自我评价：
18.2.3
正方形
第1课时
正方形的性质
知识要点全练
5.(2023·增城区模拟)如图，点
夯实燕础
E在正方形ABCD外，连接
知识点正方形的性质
AE、BE、DE,过点A作AE
1.(2021·湖南郴州)平行四边形、矩形、菱
的垂线交DE于点F.若AE=AF=4√2，
形、正方形都具有的性质是
()
BF=10,则下列结论：
A.对角线互相平分
①△AFD≌△AEB;②EB⊥ED;③点B到
B.对角线互相垂直
直线AE的距离为3√2；④S△ABF十S△ADr=40.
C.对角线相等
其中正确的结论是
(填写所有正
D.对角线互相垂直平分且相等
确结论的序号)
2.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边
6.(2023·广东)综合与实践
CD,AD上的点，且CE=DF,AE与BF相
主题：制作无盖正方体纸盒
交于点O,则下列结论错误的是
()
素材：一张正方形纸板
A.AE=BF
B.AE⊥BF
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等
C.OA=OE
D.S△OB=S四边形DOF
分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个
角上的小正方形
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖的
正方体纸盒
(第2题图)
(第3题图)
猜想并证明：(1)直接写出纸板上∠ABC
3.(2023·武昌区模拟)如图，正方形ABCD
和纸盒上∠AB1C的大小关系.
中有两个小正方形，若两个小正方形的面
(2)证明(1)中你发现的结论，
积分别为S和S则受的值为
A.1
B.G
C.22
3
D.
4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到
点E,使AE=AC,连接CE,则∠BCE的度
数是
51
八年级数学下册
11.(2023春·鼓楼区期中)已知正方形AB
规律方法全练
捉升能力
CD如图所示，连接其对角线AC,∠BCA
7.(2023春·江北区期末)如图，已知正方形
的平分线CF交AB于点F,过点B作
ABCD中，DA=DE,CF∥AE,则∠ECF
BM⊥CF于点N,交AC于点M,过点C
的度数是
作CP⊥CF,交AD延长线于点P,
A.30
B.35°
(1)求证：CF=CP;
C.409
D.45
(2)若正方形ABCD的边长为4，求
△ACP的面积；
(3)求证：CP-BM=2FN.
(第7题图)
(第8题图)
8.(2023春·汝州期末)如图，在正方形
ABCD中，E、F分别是AB,BC的中点，
CE,DF交于点G,连接AG,下列结论：
①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=
∠CDF;④∠EAG=30°.其中正确的结
论是
A.①②
B.①③
C.①②④
D.①②③
9.(2022秋·千山区期中)如图，正方形
ABCO和正方形DEFO的顶点A,E,O在
同一直线l上，且EF=2√2，AB=6,给出
下列结论：①AE=10,②∠COD=45°，
③△COF的面积为6，④CF=BD=2√I7,
其中正确的是
()
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①
(第9题图)
(第10题图)
10.(2023春·桐柏县期中)如图，在正方形
ABCD中，AB=4,E,F分别为边AB,BC
的中点，连接AF,DE,点G,H分别为
DE,AF的中点，连接GH,则GH的长为
52专题训练（三）勾股定理牵手图形面积与分类思想
AC=AD一CD=5一2=3(m),在Rt△ABC中，由勾股定理
1.D2.C3.B4.D5.1286.47.9或218.解：分两
得：BC=√AB一AC=-3=4(m),即需要将秋千AD
种情况讨论：当△ABC是锐角三角形时，如图①：
往前推送4m,故答案为：4.14.(1解：过点A
北
作AB垂直MN于点B,:∠APQ=30°，
∠AQB=60°，∴.∠BAQ=90°-∠AQB=30
∠PAB=90°-∠APQ=60°，.∠PAQ=
∠PAB-∠QAB=30°，∴.∠QAP=∠QPA,
AQ=PQ=200米，答：火车在Q处时距离居民
①
②
区A的距离是200米.(2)解：过点A作AB垂
直MN于点B,延长QB至点C使BC=QB,
当△ABC是钝角三角形时，如图②.在两个图形中，分别过
∴AB是CQ的垂直平分线，∴AC=AQ=200米，∴受影响路
点B作BD⊥AC于点D,于是两个图形都有：S△e=
1
段为CQ,,AQ=AC,∠AQC=60°，.△AQC为等边三角形，
.QC=AQ=200米，速度：72km/h=20m/s,.时间：200÷
AC.BD=号X5·BD=2,:BD=3,AD
20=10s,答：居民区受影响的时间是10s.
√/AB-BD=√5-3=4.在图①中，CD=AC-AD=
第十八章平行四边形
5-4=1,BC=√BD+CD=√3十1下=√/10.在图②
18.1平行四边形
18.1.1平行四边形的性质
中，CD=AC+AD=5+4=9,BC=√BD十CD=
第1课时平行四边形的边、角性质
√3+9=3√/10.综上，BC的长为√10或3√/10
1.C2.平行四边形3.A4.C5.C6.27.108.证
本章重难点突破
明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=CB,∠A=∠C,在
1.C2.B3.√5一14.解：，四边形ABCD是长方形，
(AD=CB.
∴.∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6,CD=AB=8.由折叠
△ADM与△CBN中，∠A=∠C,.△ADM2△CBN
的性质可知EP=AP,BE=AB=8,∠E=∠A=90°，∠E=
AM-CN.
