2.3函数的单调性和最值 同步练习2023——2024学年上学期高一数学北师大版（2019）必修第一册（含解析）

2.3函数的单调性和最值同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中不正确的是（ ）
A． B．
C．， D．，
3．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，则“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．设函数，其中表示x，y，z中的最小者，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．函数，若对任意、（），都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
8．已知函数的定义域为，则“恒成立”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（ ）

A．
B．函数在区间上的最大值为2
C．的解析式可表示为：
D．，不等式的解集为
10．下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数，（），则下列说法正确的有（ ）
A．若函数在上单调递减，则
B．若函数为偶函数，则
C．若函数定义域为，则
D．，，使得，则
12．下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知是上的单调增函数，则实数的取值范围是 .
14．若函数在区间上的最小值为5，则的值为 .
15．定义在上的函数满足，且，，则不等式解集是 .
16．若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值为，最小值为，则 ，的值为 ．
四、解答题
17．已知函数满足，当时，．
(1)求；
(2)若，求a的值；
(3)当时，都有，求a的取值范围．
18．函数是定义在上的增函数．
(1)求的最大值；
(2)解不等式：．
19．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．
(1)求的解析式；
(2)指出的单调区间；
(3)直接写出的值域．
20．已知关于的函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)二次函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
21．设函数．
(1)若在区间上的最大值为，求的取值范围；
(2)存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值.
22．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完.
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意，得到，令，推得在上单调递减，把不等式转化为，结合，得到，即可求解.
【详解】由题意知：，
可得，
且，即，
令，不妨设，可得，则，
即，所以在上单调递减，
则不等式，且，转化为，
因为，所以，则，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
2．C
【分析】取得到，A正确，确定当时，，得到B正确，时，，C错误，设，得到，得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：，取得到，正确；
对选项B：，取得到，
取得到，，，
故，故当时，，
，正确；
对选项C：时，，错误；
对选项D：，，，又，故，
设，，故，，即，
故，正确；
故选：C
3．C
【分析】根据一次函数，反比例函数和二次函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，函数在上为减函数，故A不符合；
对于B，函数在区间上为减函数，故B不符合；
对于C，当时，函数在区间上为增函数，故C符合；
对于D，函数在上单调递减，
在上单调递增，故D不符合.
故选：C.
4．B
【分析】利用函数单调性判断得充分性成立，再举反例说明必要性不成立，从而得解.
【详解】当函数在上为增函数时，
则的最小值为，最大值为，故充分性成立；
当的最小值为，最大值为时，如图，

