北师版数学七年级上册单元清测试（第五章） 培优卷
一、选择题
1．若关于x的方程1-=0与方程4x-5=7的解相等，则常数a的值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023七上·期末）下列变形中正确的是（ ）
A．方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=-1+2
B．方程3-x=2-5(x-1)，去括号，得3-x=2-5x-5
C．方程，未知数系数化为1，得t=1
D．方程化为
3．（2023七上·哈尔滨月考）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
4．（2023七上·哈尔滨月考）小何同学在做作业时，不小心将方程▊中一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉他方程的解是，请问这个被污染的常数▊是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2019七上·南开期中）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x= ；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
6．把八张形状、大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部(如图1．图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为（ ）
A．150 B．176 C．204 D．234
7．一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示)，已知瓶子的底面积为10cm2，根据图中标明的数据，计算可得瓶子的容积是（ ）
A．80 cm3 B．70 cm3 C．60 cm3 D．50 cm3
8．某超市推出如下优惠方案：
①购物款不超过200元不享受优惠；
②购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
③购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则她应付款（ ）
A．522.80元 B．560.40元 C．510.40元 D．472.80元
9．（2023七上·义乌期末）福州某机械厂加工车间有35名工人，平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有x名，则可列方程为（ ）
A．3×5x＝2×10（35-x） B．2×5x＝3×10（35-x）
C．3×10x＝2×5（35-x） D．2×10x＝3×5（35-x）
10．（2023七上·洪山开学考）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（ ）分钟小华可追上小明.
A． B． C．10 D．11
11．（2022七上·南宁月考）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
12．（2022七上·巴东月考）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形按的路线行走，甲从点出发，以/分钟的速度行走，同时，乙从点出发，以/分钟的速度行走.当乙第一次追上甲时，将在正方形的（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
二、填空题
13．（2023七上·和平期中）关于的一元一次方程的解为，则的值为 ．
14．已知关于x的方程与方程=3x-2的解互为倒数，则m的值为
15．（2023七上·嘉兴期末）用(m)表示大于m的最小整数，例如(1)=2，(3.2)=4，(-3)=-2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{-2，4}=4，按上述规定，如果整数x满足max{x，-3x}=-2(x)+11，则×的值是 .
16．（2023七上·哈尔滨月考）如图，在长方形中，，点是AB上一点，且，点从点出发，以的速度沿点C-D-A-E匀速运动，最终到达点设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 .
17．（2022七上·渠县期末）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠.小敏在该超市两次购物分别付款70元和288元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元.
18．（2023七上·洪山开学考）A、B两地之间相距120千米，其中一部分是上坡路，其余全是下坡路，小华骑电动车从A地到B地，再沿原路返回，去时用了5.5小时，返回时用了4.5小时，已知下坡路段小华的骑车速度是每小时30千米，那么上坡路段小华的骑车速度为 .
三、解答题
19．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
20．（2023七上·北京市期中） 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
21．（2023七上·通川期末）2021年国庆期间，某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，按团队人数分段定价售票，信息如表：
团队人数（人） 小于10人 10人及以上且小于30人 30人及以上
门票单价 60元 50元 40元
注：本题中的门票款不含导游的门票.
（1）导游小张于10月1日带了一个30人的旅游团到该景区，请问需要支付多少元门票款？
（2）导游小李于10月1日带A团，10月2日带B团都到该景区旅游，共付门票款1800元，A，B两个团队合计42人，A团人数比B团人数少，求A，B两个团队各有多少人？
22．（2023七上·吉林期中）如图，在数轴上点A表示的数是-5，点B表示的数是10．
（1）A、B两点之间的距离是
（2）若在数轴上存在一点C且点C到点A的距离是到点B距离的2倍，则点C表示的数是
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒1个单位的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动设运动的时间为t（秒），
①分别表示出甲、乙两小球到原点的距离（用含t的代数式表示）：
②当甲、乙两小球到原点的距离相等时，求t的值．
23．（2023七上·镇海区期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：
销售量 单价
不超过100件部分 2.6元/件
超过100件不超过300件部分 2.2元/件
超过300件部分 2元/件
（1）若买100件花 元，买300件花 元；买380件花 元；
（2）小明买这种商品花了568元，列方程求购买这种商品多少件？
（3）若小明花了n元（n＞260），恰好购买0.45n件这种商品，求n的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：4x-5=7，
解得：x=3，
∴x=3是方程的解，
将x=3代人方程 ，
得．
解得：a=2．
故答案为：A.
