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第6章 实数
知识结构图
开方
乘方
立方根
平方根
实数
有理数
无理数
互逆运算
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
知识点归纳
一、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根，记作 .
其中正的平方根也叫做算术平方根，记作 .
正数的平方根有___个，它们互为________.
0的平方根、算术平方根都是___.
负数__________________.
2
相反数
0
没有平方根
双重非负性：
a≥0
对点练习1
下列各数有没有平方根？如果有，请指出它们的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由.
196
0.09
(-2)3
(-3)2
±14 14
±0.3 0.3
±3 3
没有
因为(-2)3=-8＜0，而负数没有平方根.
二、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫
做a的立方根，记作 .
正数的立方根是_______，
负数的立方根是________，
0的立方根是_____.
正数
负数
0
注意：
对点练习2
说出下列各数的立方根：
-1
0.512
(-2)3
0
-1
-2
0
0.8
2
三、实数
实数
有理数
无理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
正无理数
负无理数
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
无理数的三种一般情况：
①开不尽方的数；
② 及含 的一些数；
③有一定规律，但不循环的无限小数.
实数与数轴上的点一一对应.
实数
数轴上的点
一一对应
实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内一样.
两个实数也可以像有理数一样比较大小：数轴上右边点所表示的数总比左边点所表示的数大.
实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正实数和零可以进行开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.有理数的运算律和运算法则对于实数同样适用.
对点练习3
1.下列各数：① ；②0；③ ；
④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
⑧0.252252225…(相邻两个5之间依次多一个2).
其中是有理数的有______________，
是无理数的有______________（填序号）.
①②⑤⑦
③④⑥⑧
2.判断：
①每个实数都有倒数.
② 的相反数是 .
③到原点距离为 的点表示的数是 .
④实数和有理数都与数轴上的点一一对应.
⑤ ＜3.14.
⑥两个无理数的和一定是无理数.
×
√
×
×
×
×
易错题辨析
1. 的平方根是_____________.
错解：±4
正解：±2
辨析：造成错解的主要原因是没有理解
算术平方根的概念，应先求 ，即16
的算术平方根，再求结果的平方根.
2.解方程：(x-1)2=36.
错解：(x-1)2=36
x-1=6
x=7
正解：(x-1)2=36
x-1=±6
x=7或x=-5
辨析：本题错解的原因是没有理解平方
根的概念，因为正数的平方根有两个，
所以开平方时有正负两个平方根.
3.若︱x︱= ，则x=__________.
错解：
正解：±
辨析：实数的绝对值的意义与有理数的
绝对值的意义一样，已知一个数的绝对
值，求这个数，通常都有正负两个值，
千万不能漏解.
学习方法总结
1.深刻理解平方根、立方根、无理数和实数的概念与意义，特别是对一些特殊情况的掌握，对于解题很重要，如0的平方根、算术平方根、立方根都是0本身等.
2.掌握对比、类比的学习方法，如平方根与立方根的对比学习，实数与有理数的意义及运算的类比学习等.
典例讲解
例1 已知一个数的平方根是x-1与3x-35，求这个数的立方根.
解：若这个数是正数，
则x-1+3x-35=0，
解得x=9，
∴x-1=8，3x-35=-8，
∴这个数是(±8)2=64；
若这个数是零，
则x-1=0且3x-35=0，
解得x=1且x= ，
x的值互相矛盾，故这种情况应舍去，
∴综上所述，这个数是64，
∴这个数的立方根是 =4.
例2 计算：
-4÷ ＋ ×︱－ ︱－︱ -2︱
解：原式=-4÷2＋(-3)× －(2－ )
=-2－1－2＋
= －5.
解题方法总结
1.解题时注意分类讨论的数学思想方法的运用，如例1，对于平方根，分正数和零两种情况讨论求解.又如，被开方数有正数和零两种情况，关于绝对值的求解问题等.
