自我评价：
→18.2特殊的平行四边形
18.2.1矩形
第1课时
矩形的性质
6.(2022秋·浦江县期末)如图，延长矩形
知识要点全练
夯实基础
ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.
知识点1矩形的性质
(1)若∠ADB=40°，求∠E的度数：
1.(2022秋·大同期中)矩形具有而一般平行
(2)若AB=3,CE=5,求AE的长，
四边形不具有的性质是
()
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.(2023·杭州)如图，矩形ABCD中，对角线
AC,BD交于O点.若∠AOB=60°，则
AB:BC=
(
A.2
B.3 1 C.D.3
3
(第2题图)
(第3题图)
(第4题图)】
3.(2023春·江都区月考)如图，P是矩形
ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边
知识点2直角三角形斜边上中线的性质
AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的
7.(2023·兰州)如图，在矩形ABCD中，点E
两条对角线AC和BD的距离之和是()
为BA延长线上一点，点F为CE的中点，以
A.号B.C.
D.I
B为圆心，BF为半径的圆弧经过AD与CE
的交点G,若AB=4,CE=10,则AG=()
4.(2022秋·乳山期中)如图，在矩形ABCD
A.2
B.2.5C.3
D.3.5
中，AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分
线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,则
CE=
)
A.3
B.3.5C.2.8
D.2.5
(第？题图)
(第8题图)
5.(2023·深圳模拟)如图，在矩
8.(2022秋·应城期中)如图，点E是矩形
形ABCD中，作BD的垂直平
ABCD的边AD上一点，点F,G,H分别是
分线分别与AD、BC交于点M、
BE,BC,CE的中点，若GH=4,则
N,连接BM、DN.若BM=5,
AF=
NC=3.则矩形ABCD的周长为
39
八年级数学下册
桑规律方法全纸
BN,P是线段CE上的动点，连接PM,
捉升能力
PN,若PM+PN=4,则线段PC的长为
9.(2023春·宝安区期末)如图，长方形纸片
ABCD,E为CD边上一点，将纸片沿BE
折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折
叠，点D落在点D'处，且D恰好在线段
B
BE上.若∠AEC=a,则∠CEB=()
(第13題图)
(第14题图)
A.60°-2
14.(2023春·西安期末)如图，矩形ABCD
9
B60-30
中，AB=8,AD=4,E为AB的中点，F为
C.60°+0
D.60+
3a
EC上一动点，P为DF中点，连接PB,则
PB的最小值是
15.(2023春·重庆期中)如图，在平面直角坐
标系中，点A和点C的坐标分别为(8,0)
和(0,12)，四边形OABC是长方形，点P
(第9题图)
(第10题图)
(第11题图)
10.(2022秋·乳山期中)如图，矩形ABCD
从点B出发，以每秒4个单位长度的速度
的顶点B在矩形AEFC的边EF上，矩形
沿着长方形BCOA移动一周（即沿着B→
C→O→A→B的路线移动).