【分析】先求出方程2x-3=1的根，然后代入方程，得到关于a的一元一次方程，在为求出a的值即可得出答案．
2．【答案】C
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A、方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=1+2，故选项A运算错误，A不符合题意；
B、方程3-x=2-5（x-1），去括号，得3-x=2-5x+5，故选项B运算错误，B不符合题意；
C、方程，未知数系数化为1，得，故选项C运算错误，C不符合题意；
D、方程将分子分母同时×10，可得，故选项D正确，D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据等式的性质：等号的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立，可判断A选项运算错误；根据括号外面的因数是负数时，去括号后各项符号和原括号内相反，可判断B选项运算错误；根据等式的性质：等号的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或不等于0的式子，等式仍然成立，判断C选项运算错误；根据分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的数或不等于0的式子，分数的值不变，可判断D选项的运算正确，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵∴则本项不符合题意；
B、∵∴即则本项不符合题意；
C、∵若∴则本项不符合题意；
D、∵可知：∴则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质：在等号两边同加(减)一个数，等号不变；在等号两边同乘(除)一个不为0的数，等号不变，据此逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵原方程的解为，
∴
解得：
故答案为：C.
【分析】把代入原方程，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6），
去括号得：2ax=2x+6，
移项，合并得，x= ，
因为无解，所以a﹣1=0，即a=1．
故答案为：A．
【分析】对方程去分母、去括号、移项、合并同类项进行求解，再根据方程无解得到关于a的方程，求解可得a的值.
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形卡片的长为3m，则宽为m，
由图2可知大长方形的宽为5m，长为（5m+5），
则，
解得：m=2，
∴盒子底部长方形的面积=5m×（5m+5）=10×15= 150．
故答案为：A.
【分析】设小长方形卡片的长为3m，则宽为m，用含m的式子表示两块阴影部分的周长，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用长方形的面积公式即可求出盒子底部长方形的面积．
7．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 解： 设瓶子的容积为V cm3，
依题意得V- 10×(7-5)= 10×4．
解得V=60．
故答案为：C.
【分析】设瓶子的容积为V cm3，根据两个瓶中的没有水部分的体积相等列出方程求解.
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 （1）付款168元，假设这次的实际费用符合② ，则这次的实际费用为168÷0.9=186<200，所以假设不成立，所以这一次实际费用符合 ①，所以这次在消费168元的情况下，商品的实质购物价值只能是168元．
（2）购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①她消费超过200元但不足600元，这时候是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.9=423，解得：x=470．
②她消费超过600元，这时候是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.8=423，解得：x=528.75（舍去），
即在第二次消费423元的情况下，商品的实际购物价值可能是470元．
综上所述，小明的妈妈两次购物的实质价值为168+470=638（元），超过了600元．因此均可以按照8折付款：
638×0.8=510.4（元）．
综上所述，她应付款510.4元．
故答案为：C．
【分析】对付款168元与423元，分别分析计算后得出结论.其中付款168时，可假设符合②，根据②计算出实际费用，看与假设是否一致，然后确定实际费用；对于付款423元，分符合② 或 ③ 两种情况计算后作出判断，从而得出实际费用，再接着求解.
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设加工大齿轮的工人有x名，则加工小齿轮的工人有（35-x）名，
依题意得：，
即3×5x＝3×10（35-x）.
故答案为：A.
【分析】设加工大齿轮的工人有x名，则加工小齿轮的工人有（35-x）名，则可生产大齿轮5x个，生产小齿轮10（35-x）个，根据2个大齿轮和3个小齿轮配成一套列出一元一次方程.
10．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设x分钟后小华可以追上小明，
∴由题意可得：，
解得x=11，
故答案为：D.
【分析】设再x分钟后小华能追上小明，根据两个人 同时同地相背而行5分钟后 ，小华掉头追甲即可列出方程求解.
11．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x-2）日，
由题意，得：.
故答案为：D．
【分析】设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x-2）日，可列方程为，即可解答.