∠D=∠E,
(SAS),.DM=BN.9.A10.B11.D12.C13.C
∠D.在△ODP和△OEG中，OD=∠OE,
.△ODP≌
14.B15.D16.2017.50°18.解：(1)BE十BF=CD,理
∠DOP=∠EOG,
由如下：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD∥
△OEG..OP=OG,PD=GE.∴.DO+OG=PO+OE,.DG=
BC,AD=BC,·∠ADE=∠CBF,,CF∥AE,:∠AED=
EP.设AP=EP=DG=x,则GE=PD=AD-AP=6-x,
∠AED=∠CFB,
.CG=DC-DG=8-xBG=BE-GE=8-(6-x)=2+x.
∠CFB.在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF,.△ADE2
在Rt△CGB中，由勾股定理，得BC十CG=BG,即62十
BC=AD,
(8-x)=(x+2)2,解得x=4.8,AP=4.8.5.A6.B
△CBF(AAS),.BF=DE,.DE十BE=BF+BE=BD=CD,即
BF+BE=CD;(2)BE一BF=CD,理由如下：，四边形
7.解：1)SA=Se+SA=，X5X2+X5X3目
2
ABCD是平行四边形，'.AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
25
,(2)AD与CD互相垂直，理由如下：：AD=5,CD
∠ADB=∠CBD,∠ADE=∠CBF,:CF∥AE,
,∠AED=∠CFB,在△ADE和△CBF中
/20,AC=5,∴.AD=5,CD=20,AC=25,.AD+CD=
「∠AED=∠CFB,
AC=25..△ADC是直角三角形.AD与CD互相垂直.
∠ADE=∠CBF..△ADE≌△CBF(AAS),.BF=DE.
8.6√29.(3,4)或(2,4)或(8,4)10.16.9
BC=AD.
11.解：连接BD.,CD⊥CP,CP=CD=2,
.BE-DE=BE-BF=BD..'BD=CD..'.BE-BF=CD.
∴.△CPD为等腰直角三角形.'.∠CPD=
19.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,
45°.，'∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠BCD=90,
AD∥BC..∠DAE=∠CFE.在△ADE和△FCE中，
.∠ACP=∠BCD.,CA=CB,·△CAP≌
I∠DAE=∠CFE,
△CBD(SAS)..DB=PA=3.在Rt△CPD
∠DEA=∠CEF,∴.△ADE≌△FCE(AAS).
(2)解：
中，DP2=CP2+CD3=22+22=8.又PB
DE=CE,
1,DB2=9,∴.DB=DP十PB=8十1=9.∴.∠DPB=90°
,△ADE≌△FCE,.AD=FC.又，AD=BC,∴.FC=BC,即
·∠CPB=∠CPD+∠DPB=45+90°=135,12.解：(1)在
BF=2BC.又：'AB=2BC,∴.BF=AB..∠BAF=∠F=36
△ACD中，，AC=36,CD=1,AD=37,.AC+CD=
,∠B=180°一2×36=108°，20，证明：(1)，在口ABCD
AD,.△ACD是直角三角形，且∠C=90°，.BD=5,.BC=
中，AD∥CB,AD=CB,∠DAF=∠BCE,又∠CBE=
5+1=6,在Rt△ACB中，AB=/AC+BC=√62+6=
∠ADF,∴.△ADF≌△CBE(ASA),,AF=CE,∠AFD
∠CEB,AF-EF=CE-EF,即AE=CF.(2)",∠AFD=
62,(2),AC=BC=6,∠C=90°，.∠B=45°，，△BDE
∠CEB,.BE∥DF.21.(1)证明：四边形ABCD是平行四
是直角三角形，分两种情况：①当∠BDE=90时，△BDE是等
边形，'.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD..∠DAE=∠E.'AE平
腰直角三角形，且BD=DE=5,在Rt△BDE中，BE=
分∠BAD,∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠E.BE=AB.
/BD十DE=√/52十52=5W2·.'.AE=AB-BE=6√2
又AB=CD,,BE=CD.(2)解：：AB=BE,∠E=60,
5√2=√2，②当∠BED=90°时，△BDE是等腰直角三角形，设
∴△ABE是等边三角形..AE=AB=4,再由“三线合一”知AF
BE=DE=x,在Rt△BDE中，BE+DE=BD,即x+x2
EF=2.∴.BF=√AB-AF=√-2=23，最后证△ADF≌
5,解得：=士号E,:x>0,=号E.BE=名E
5
△ECF(AAS).SaaD=S6E=z·AE·BF=立X4X
六AE=AB-BE=6厅-号E=子E:综上所述，AE的长为
2√3=43.
或乙瓦.13.解：(1)由题意得：BF=1.6m,BC=3m,
第2深时平行四边形的对角线的性质
1.B2.C3.C4.D5.(1)证明：四边形ABCD为平行
DE=O.6m,BF⊥EF,AE⊥EF,BC⊥AE,四边形BCEF
是矩形，∴.CE=BF=1,6m,.CD=CE-DE=1,6一0.6
四边形，AC=2,BD=4,∴0A=2AC=1,0B=2BD=2.又
1(m),放答案为：1.6,3,1：(2)，BC⊥AC,.∠ACB=90°，
AB=√3，.OA2十AB=OB,.△BAO为直角三角形，且
设秋千的长度为xm,则AB=AD=xm,AC=AD一CD=
∠BAO=90°，∴.AB⊥AC;(2)解：，△BAC为直角三角形，
(x一1)m,在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC+BC=AB,
且∠BAC=90°，∴.BC=AB+AC,AB=5,AC=2,
即(x一1)2十32=x2,解得：x=5(m),即秋千的长度是5m:
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m,.DE=0.6m,∴.CD=
.BC=√/AB十AC=√(V3)2十2=V7,.S平行网造带BD=
CE-DE=2.6-0.6=2(m),由(2)可知，AD=AB=5m,
AB·AC=2V5,.Sg行I老AIrD=AE·BC=7AE=2V3,
·25·
