2.4函数的奇偶性与简单的幂函数 同步练习（含解析）

2.4函数的奇偶性与简单的幂函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设定义在上的奇函数满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数，的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数对任意的都有，若的图象关于点对称，且，则（ ）
A．0 B． C．3 D．4
4．已知函数是定义在R上的偶函数，且图像关于点中心对称．设，若，（ ）
A．4048 B．－4048 C．2024 D．－2024
5．幂函数 ，当时为减函数，则实数的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
6．已知函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．若幂函数的图象过点，则的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，的定义域为，且．若是偶函数，，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是奇函数，是偶函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
10．已知定义在上的函数，对任意实数，都有，则（ ）
A． B．
C． D．为奇函数
11．定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．
C．在上单调递减 D．若正数满足，则
12．己知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（ ）
A． B．在定义域上单调递减
C．是奇函数 D．若，则不等式的解集为
三、填空题
13．若函数为奇函数，则实数a的值为 ．
14．已知幂函数在上单调递减，则 ．
15．已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为 .
16．已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知是定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围．
18．已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(2)证明：函数在上是减函数；
(3)解关于x的不等式．
19．已知函数（且）是偶函数．
(1)求的值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明．
20．已知函数是奇函数．
(1)求实数的值；
(2)设关于的不等式的解集为．若集合中的整数元素只有两个，求实数的取值范围．
21．已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求在区间上的最大值；
(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
22．已知在定义域上是连续不断的函数，对于区间若存在，使得对任意的，都有，则称在区间上存在最大值.
(1)函数在区间存在最大值，求实数m的取值范围；
(2)若函数为奇函数，在上，，易证对任意，函数在区间上存在最大值M，试写出最大值M关于t的函数关系式；
(3)若对任意，函数在区间上存在最大值M，设最大值M关于t的函数关系式为，求证：“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.
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参考答案：
1．B
【分析】依题意在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，从而得到的取值情况，即可得解.
【详解】因为满足对任意，且，都有，
所以在上单调递减，
又为上的奇函数，所以在上单调递减，且，
又，所以，
所以当时，当时，当时，当时，
所以不等式的解集为.
故选：B
2．C
【分析】利用函数的奇偶性，结合特殊点法与区间正负法，从而得解．
【详解】因为的定义域为，
又，则为奇函数，排除选项A，
而，排除选项B，
当时，，则，排除选项D.
故选：C.
3．B
【分析】由题设易知关于原点对称，将代入条件得，结合奇函数性质得，即，进而推出是周期为16的奇函数，利用周期性、奇函数性质求函数值.
【详解】由的图象关于点对称，则关于原点对称，
故又，，则，
由，则，
所以，故，
所以，即，
则，
综上，是周期为16的奇函数，
所以，而，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据题设得到是周期为16的奇函数为关键.
4．D
【分析】求出函数的周期，然后对所求式分奇偶讨论分别进行计算即可.
【详解】由已知，，
所以，
所以函数的周期为，
又，
所以，
所以，
又，
所以，则，
所以，，
，
，
所以
.
故选：D.
5．A
【分析】根据幂函数的定义求出的值，再根据幂函数的单调性确定的值即可．
【详解】幂函数，
，
解得或；
当时，幂函数为，
且在时为减函数，满足题意；
当时，幂函数为，
且在时为增函数，不合题意；
综上，实数的值为．
故选：A．
6．B
【分析】由偶函数，得，函数在上单调递增，由，得，得，即可求解.
【详解】解：因为函数是定义在区间上的偶函数，
所以，
又函数在上单调递减，即函数在上单调递减，
得函数在上单调递增，
由，得，
得，得，
得，
则则不等式的解集是：.
故选：B.
7．A
【分析】由求出的值，再令，将用含的二次函数表示，结合二次函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】由题意可得，可得，则，
令，可得，则，
令，其中，则，
当且仅当时，等号成立，故函数的值域为.
故选：A.
8．C
【分析】根据是奇函数，得出的对称性，然后得出关于的恒等式，与联立得出的周期性，然后求出一个周期内的各个值即可.