12．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乙x分钟后追上甲，
由题意得，70x-50x=270，
解得：x=13.5，
而13.5×70=945，而945÷90=10余45，
∴乙第一次追上甲是在AD上.
故答案为：D.
【分析】设乙x分钟后追上甲，由乙所走的路程-甲所走的路程=甲乙之间的距离（BC+CD+AD）建立方程，求解即可.
13．【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义；一元一次方程的解；有理数的乘方法则
【解析】【解答】是 关于的一元一次方程 ，
a+2=1，
解得a=-1，
原方程为2x+m=4，
x=1是方程的解，
解得m=2，
=
【分析】先根据一元一次方程的定义求出a的值，再根据一元一次方程的解的定义求出m的值，进而得出结论.
14．【答案】-1
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：
解得：，
，
解得：，
根据题意可得与互为倒数，
即，
解得：m=-1．
故答案为：-1.
【分析】先分别求出两个方程的解，然后根据互为倒数的两数之积等于1，即可列方程，求出m的值．
15．【答案】3或-9
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵x是整数，
∴（x）=x+1，
当x＞-3x时， max{x，-3x} =x，
又∵ max{x，-3x}=-2(x)+11 ，
∴x=-2（x+1）+11，解得x=3；
当x＜-3x时， max{x，-3x} =-3x，
又∵ max{x，-3x}=-2(x)+11 ，
∴-3x=-2（x+1）+11，解得x=-9；
综上，x的值为3或-9.
故答案为：3或-9.
【分析】根据新定义运算并结合x为整数可得（x）=x+1，然后分当x＞-3x时与当x＜-3x时两种情况简化方程，求解即可.
16．【答案】2.5或5
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当P在CD上，如图1：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∵
∴
解得：
②当P在AD上，如图2：
∵
∴
∵
∴
即
解得：
③当P在AE上，如图3：
∵
∴
解得：，舍去，
综上所述：若的面积为，则的值为2.5或5，
故答案为：2.5或5.
【分析】由题意知需分三种情况讨论：①当P在CD上；②当P在AD上；③当P在AE上，分别根据三角形的面积公式列方程，即可求解.
17．【答案】312或344
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费70元的情况下，他的实质购物价值只能是70元.
第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的.
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：x×0.9=288，解得：x=320.
第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的.
设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：a×0.8=288，解得：a=360.
即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元.
综上所述，他两次购物的实质价值为70+320=390或70+360=430，均超过了350元.因此均可以按照8折付款：
390×0.8=312（元），430×0.8=344（元）.
故答案为：312元或344元.
【分析】由题意可得第一次的实质购物价值只能是70元，当第二次购物消费超过100元但不足350元时，按照9折付款，设第二次实质购物价值为x元，则有：0.9x=288，求解即可；当第二次购物消费不低于350元时，是按照8折付款的，同理列出方程，求出实质购物价值，然后求出两次购物的实质价值，进而可得应付款的钱数.
18．【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设上坡路小华汽车速度为x千米/小时，
∵5.5+4.5=10小时
∴小华往返时间为10小时，
根据题意得
解得x=20
∴上坡路段小华的骑车速度为 20千米/小时
故答案为：20.
【分析】设上坡路小华汽车速度为x千米/小时，可知总时间为10小时，根据题意可得，上坡路与下坡路路程相等，即可列出方程，求解即可.
19．【答案】（1）去分母，得4(2x-1)=3(2x+1)-12，
去括号，得8x-4=6x+3- 12．
移项，得8x- 6x=3- 12+4，
合并同类项，得2x=-5，
解得x=-2.5．
（2）去分母，得5(2x+1)-15- 3(x- 1)，
去哲号，得10x+5=15- 3x+3，
移项，得10x+3x=15+3-5，
合并同类项，得13x=13，
解得x=1．
（3）去分母，得3(x+1)- (x+2)=6+4x
去括号，得3x+3-x-2=6+4x
移项、合并同类项，得2x=-5，
解得x=．
（4）方程整理得
去分母，得30x-7(17- 20x)=21，
去括号，得30x- 119+140x=21．
移项、合并同类项得170x=140．
解得x=
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程；
（2）先去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程；
（3）先去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程；
（4）整理得：，然后去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程.
