？
(3)这种背包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
23．如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向终点移动，点以的速度向点移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为．

(1)当时，四边形面积是______
(2)当t为何值时，点P和点Q距离是？
(3)当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．
参考答案
1．解：A.是一元二次方程，符合题意；
B. 未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；
C. 不是一元二次方程，不符合题意；
D. 不是整式方程，不符合题意．
故选A
2．解：，
∵，，，
∵，
∴有两个不相等的实数根，
故选:B．
3．解：，
，
，
，
故选：D．
4．解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得且，
故选B．
5．解：，
因式分解得，，
或，
解得，，
当5是等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，5，6，
则周长为：；
当6是等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，6，6，
则周长为：；
故选：C．
6．解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又∵，，
∴，
∴
即
解得：或，
∵，
∴，
故选：A．
7．解：设该摆件销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：．
故选：C．
8．解：设降价元，则每件利润为元，销售量为，
由题意得：，
故选：D．
9．解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴，且，
∴，
故答案为：
10．解：∵关于的一元二次方程的一个根是0，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：2．
11．解：设，
∵，即：，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
当时，即：，
∵，
∴此时无解，舍去；
∴，
故答案为：．
12．解：关于的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得，，
故答案为：．
13．解：∵矩形的长和宽是关于x的方程的两根，
∴矩形的长和宽的和为，
∴矩形的周长为，
故答案为：8．
14．解： 是方程的一个根，
，则，且，
，
故答案为：2026．
15．解：设正方形空地的边长为，列方程为：
，
解得：，（舍去），
∴原正方形空地的边长为，
故答案为：．
16．解：依题意，
的面积为．
解得
故答案为：．
17．（1）解：，
∴，
∵，，
∴，
解得：，；
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
18．（1）证明： ，，，
，
，
方程总有两个实数根；
（2）是方程的一个根，
把代入方程中，
得：，
解得：，
方程为：，
，
，，
的值为，方程的另一根为．
19．（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2），，
，
，
，即，
解得或．
；
．
故的值为2．
20．解：整理得，
当即时，
原方程化为，即，
解得（不合题意，舍去），；
当即时，
原方程化为，
，
解得（不合题意，舍去），
∴原方程的根为，．
21．（1）解： ，，且，
，是方程的两个不相等的实数根，
，，
故答案为：7，1；
（2）解：，
，，
；
（3）解：，，
、是方程的两个不相等的实数根，
．
22．（1）解：设每个背包的售价为元，则月均销量为个，
依题意，得：，
解得：，
答：每个背包售价应不高于元．
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：当这种背包销售单价为元时，销售利润是元．
（3）解：不能，理由如下：
依题意，得：，
整理，得：，
∴，
该方程无解，
答：这种背包的销售利润不可能达到元．
23．解：（1）如图，四边形是矩形，
，，．
，，
．
．
∴四边形面积是，
故答案为：4；
（2）如图1，作于，

，
，
四边形是矩形，
， ．
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：或（舍去）．
如图2，作于，

．
，
四边形是矩形，
，．
，
在中，由勾股定理，得
，
解得：或（舍去），
综上所述： ；
（3）如图3，当时，作于，

，
，
四边形是矩形，
，．
，
．．
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得：．
如图4，当时，作于，

，．
，
四边形是矩形，
． ，
，
．
，
解得：；
如图5，当时，

， ，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得，（舍去）．
综上所述：或或或．