显然该函数满足条件，但在上不单调，故必要性不成立；
所以“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的充分不必要条件.
故选：B.
5．B
【分析】根据函数定义写出分段函数形式，画出大致图象，即可确定最大值.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
综上，，其大致图象如下，
由图知：的最大值为3.
故选：B
6．C
【分析】根据题意得出函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列不等式组即可得出结果.
【详解】由对任意、（），都有成立，可知在上单调递减，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故选：C.
7．C
【分析】由函数图象确定定义域和值域，单调性判断各项的正误.
【详解】由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
8．B
【分析】函数为上增函数，，反之不成立，即可判断出结论．
【详解】函数为上增函数，，反之不成立，
例如定义在,上，，且在上满足，则有“”，
“”是“函数为增函数”的必要不充分条件．
故选：B．
9．AB
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项判断作答．
【详解】依题意，当时，令，则，
解得，，，
当时，令，则，解得，，，
因此，
对于A，，故A正确；
对于B，函数在上递减，而，
因此函数在区间上的最大值为2，故B正确；
对于C，因为将代入得到的值为，而，故C不正确；
对于D，因为，，所以不存在正实数a，
使不等式的解集为，故D不正确．
故选：AB
10．BD
【分析】根据一次函数和二次函数以及反比例函数的单调性即可判断.
【详解】由题意得在上单调递增，
对A，，根据一次函数性质知为单调减函数，故A错误；
对B，，根据反比例函数性质知在上单调递增，故B正确；
对C，，根据二次函数性质知在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对D，，当时，，则其在上单调递增，故D正确.
故选：BD.
11．BCD
【分析】求出函数，根据二次函数的对称性可判断A；利用偶函数的性质可知判断B；利用二次函数的性质可判断C；选项D等价于，分情况讨论求出在,上的最小值，进而求出的取值范围即可．
【详解】对于A，函数在上单调递减，则，解得，故A不正确；
对于B，若函数为偶函数，则，即，故B正确；
对于C，若函数的定义域为，则，解得，故C正确；
对于D，若,，,，使得，则，
当,时，,，
①若，则当,时，
，即，，
②若，则当,时，
，即，，
综上所述，的取值范围为，故D正确.
故选：BCD．
12．ABC
【分析】根据各选项给定函数的解析式直接判断即得.
【详解】函数，在上都为减函数，AC都是；
当时，，则函数在上为减函数，B是；
函数在上为增函数，D不是.
故选：ABC
13．
【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且时，函数的值不小于函数的值，从而可求得结果.
【详解】因为是上的单调增函数，
所以，解得，
即实数的取值范围是
故答案为：.
14．20
【分析】讨论函数的单调性，利用单调性和最值求解参数.
【详解】当时，不满足题意；
当时，在上单调递减，
所以解得满足条件；
当时，在上单调递增，所以，解得（舍去）.
故答案为：20.
15．
【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性，即可求出不等式的解集.
【详解】令，，，且，都有满足，
即，即，所以在上为减函数，
对于，等价于，所以，所以.
所以不等式解集是.
故答案为：
16． 2023 4046
【分析】根据题意，取特殊点，结合单调性的定义，可得答案.
【详解】∵对于任意的，都有，
∴令，得，
再令，将代入可得，
设，
则，
∴，又，
∴可得，即函数是严格增函数，
∴，，又∵，
∴的值为4046．
故答案为：2023；4046
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用题设条件直接求解即可；
（2）依次利用题设条件得到与，从而得解；
（3）先根据得在上恒成立，再必要性探路减少讨论，从而得到，由此得解.
【详解】（1）因为当时，，
所以.
（2）因为，，所以，
又因为当时，，
所以，故，
所以.
（3）由得，
当时，，，
因为当时，都有，
所以当时，，解得，
又因为，所以在上恒成立，
接着，必要性探路缩小的范围，减少讨论，
由题意知，对，都有，
所以，解得，
则图象的对称轴，
所以当时，在上的最小值为，最大值为，值域为，
所以，解得，则，
又因为，所以.
故的取值范围为.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，总有成立，故；
（2）若，总有成立，故；
（3）若，使得成立，故；
（4）若，使得，故.
18．(1)
(2)
【分析】（1），作差整理可得.进而根据函数的单调性，得出，即可得出答案；
（2）根据已知得出，结合函数的单调性以及定义域可得出.求解不等式，即可得出答案.
【详解】（1），则
.
因为，
所以，，.
又因为在上单调递增，
所以，，，
所以，，
.
因为，，
所以，，
所以，，
即的最大值为.
（2）易知，
则由可得出.
因为在上单调递增，所以.
由可得，.
当时，有，解得，所以；
当时，有，解得或，所以.
综上所述，或.
同理，解，可得或.
所以，由可得，或.
所以，不等式的解集为.
19．(1)
(2)单调增区间为：，；单调减区间为：
(3)
【分析】（1）利用待定系数法结合图象即可求出其解析式；
（2）根据图象即可得到其单调区间；
（3）根据图象即可得到其值域.
【详解】（1）当时，设解析式为，由图象有，解得，
∴，当时，设解析式为．
∵图象过点，∴，解得，∴，
综上，函数在上的解析式为．
（2）由图知单调增区间为：，；单调减区间为：．
（3）由图可知，其值域为．
20．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法直接求解即可；
（2）由题意可得，从而可求出实数的取值范围；
（3）求出抛物线的对称轴，则由题意结合二次函数的性质可得，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，即，
，解得或，
所以不等式的解集为或；
（2）因为对任意的恒成立，
所以即得.
所以实数a的取值范围为；
（3）因为二次函数在区间上单调递增，
又因为对称轴为
所以，得，
所以实数a的取值范围为.
21．(1)；
(2)的最大值是3，此时.
【分析】（1）利用二次函数的性质，确定最大值点列式求解即得.
（2）按，，，分类讨论，借助函数对称轴的情况，探讨函数在上的单调性及最值，使时，得到关于，的不等式组求解即得.
【详解】（1）函数的图象是开口向上的抛物线，
则在区间上的最大值必是和中较大者，而，
于是，即，所以.
（2）由当时，恒成立，得，即，
①当时，如图，

显然函数在区间上单调递增，，，
故，即，而函数在上是增函数，
于是，即有，
因此，此时，；
②当时，如图，

显然函数在区间上单调递减，，，
于是，即，则，由不等式性质得，
即，而当时，，因此不可能成立；
③当时，如图，

于是，，则，即，
必有，即，显然此不等式不成立；
④当时，如图，

于是，，则，即，从而，
因此，即，整理得，解得，
所以的最大值是3，此时.
【点睛】思路点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三个影响因素：开口方向、对称轴位置以及区间，常见的题型有：轴定区间定，轴定区间动，轴动区间定及轴动区间动问题，解决的途径都是讨论对称轴和所给区间的位置关系分类讨论求解.一般情况下要分轴在区间左，轴在区间内和轴在区间右三种情况讨论，在求解过程中注意结合二次函数的图象与性质分析.
22．(1)
(2)， 万元
【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；
（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
综上，.
（2）由（1）知，，
当时，，
因为，所以，当时，，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时，又，
所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
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