20．【答案】（1）解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
∴
∴．
（2）解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
又∵是它的解，
．
∴．
把代入方程，得．
∴．
∴．
．
∴．
【知识点】一元一次方程的解；数学思想；解含括号的一元一次方程；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义得到关于m、n的方程，解方程即可得出结论.
21．【答案】（1）解：由题意，当人数为30人时，购票单价为40元，
∴40×30＝1200（元），
答：需要支付1200元门票款；
（2）解：∵A，B两个团队合计42人，A团人数比B团人数少，
∴A团人数比小于21人，
设A团有x人，则B团有（42-x）人，
①当0＜x＜10时，
60x+40（42-x）＝1800，
解得：x＝6，
42-x＝42-6＝36（人），
∴此时A团有6人，B团有36人；
②当10≤x≤12时，
50x+40（42-x）＝1800，
解得：x＝12，
42-x＝42-12＝30（人），
∴此时A团有12人，B团有30人；
③当12＜x＜21时，
42×50＝2100≠1800，故此情况不成立；
综上，A团有6人，B团有36人或A团有12人，B团有30人.
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）由题意可得：当人数为30人时，购票单价为40元，然后根据人数×单价=总价进行计算；
（2）由题意可得A团人数小于21人，设A团有x人，则B团有(42-x)人，然后分①0＜x＜10，②10≤x≤12，③12＜x＜21，根据人数×单价=总价结合共付门票款1800元建立关于x的方程，求解即可.
22．【答案】（1）15
（2）5或25
（3）解：①甲小球距离原点距离：；
甲小球距离原点距离：
②令 t+5=10-2t，解得t=
t+5=2t-10， 解得t=15，
答： 当甲、乙两小球到原点的距离相等时 ，t等于.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：⑴、AB=10-（-5）=15，
⑵、设点C表示的数是x，由题得
当点C在线段AB上时：x-(-5)=2(10-x)，
解得：x=5，
当点C在线段AB的延长线上时：x-(-5)=2(x-10)，
解得：x=25，
综上所述点C表示的数是5或25.
【分析】⑴、数轴上两点距离等于两点坐标差的绝对值，所以两点距离等于较大坐标减去较小的坐标；
⑵、由题可知分两类讨论，一种是点C在线段AB上满足条件；另一种是点C在AB的延长线上满足条件；设点C坐标列方程求解即可。
⑶、①路程问题根据路程等于速度乘以时间来表达，且注意乙小球向左碰到挡板前和碰到挡板后两种不同情形的讨论。
②根据题意列方程求解。
23．【答案】（1）260；700；860
（2）解：设购买这种商品x件，
因为花费568＜700，所以购买的件数少于300件.
260+2.2（x-100）＝568，
解得：x＝240，
答：购买这种商品240件；
（3）解：①当260＜n≤700时，
260+2.2（0.45n-100）＝n，
解得：n＝4000（不符合题意，舍去）；
②当n＞700时，
700+2（0.45n-300）＝n，
解得：n＝1000，
综上所述：n的值为1000.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）买100件花：2.6×100＝260（元）
买300件花：2.6×100+2.2×200＝700（元）
买380件花：2.6×100+2.2×200+2×80＝860（元）
故答案为260，700，860；
【分析】（1）根据表格可得不超过100件时单价为2.6元，据此不难求出买100件的费用；根据100件的费用+超过100件的部分即200件的费用可得购买300件的费用；根据100件的费用+超过100件但不超过300件的部分即200件的费用+超过300件的部分即80件的费用可求出购买380件的费用；
（2）设购买这种商品x件，由题意可得购买的件数少于300件，则100×2.6+2.2(x-100)＝568，求解即可；
（3）①当260＜n≤700时，购买的件数超过100件但不超过300件，此时有260+2.2(0.45n-100)＝n，求解即可；②当n＞700时，购买的件数超过300件，此时有700+2(0.45n-300)＝n，求解即可.
1 / 1北师版数学七年级上册单元清测试（第五章） 培优卷
一、选择题
1．若关于x的方程1-=0与方程4x-5=7的解相等，则常数a的值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：4x-5=7，
解得：x=3，
∴x=3是方程的解，
将x=3代人方程 ，
得．
解得：a=2．
故答案为：A.