【详解】由是奇函数可知，函数的图象关于点对称，
所以，则，
将其代入，得，所以.
又是偶函数，
所以函数的图象关于直线对称，则．
由，得，所以．
由，得，所以，
则，所以，所以的周期为8．
由，，得，所以，
由，得，，所以，
由，
得，，，，
即，
所以
．
故选：C．
9．BCD
【分析】举反例判断A，根据函数的奇偶性的定义判断BCD.
【详解】是奇函数，是偶函数，
对于A，若，，满足是奇函数，是偶函数，
但是，该二次函数图象关于直线对称，
此时函数不是偶函数，错误；
对于B，，因为，
所以为奇函数，正确；
对于C，，因为，
所以为偶函数，正确；
对于D，，因为，
所以为偶函数，正确；
故选：BCD
10．ABD
【分析】根据题意，令令，可判定A正确；令，可判定B正确；令，求得，再令，可判定C错误；令，求得，
再令，得到，可判定D正确.
【详解】由题意知，定义在上的函数对任意实数，都有，
对于A中，令，得，所以A正确；
对于B中，令，得，则，所以B正确；
对于C中，令，得，
再令，得，
可得，所以C错误.
对于D中，令，得，则，
再令，得，则为奇函数，所以D正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意，，
所以，所以在上单调递增，故选项A正确；
因为的定义域为，所以，
所以为奇函数，所以，由在上单调递增，
所以，故选项B正确；
对于任意，
，
因为，，所以，所以，
所以在上单调递增，故选项C错误；
，即，
又，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，即，故选项D正确.
故选：ABD
12．ACD
【分析】利用赋值法求出，可判断选项A；根据函数单调性的定义可判断选项B；根据函数奇偶性、对称性和图象变换可判断选项C；借助函数的单调性及题中条件可判断选项D.
【详解】对于选项A：定义在区间上的函数满足：对任意均有
令，可得，解得，故选项A正确；
对于选项B：由可得
任取、，且，则.
由于当时，，，所以，即，故在定义域上单调递增，故选项B错误；
对于选项C：令，由可得，即，所以，即函数关于点对称.而的图象可由图象向左平移个单位得到，所以函数关于点对称，则是奇函数，故选项C正确；
对于选项D：因为，所以，则不等式等价于
由在定义域上单调递增，得，解得，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象平移变换、抽象函数的奇偶性和单调性以及抽象不等式的解法.解题关键是：熟练函数奇偶性、对称性知识应用；解答抽象不等式的关键是根据不等式结合函数值情况得到相应不等式，求得结果.
13．5
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】由题意，即，
所以恒成立，所以，即．
故答案为：5.
14．
【分析】直接由幂函数定义即可得解.
【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得满足题意.
故答案为：.
15．
【分析】根据奇函数的定义得为奇函数，根据单调性的定义知在R上单调递增，构造函数，从而为R上的偶函数，且在上单调性递增，原不等式等价于，利用单调性解不等式即可.
【详解】定义在上的函数满足，，
令，可得，所以，
令，得到，即，所以为奇函数，
设，由题意，
所以，
又因为，所以，所以，即，
所以在R上单调递增，
不等式等价于，
令，
因为，
且的定义域为R，所以为R上的偶函数，且在上单调性递增，
由得，所以等价于，
等价于，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：关于抽象函数的单调性和奇偶性的判断常常用定义法解决，对于解抽象函数不等式问题，往往要根据式子结构构造函数，利用函数单调性求解即可.
16．
【分析】代入数据计算，平方得到，再计算得到答案，设，得到 ，变换得到，计算最值得到答案.
【详解】，，故，
.
，即，
设，，在上单调递减，在上单调递增，
故，，
故，故，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，故.
故答案为：；.
17．(1)
(2).
【分析】（1）设，则，得到，再利用函数是定义在上的偶函数求解；
（2）作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】（1）解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以函数在上得解析式为
（2）作出函数的图象，如图所示，

由函数图象可知，在，上单调递减，
要使函数在区间上单调递减，
则需满足，
解得，所以实数的取值范围为.