ABCD的周长为10，对角线AC为√13，
(1)点B的坐标为
则图中阴影部分的面积为
()
(2)当点P移动8秒时，求出点P的坐标；
A.6B.5
C.3
D.10
(3)在移动过程中，当点P到x轴的距离
11.(2023·内蒙古赤峰)如图，在Rt△ABC中，
为8个单位，求点P的移动时间
∠ACB=90°，AB=10,BC=6,点F是AB的
中点，连接CF,把线段CF沿射线BC方向平
移到DE,点D在AC上，则线段CF在平移过
程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和
面积分别是
A.16,6
B.18,18
C.16,12
D.12,16
12.(2023·山东滨州)如图，矩
形ABCD的对角线AC,
BD相交于点O,点E,F分
别是线段OB,OA上一点，若AE=BF,
AB=5,AF=1,BE=3,则BF的长为
13.(2023·陕西)如图，矩形ABCD中，AB
3,BC=4,点E在边AD上，且ED=3,
M,N分别是边AB,BC上的动点，且BM=
40专题训练（三）勾股定理牵手图形面积与分类思想
AC=AD一CD=5一2=3(m),在Rt△ABC中，由勾股定理
1.D2.C3.B4.D5.1286.47.9或218.解：分两
得：BC=√AB一AC=-3=4(m),即需要将秋千AD
种情况讨论：当△ABC是锐角三角形时，如图①：
往前推送4m,故答案为：4.14.(1解：过点A
北
作AB垂直MN于点B,:∠APQ=30°，
∠AQB=60°，∴.∠BAQ=90°-∠AQB=30
∠PAB=90°-∠APQ=60°，.∠PAQ=
∠PAB-∠QAB=30°，∴.∠QAP=∠QPA,
AQ=PQ=200米，答：火车在Q处时距离居民
①
②
区A的距离是200米.(2)解：过点A作AB垂
直MN于点B,延长QB至点C使BC=QB,
当△ABC是钝角三角形时，如图②.在两个图形中，分别过
∴AB是CQ的垂直平分线，∴AC=AQ=200米，∴受影响路
点B作BD⊥AC于点D,于是两个图形都有：S△e=
1
段为CQ,,AQ=AC,∠AQC=60°，.△AQC为等边三角形，
.QC=AQ=200米，速度：72km/h=20m/s,.时间：200÷
AC.BD=号X5·BD=2,:BD=3,AD
20=10s,答：居民区受影响的时间是10s.
√/AB-BD=√5-3=4.在图①中，CD=AC-AD=
第十八章平行四边形
5-4=1,BC=√BD+CD=√3十1下=√/10.在图②
18.1平行四边形
18.1.1平行四边形的性质
中，CD=AC+AD=5+4=9,BC=√BD十CD=
第1课时平行四边形的边、角性质
√3+9=3√/10.综上，BC的长为√10或3√/10
1.C2.平行四边形3.A4.C5.C6.27.108.证
本章重难点突破
明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=CB,∠A=∠C,在
1.C2.B3.√5一14.解：，四边形ABCD是长方形，
(AD=CB.
∴.∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6,CD=AB=8.由折叠
△ADM与△CBN中，∠A=∠C,.△ADM2△CBN
的性质可知EP=AP,BE=AB=8,∠E=∠A=90°，∠E=
AM-CN.
∠D=∠E,
(SAS),.DM=BN.9.A10.B11.D12.C13.C
∠D.在△ODP和△OEG中，OD=∠OE,
.△ODP≌
14.B15.D16.2017.50°18.解：(1)BE十BF=CD,理
∠DOP=∠EOG,
由如下：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD∥
△OEG..OP=OG,PD=GE.∴.DO+OG=PO+OE,.DG=
BC,AD=BC,·∠ADE=∠CBF,,CF∥AE,:∠AED=
EP.设AP=EP=DG=x,则GE=PD=AD-AP=6-x,
∠AED=∠CFB,
.CG=DC-DG=8-xBG=BE-GE=8-(6-x)=2+x.
∠CFB.在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF,.△ADE2
在Rt△CGB中，由勾股定理，得BC十CG=BG,即62十
BC=AD,
(8-x)=(x+2)2,解得x=4.8,AP=4.8.5.A6.B
△CBF(AAS),.BF=DE,.DE十BE=BF+BE=BD=CD,即
BF+BE=CD;(2)BE一BF=CD,理由如下：，四边形
7.解：1)SA=Se+SA=，X5X2+X5X3目
2
ABCD是平行四边形，'.AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
25
,(2)AD与CD互相垂直，理由如下：：AD=5,CD
∠ADB=∠CBD,∠ADE=∠CBF,:CF∥AE,
,∠AED=∠CFB,在△ADE和△CBF中
/20,AC=5,∴.AD=5,CD=20,AC=25,.AD+CD=
「∠AED=∠CFB,
AC=25..△ADC是直角三角形.AD与CD互相垂直.
∠ADE=∠CBF..△ADE≌△CBF(AAS),.BF=DE.
8.6√29.(3,4)或(2,4)或(8,4)10.16.9
BC=AD.
11.解：连接BD.,CD⊥CP,CP=CD=2,
.BE-DE=BE-BF=BD..'BD=CD..'.BE-BF=CD.