【分析】先求出方程2x-3=1的根，然后代入方程，得到关于a的一元一次方程，在为求出a的值即可得出答案．
2．（2023七上·期末）下列变形中正确的是（ ）
A．方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=-1+2
B．方程3-x=2-5(x-1)，去括号，得3-x=2-5x-5
C．方程，未知数系数化为1，得t=1
D．方程化为
【答案】C
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A、方程3x-2=2x+1，移项，得3x-2x=1+2，故选项A运算错误，A不符合题意；
B、方程3-x=2-5（x-1），去括号，得3-x=2-5x+5，故选项B运算错误，B不符合题意；
C、方程，未知数系数化为1，得，故选项C运算错误，C不符合题意；
D、方程将分子分母同时×10，可得，故选项D正确，D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据等式的性质：等号的两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立，可判断A选项运算错误；根据括号外面的因数是负数时，去括号后各项符号和原括号内相反，可判断B选项运算错误；根据等式的性质：等号的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或不等于0的式子，等式仍然成立，判断C选项运算错误；根据分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的数或不等于0的式子，分数的值不变，可判断D选项的运算正确，即可得出答案.
3．（2023七上·哈尔滨月考）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【知识点】等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵∴则本项不符合题意；
B、∵∴即则本项不符合题意；
C、∵若∴则本项不符合题意；
D、∵可知：∴则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据等式的性质：在等号两边同加(减)一个数，等号不变；在等号两边同乘(除)一个不为0的数，等号不变，据此逐项判断即可.
4．（2023七上·哈尔滨月考）小何同学在做作业时，不小心将方程▊中一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉他方程的解是，请问这个被污染的常数▊是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵原方程的解为，
∴
解得：
故答案为：C.
【分析】把代入原方程，即可求解.
5．（2019七上·南开期中）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x= ；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1
【答案】A
【知识点】解一元一次方程
【解析】【解答】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6），
去括号得：2ax=2x+6，
移项，合并得，x= ，
因为无解，所以a﹣1=0，即a=1．
故答案为：A．
【分析】对方程去分母、去括号、移项、合并同类项进行求解，再根据方程无解得到关于a的方程，求解可得a的值.
6．把八张形状、大小完全相同的小长方形卡片按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部(如图1．图2)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知盒子底部长方形的长比宽大5，图1与图2阴影部分周长之比为25：22，则盒子底部长方形的面积为（ ）
A．150 B．176 C．204 D．234
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形卡片的长为3m，则宽为m，
由图2可知大长方形的宽为5m，长为（5m+5），
则，
解得：m=2，
∴盒子底部长方形的面积=5m×（5m+5）=10×15= 150．
故答案为：A.
【分析】设小长方形卡片的长为3m，则宽为m，用含m的式子表示两块阴影部分的周长，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用长方形的面积公式即可求出盒子底部长方形的面积．
7．一个密封的瓶子里装着一些水(如图所示)，已知瓶子的底面积为10cm2，根据图中标明的数据，计算可得瓶子的容积是（ ）
A．80 cm3 B．70 cm3 C．60 cm3 D．50 cm3
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】 解： 设瓶子的容积为V cm3，
依题意得V- 10×(7-5)= 10×4．
解得V=60．
故答案为：C.
【分析】设瓶子的容积为V cm3，根据两个瓶中的没有水部分的体积相等列出方程求解.
8．某超市推出如下优惠方案：
①购物款不超过200元不享受优惠；
②购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
③购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元如果小明的妈妈在超市一次性购买与上两次价值相同的商品，则她应付款（ ）
A．522.80元 B．560.40元 C．510.40元 D．472.80元
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】 （1）付款168元，假设这次的实际费用符合② ，则这次的实际费用为168÷0.9=186<200，所以假设不成立，所以这一次实际费用符合 ①，所以这次在消费168元的情况下，商品的实质购物价值只能是168元．
（2）购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①她消费超过200元但不足600元，这时候是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.9=423，解得：x=470．
②她消费超过600元，这时候是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.8=423，解得：x=528.75（舍去），
即在第二次消费423元的情况下，商品的实际购物价值可能是470元．
综上所述，小明的妈妈两次购物的实质价值为168+470=638（元），超过了600元．因此均可以按照8折付款：
638×0.8=510.4（元）．
综上所述，她应付款510.4元．
故答案为：C．
【分析】对付款168元与423元，分别分析计算后得出结论.其中付款168时，可假设符合②，根据②计算出实际费用，看与假设是否一致，然后确定实际费用；对于付款423元，分符合② 或 ③ 两种情况计算后作出判断，从而得出实际费用，再接着求解.