18．(1)偶函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用奇偶函数的判断方法即可得出结果；
（2）利用证明函数单调性的方法即可得出结果；
（3）利用单调性和奇偶性，将不等式转化成，即可求出结果.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数.
（2）设，且
则
因为，且，所以，，
又，，所以，即，
所以，在上是减函数．
（3）由，得，
又因为是偶函数，所以，得到
又因为，且在上为减函数，
所以，即，即，
解得，或，
所以，不等式的解集是或.
19．(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）利用函数的奇偶性得到恒等式，即可求的值.
（2）运用单调性的证明，设值、作差、化简、比大小、下结论四个步骤进行操作.
【详解】（1）因为为偶函数，
由于定义域为，定义域关于原点对称，
，
则，
所以
（2）由（1）可知，，可判断其在的单调递增，
证明如下：设，且.
则，整理得：
由于为单调递增，且，
则，，
所以，即
所以函数在的单调递增.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，检验，即可求解；
（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，可得，分类讨论当、、、、时对应的解集，结合题意即可求解.
【详解】（1）由题意知，是定义域为R上的奇函数，
则，即，解得，
经检验，符合题意，所以；
（2）由（1）知，，则，
又函数在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，
由，
得，即.
当时，，解得，此时集合A不满足题意；
当时，，
对于方程，
若，则，不等式的解集为，此时集合A不满足题意；
若，则，不等式的解集为，
又集合A有2个整数元素，所以，则，解得；
若，则，不等式的解集为，此时集合A不满足题意；
若，则，不等式的解集为，
又集合A有2个整数元素，所以，则，无解.
综上，实数a的取值范围为.
21．(1)奇函数
(2)为上的减函数；
(3)
【分析】（1）令，求得，再令，从而得，从而证明求解.
（2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值.
（3）根据函数对所有的，恒成立，说明的最大值小于右边，因此先将右边看作的函数，解不等式组，即可得出的取值范围．
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
令，则，所以，
令，则，
所以：对任意恒成立，
所以函数为奇函数.
（2）在上是减函数，证明如下：
任取且，则
，所以，
所以在上为减函数.
当时，单调递减，
所以当时，有最大值为，
因为，所以，
故在区间上的最大值为.
（3）由（2）知在区间上单调递减，
所以，
因为对所有的，恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，即，
解得：或.
故的取值范围为.
22．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对实数m的取值范围进行分类讨论，分析二次函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数m的不等式，综合可得出实数m的取值范围；
（2）根据奇偶性的性质可求得函数的解析式，然后求得方程在时的解，作出函数的图象，即可写出函数的解析式；
（3）利用函数的单调性与最值的关系结合已知条件证得，利用充分条件和必要条件的定义可证得结论成立．
【详解】（1）二次函数的对称轴为直线，
①当时，即当时，
函数在上单调递增，
则ymax＝3m+9，，合乎题意；
②当时，即当时，
函数在上单调递减，
在上单调递增，
若函数存在最大值，必有，
即，解得，此时；
③当时，即当时，
函数在上单调递减，
此时函数在上不存在最大值，不合乎题意．
综上所述，实数m的取值范围是；
（2）∵为奇函数，在上，
∴当时，，
，
作出的图象如图：

当时，可得，
当时，由，得，
∴，
∵函数在区间上存在最大值M，
∴当时，为增函数，
则最大值为，
当时，函数的最大值为，
当时，函数的最大值为，
综上得
（3）证明：若在定义域R上是严格增函数，
则函数在区间上也为增函数，
则也随着t的增大而增大，所以，
故函数在定义域R上是严格增函数；
即“在定义域R上是严格增函数”
“在定义域R上是严格增函数”；
若函数在R上严格单调递增，
任取，则存在，使得，
因为，
则当时，，
且当时，，
则，所以，
因为函数在R上严格单调递增，
所以，即，，
故随着t的增大而增大，故函数在R上严格单调递增．
即“在定义域R上是严格增函数” “在定义域R上是严格增函数”．
综上所述，“在定义域上是严格增函数”的充要条件是“在定义域上是严格增函数”.
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