2.解计算题时，首先要弄清有哪些运算，其次要分清计算顺序，然后再进行计算，计算一定要仔细.
综合小测试
1.9的平方根与-27的立方根的差为（ ）
A.0 B.-6 C.0或-6 D.0或6
2.下列说法：①无理数就是带根号的数；②无理数是无限小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数不能用数轴上的点表示.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
A
3. = __________ .
4.写出一个-2到-3之间的无理数_______.
5.正方形的面积扩大为原来的n倍，则它
的边长是原来的________倍.
6.比较大小：1- _____ -
-1
＜
7.如图，是3×3的网格.
①请画出一个面积为5的正方形；
②这样的正方形你能画出几个？
③这个正方形的边长和周长各是多少？
边长：
2个
周长：
能力拓展
已知 的整数部分是a，小数部分是b，
试求a-b的值.
解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
∴a=3，b= -3，
∴a-b=3 -( -3)=6 - .
课堂小结与作业
本章主要知识点有哪些？
平方根 立方根 实数
本章运用的主要数学思想方法有哪些？
分类讨论思想 数形结合思想
作业：P19 A组复习题 10、11登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第6章 实数 学案
【学习目标】
1.理解平方根、立方根、无理数、实数的概念及性质.
2.掌握平方根、立方根及实数的简单运算.
3.通过本章内容的复习与总结，形成本章的知识体系，提高分析、解决问题的能力.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，培养应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.在本章的学习过程中，用到了哪些重要的数学思想方法，请举例说明.
【合作学习，课内探究】
对点练习1
下列各数有没有平方根？如果有，请指出它们的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由.
196，0.09，，(-2)3，(-3)2，.
对点练习2
说出下列各数的立方根：
0，-1，0.512，，，(-2)3，.
对点练习3
1.下列各数：① ；②0；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧0.252252225…(相邻两个5之间依次多一个2).21世纪教育网版权所有
其中是有理数的有______________，是无理数的有______________（填序号）.
2.判断：
①每个实数都有倒数.
②的相反数是.
③到原点距离为的点表示的数是.
④实数和有理数都与数轴上的点一一对应.
⑤＜3.14.
⑥两个无理数的和一定是无理数.
易错题辨析
1. 的平方根是_____________.
2.解方程：(x-1)2=36.
3.若︱x︱=，则x=__________.
典例讲解
例1 已知一个数的平方根是x-1与3x-35，求这个数的立方根.
例2 计算：-4÷＋×︱－︱－︱-2︱
解题方法总结：
综合小测试
1.9的平方根与-27的立方根的差为 （ ）
A.0 B.-6 C.0或-6 D.0或6
2.下列说法：①无理数就是带根号的数；②无理数是无限小数；③无理数包括正无理数、零、负无理数；④无理数不能用数轴上的点表示.21教育网
其中正确的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. = __________ .
4.写出一个-2到-3之间的无理数_______.
5.正方形的面积扩大为原来的n倍，则它的边长是原来的________倍.
6.比较大小：1-_____ -.
7.如图，是3×3的网格.
①请画出一个面积为5的正方形；
②这样的正方形你能画出几个？
③这个正方形的边长和周长各是多少？
能力拓展
已知的整数部分是a，小数部分是b，试求a-b的值.
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
参考答案
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易错题辨析
1.±2；2. (x-1)2=36，x-1=±6，x=7或x=-5；3.±.
典例讲解
例1 解：若这个数是正数，则x-1+3x-35=0， 解得x=9，∴x-1=8，3x-35=-8，∴这个数是(±8)2=64；若这个数是零，则x-1=0且3x-35=0，解得x=1且x=，x的值互相矛盾，故这种情况应舍去，∴综上所述，这个数是64，∴这个数的立方根是=4.
例2 解：原式=-4÷2＋(-3)×－(2－) =-2－1－2＋=－5.
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能力拓展
解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a=3，b=-3，
∴a-b=3 -(-3)=6 -.
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