9．（2023七上·义乌期末）福州某机械厂加工车间有35名工人，平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有x名，则可列方程为（ ）
A．3×5x＝2×10（35-x） B．2×5x＝3×10（35-x）
C．3×10x＝2×5（35-x） D．2×10x＝3×5（35-x）
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设加工大齿轮的工人有x名，则加工小齿轮的工人有（35-x）名，
依题意得：，
即3×5x＝3×10（35-x）.
故答案为：A.
【分析】设加工大齿轮的工人有x名，则加工小齿轮的工人有（35-x）名，则可生产大齿轮5x个，生产小齿轮10（35-x）个，根据2个大齿轮和3个小齿轮配成一套列出一元一次方程.
10．（2023七上·洪山开学考）小明步行每分钟行60米，小华骑自行车每分钟行160米，二人同时同地相背而行5分钟后，小华立即调头来追甲，再经过（ ）分钟小华可追上小明.
A． B． C．10 D．11
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设x分钟后小华可以追上小明，
∴由题意可得：，
解得x=11，
故答案为：D.
【分析】设再x分钟后小华能追上小明，根据两个人 同时同地相背而行5分钟后 ，小华掉头追甲即可列出方程求解.
11．（2022七上·南宁月考）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发x日，甲乙相逢，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x-2）日，
由题意，得：.
故答案为：D．
【分析】设乙出发x日，甲乙相逢，则甲出发（x-2）日，可列方程为，即可解答.
12．（2022七上·巴东月考）如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形按的路线行走，甲从点出发，以/分钟的速度行走，同时，乙从点出发，以/分钟的速度行走.当乙第一次追上甲时，将在正方形的（ ）
A．边上 B．边上 C．边上 D．边上
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设乙x分钟后追上甲，
由题意得，70x-50x=270，
解得：x=13.5，
而13.5×70=945，而945÷90=10余45，
∴乙第一次追上甲是在AD上.
故答案为：D.
【分析】设乙x分钟后追上甲，由乙所走的路程-甲所走的路程=甲乙之间的距离（BC+CD+AD）建立方程，求解即可.
二、填空题
13．（2023七上·和平期中）关于的一元一次方程的解为，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义；一元一次方程的解；有理数的乘方法则
【解析】【解答】是 关于的一元一次方程 ，
a+2=1，
解得a=-1，
原方程为2x+m=4，
x=1是方程的解，
解得m=2，
=
【分析】先根据一元一次方程的定义求出a的值，再根据一元一次方程的解的定义求出m的值，进而得出结论.
14．已知关于x的方程与方程=3x-2的解互为倒数，则m的值为
【答案】-1
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：
解得：，
，
解得：，
根据题意可得与互为倒数，
即，
解得：m=-1．
故答案为：-1.
【分析】先分别求出两个方程的解，然后根据互为倒数的两数之积等于1，即可列方程，求出m的值．
15．（2023七上·嘉兴期末）用(m)表示大于m的最小整数，例如(1)=2，(3.2)=4，(-3)=-2．用max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{-2，4}=4，按上述规定，如果整数x满足max{x，-3x}=-2(x)+11，则×的值是 .
【答案】3或-9
【知识点】定义新运算；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵x是整数，
∴（x）=x+1，
当x＞-3x时， max{x，-3x} =x，
又∵ max{x，-3x}=-2(x)+11 ，
∴x=-2（x+1）+11，解得x=3；
当x＜-3x时， max{x，-3x} =-3x，
又∵ max{x，-3x}=-2(x)+11 ，
∴-3x=-2（x+1）+11，解得x=-9；
综上，x的值为3或-9.
故答案为：3或-9.
【分析】根据新定义运算并结合x为整数可得（x）=x+1，然后分当x＞-3x时与当x＜-3x时两种情况简化方程，求解即可.
16．（2023七上·哈尔滨月考）如图，在长方形中，，点是AB上一点，且，点从点出发，以的速度沿点C-D-A-E匀速运动，最终到达点设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 .