∴.△CPD为等腰直角三角形.'.∠CPD=
19.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,
45°.，'∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠BCD=90,
AD∥BC..∠DAE=∠CFE.在△ADE和△FCE中，
.∠ACP=∠BCD.,CA=CB,·△CAP≌
I∠DAE=∠CFE,
△CBD(SAS)..DB=PA=3.在Rt△CPD
∠DEA=∠CEF,∴.△ADE≌△FCE(AAS).
(2)解：
中，DP2=CP2+CD3=22+22=8.又PB
DE=CE,
1,DB2=9,∴.DB=DP十PB=8十1=9.∴.∠DPB=90°
,△ADE≌△FCE,.AD=FC.又，AD=BC,∴.FC=BC,即
·∠CPB=∠CPD+∠DPB=45+90°=135,12.解：(1)在
BF=2BC.又：'AB=2BC,∴.BF=AB..∠BAF=∠F=36
△ACD中，，AC=36,CD=1,AD=37,.AC+CD=
,∠B=180°一2×36=108°，20，证明：(1)，在口ABCD
AD,.△ACD是直角三角形，且∠C=90°，.BD=5,.BC=
中，AD∥CB,AD=CB,∠DAF=∠BCE,又∠CBE=
5+1=6,在Rt△ACB中，AB=/AC+BC=√62+6=
∠ADF,∴.△ADF≌△CBE(ASA),,AF=CE,∠AFD
∠CEB,AF-EF=CE-EF,即AE=CF.(2)",∠AFD=
62,(2),AC=BC=6,∠C=90°，.∠B=45°，，△BDE
∠CEB,.BE∥DF.21.(1)证明：四边形ABCD是平行四
是直角三角形，分两种情况：①当∠BDE=90时，△BDE是等
边形，'.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD..∠DAE=∠E.'AE平
腰直角三角形，且BD=DE=5,在Rt△BDE中，BE=
分∠BAD,∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠E.BE=AB.
/BD十DE=√/52十52=5W2·.'.AE=AB-BE=6√2
又AB=CD,,BE=CD.(2)解：：AB=BE,∠E=60,
5√2=√2，②当∠BED=90°时，△BDE是等腰直角三角形，设
∴△ABE是等边三角形..AE=AB=4,再由“三线合一”知AF
BE=DE=x,在Rt△BDE中，BE+DE=BD,即x+x2
EF=2.∴.BF=√AB-AF=√-2=23，最后证△ADF≌
5,解得：=士号E,:x>0,=号E.BE=名E
5
△ECF(AAS).SaaD=S6E=z·AE·BF=立X4X
六AE=AB-BE=6厅-号E=子E:综上所述，AE的长为
2√3=43.
或乙瓦.13.解：(1)由题意得：BF=1.6m,BC=3m,
第2深时平行四边形的对角线的性质
1.B2.C3.C4.D5.(1)证明：四边形ABCD为平行
DE=O.6m,BF⊥EF,AE⊥EF,BC⊥AE,四边形BCEF
是矩形，∴.CE=BF=1,6m,.CD=CE-DE=1,6一0.6
四边形，AC=2,BD=4,∴0A=2AC=1,0B=2BD=2.又
1(m),放答案为：1.6,3,1：(2)，BC⊥AC,.∠ACB=90°，
AB=√3，.OA2十AB=OB,.△BAO为直角三角形，且
设秋千的长度为xm,则AB=AD=xm,AC=AD一CD=
∠BAO=90°，∴.AB⊥AC;(2)解：，△BAC为直角三角形，
(x一1)m,在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC+BC=AB,
且∠BAC=90°，∴.BC=AB+AC,AB=5,AC=2,
即(x一1)2十32=x2,解得：x=5(m),即秋千的长度是5m:
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m,.DE=0.6m,∴.CD=
.BC=√/AB十AC=√(V3)2十2=V7,.S平行网造带BD=
CE-DE=2.6-0.6=2(m),由(2)可知，AD=AB=5m,
AB·AC=2V5,.Sg行I老AIrD=AE·BC=7AE=2V3,
·25·