【答案】2.5或5
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①当P在CD上，如图1：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∵
∴
解得：
②当P在AD上，如图2：
∵
∴
∵
∴
即
解得：
③当P在AE上，如图3：
∵
∴
解得：，舍去，
综上所述：若的面积为，则的值为2.5或5，
故答案为：2.5或5.
【分析】由题意知需分三种情况讨论：①当P在CD上；②当P在AD上；③当P在AE上，分别根据三角形的面积公式列方程，即可求解.
17．（2022七上·渠县期末）某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠.小敏在该超市两次购物分别付款70元和288元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元.
【答案】312或344
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费70元的情况下，他的实质购物价值只能是70元.
第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的.
设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：x×0.9=288，解得：x=320.
第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的.
设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：a×0.8=288，解得：a=360.
即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元.
综上所述，他两次购物的实质价值为70+320=390或70+360=430，均超过了350元.因此均可以按照8折付款：
390×0.8=312（元），430×0.8=344（元）.
故答案为：312元或344元.
【分析】由题意可得第一次的实质购物价值只能是70元，当第二次购物消费超过100元但不足350元时，按照9折付款，设第二次实质购物价值为x元，则有：0.9x=288，求解即可；当第二次购物消费不低于350元时，是按照8折付款的，同理列出方程，求出实质购物价值，然后求出两次购物的实质价值，进而可得应付款的钱数.
18．（2023七上·洪山开学考）A、B两地之间相距120千米，其中一部分是上坡路，其余全是下坡路，小华骑电动车从A地到B地，再沿原路返回，去时用了5.5小时，返回时用了4.5小时，已知下坡路段小华的骑车速度是每小时30千米，那么上坡路段小华的骑车速度为 .
【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设上坡路小华汽车速度为x千米/小时，
∵5.5+4.5=10小时
∴小华往返时间为10小时，
根据题意得
解得x=20
∴上坡路段小华的骑车速度为 20千米/小时
故答案为：20.
【分析】设上坡路小华汽车速度为x千米/小时，可知总时间为10小时，根据题意可得，上坡路与下坡路路程相等，即可列出方程，求解即可.
三、解答题
19．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）去分母，得4(2x-1)=3(2x+1)-12，
去括号，得8x-4=6x+3- 12．
移项，得8x- 6x=3- 12+4，
合并同类项，得2x=-5，
解得x=-2.5．
（2）去分母，得5(2x+1)-15- 3(x- 1)，
去哲号，得10x+5=15- 3x+3，
移项，得10x+3x=15+3-5，
合并同类项，得13x=13，
解得x=1．
（3）去分母，得3(x+1)- (x+2)=6+4x
去括号，得3x+3-x-2=6+4x
移项、合并同类项，得2x=-5，
解得x=．
（4）方程整理得
去分母，得30x-7(17- 20x)=21，
去括号，得30x- 119+140x=21．
移项、合并同类项得170x=140．
解得x=
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程；
（2）先去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程；
（3）先去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程；
（4）整理得：，然后去分母、去括号、移项，最后合并同类项，据此即可解方程.
20．（2023七上·北京市期中） 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
∴
∴．
（2）解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
又∵是它的解，
．
∴．
把代入方程，得．
∴．
∴．
．
∴．
【知识点】一元一次方程的解；数学思想；解含括号的一元一次方程；二元二次方程与方程组的认识
【解析】【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）根据和解方程的定义得到关于m、n的方程，解方程即可得出结论.
21．（2023七上·通川期末）2021年国庆期间，某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客，按团队人数分段定价售票，信息如表：
团队人数（人） 小于10人 10人及以上且小于30人 30人及以上
门票单价 60元 50元 40元
注：本题中的门票款不含导游的门票.
（1）导游小张于10月1日带了一个30人的旅游团到该景区，请问需要支付多少元门票款？
（2）导游小李于10月1日带A团，10月2日带B团都到该景区旅游，共付门票款1800元，A，B两个团队合计42人，A团人数比B团人数少，求A，B两个团队各有多少人？
【答案】（1）解：由题意，当人数为30人时，购票单价为40元，
∴40×30＝1200（元），
答：需要支付1200元门票款；
（2）解：∵A，B两个团队合计42人，A团人数比B团人数少，
∴A团人数比小于21人，
设A团有x人，则B团有（42-x）人，
①当0＜x＜10时，
60x+40（42-x）＝1800，
解得：x＝6，
42-x＝42-6＝36（人），
∴此时A团有6人，B团有36人；
②当10≤x≤12时，
50x+40（42-x）＝1800，
解得：x＝12，
42-x＝42-12＝30（人），
∴此时A团有12人，B团有30人；
③当12＜x＜21时，
42×50＝2100≠1800，故此情况不成立；
综上，A团有6人，B团有36人或A团有12人，B团有30人.
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）由题意可得：当人数为30人时，购票单价为40元，然后根据人数×单价=总价进行计算；
（2）由题意可得A团人数小于21人，设A团有x人，则B团有(42-x)人，然后分①0＜x＜10，②10≤x≤12，③12＜x＜21，根据人数×单价=总价结合共付门票款1800元建立关于x的方程，求解即可.
22．（2023七上·吉林期中）如图，在数轴上点A表示的数是-5，点B表示的数是10．
（1）A、B两点之间的距离是
（2）若在数轴上存在一点C且点C到点A的距离是到点B距离的2倍，则点C表示的数是
（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以每秒1个单位的速度向左运动，同时另一小球乙从点B处以每秒2个单位的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动设运动的时间为t（秒），
①分别表示出甲、乙两小球到原点的距离（用含t的代数式表示）：
②当甲、乙两小球到原点的距离相等时，求t的值．
【答案】（1）15
（2）5或25
（3）解：①甲小球距离原点距离：；
甲小球距离原点距离：
②令 t+5=10-2t，解得t=
t+5=2t-10， 解得t=15，
答： 当甲、乙两小球到原点的距离相等时 ，t等于.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：⑴、AB=10-（-5）=15，
⑵、设点C表示的数是x，由题得
当点C在线段AB上时：x-(-5)=2(10-x)，
解得：x=5，
当点C在线段AB的延长线上时：x-(-5)=2(x-10)，
解得：x=25，
综上所述点C表示的数是5或25.
【分析】⑴、数轴上两点距离等于两点坐标差的绝对值，所以两点距离等于较大坐标减去较小的坐标；
⑵、由题可知分两类讨论，一种是点C在线段AB上满足条件；另一种是点C在AB的延长线上满足条件；设点C坐标列方程求解即可。
⑶、①路程问题根据路程等于速度乘以时间来表达，且注意乙小球向左碰到挡板前和碰到挡板后两种不同情形的讨论。
②根据题意列方程求解。
23．（2023七上·镇海区期末）一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表：
销售量 单价
不超过100件部分 2.6元/件
超过100件不超过300件部分 2.2元/件
超过300件部分 2元/件
（1）若买100件花 元，买300件花 元；买380件花 元；
（2）小明买这种商品花了568元，列方程求购买这种商品多少件？
（3）若小明花了n元（n＞260），恰好购买0.45n件这种商品，求n的值.
【答案】（1）260；700；860
（2）解：设购买这种商品x件，
因为花费568＜700，所以购买的件数少于300件.
260+2.2（x-100）＝568，
解得：x＝240，
答：购买这种商品240件；
（3）解：①当260＜n≤700时，
260+2.2（0.45n-100）＝n，
解得：n＝4000（不符合题意，舍去）；
②当n＞700时，
700+2（0.45n-300）＝n，
解得：n＝1000，
综上所述：n的值为1000.
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）买100件花：2.6×100＝260（元）
买300件花：2.6×100+2.2×200＝700（元）
买380件花：2.6×100+2.2×200+2×80＝860（元）
故答案为260，700，860；
【分析】（1）根据表格可得不超过100件时单价为2.6元，据此不难求出买100件的费用；根据100件的费用+超过100件的部分即200件的费用可得购买300件的费用；根据100件的费用+超过100件但不超过300件的部分即200件的费用+超过300件的部分即80件的费用可求出购买380件的费用；
（2）设购买这种商品x件，由题意可得购买的件数少于300件，则100×2.6+2.2(x-100)＝568，求解即可；
（3）①当260＜n≤700时，购买的件数超过100件但不超过300件，此时有260+2.2(0.45n-100)＝n，求解即可；②当n＞700时，购买的件数超过300件，此时有700+2(0.45n-300)＝n，求解即可.
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