自我评价：
本章重难点突破
考点1平行四边形的性质与判定
1.(2023春·庐江县期中)在□ABCD中，已
知∠A十∠C=160°，则∠A=
()
A.40°B.60°C.80°D.100
2.(2023春·富阳区期中)如图，在平行四边
形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点
E,∠BCD的平分线交AD于点F,若
AB=6,AD=8,则EF的长是
()
A.2
B.4
C.5
D.6
(第2题图)
(第3题图》
3.(2023·双桥区模拟)如图，在□ABCD中，
考点2三角形的中位线
BD为对角线，下列结论正确的是()
7.(2023春·西城区月考)如
A.∠a=∠3
B.∠a十∠3=∠Y
图，△ABC中，AD是角平
C.∠a+∠3>∠YD.∠a+∠B∠Y
分线，AE是中线，CP⊥AD
于P,AB=6,AC=4,则PE的长为
4.(2023春·张北县期中)在平行四边形
8.(1)如图①，在四边形ABCD中，F,E分别
ABCD中，AB=5cm,已知对角线AC、BD
是BC,AD的中点，连接FE并延长，分
相交于O,且AC=6cm,BD=8cm,则平
别与BA,CD的延长线相交于点M,N,
行四边形ABCD的面积为
()
若∠BME=∠CNE,求证：AB=CD;
A.15 cm2 B.24 cm2 C.48 cm2 D.20 cm2
(2)如图②，在△ABC中，O是BC边的中
5.(2021·天津)如图，
点，D是AC边上一点，E是AD的中
□ABCD的顶点C在等
点，直线OE交BA的延长线于点G.若
边△BEF的边BF上，点
AB=DC=5,∠OEC=60°，求OE的
E在AB的延长线上，G为DE的中点，连
长度
接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的
长为
6.如图，点B,E分别在AC,DF上，AF分别交
BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2，
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
②
(2)已知DE=3,连接BN,若BN平分
∠DBC,求CN的长.
59
八年级数学下册
DE∥AC,且DE=2AC,连接CE.
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若DB=6,AC=8,求菱形ABCD的面积.
考点3特殊平行四边形的性质与判定
9.(2023春·大冶期中)如图，∠MOV=90°，矩
形ABCD在∠MON的内部，顶点A,B分别
在射线OM,ON上，AB=4,BC=2,则点D到
点O的最大距离是
()
13.(2023·鼓楼区模拟)如图，在四边形
A.2√2+2
B.2V2-2
ABCD中，AB=AD,BC=CD.点O是四
边形ABCD内一点，且满足∠BOD=
C.2W5-2
D.√2十2
M
2∠C,OA=OB=OD.求证：
(1)∠BAD=∠C;
(2)四边形ABCD是菱形.
B
(第9题图)
(第10题图)
10.如图，正方形ABCD的边长为4，G是对
角线BD上一动点，GE⊥CD于点E,
GF⊥BC于点F,连接EF,给出四种情
况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF
②
是正方形；②若G为BD上任意一点，则
AG=EF;③点G在运动过程中，GE十GF
的值为定值4；④点G在运动过程中，线
段EF的最小值为2√2.正确的有()
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.①③④
11.(2023春·南京期中)如图，A
在正方形ABCD中，AB=2,
E、F分别为AD、CD的中点，
连接AF、BE,M、N分别为BE、AF的中
点，连接MN.则MN的长为
12.(2023·长沙模拟)如图，菱形ABCD的对
角线AC、BD相交于点O,过点D作
60专题训练（三）勾股定理牵手图形面积与分类思想
AC=AD一CD=5一2=3(m),在Rt△ABC中，由勾股定理
1.D2.C3.B4.D5.1286.47.9或218.解：分两
得：BC=√AB一AC=-3=4(m),即需要将秋千AD
种情况讨论：当△ABC是锐角三角形时，如图①：
往前推送4m,故答案为：4.14.(1解：过点A
北
作AB垂直MN于点B,:∠APQ=30°，
∠AQB=60°，∴.∠BAQ=90°-∠AQB=30
∠PAB=90°-∠APQ=60°，.∠PAQ=
∠PAB-∠QAB=30°，∴.∠QAP=∠QPA,
AQ=PQ=200米，答：火车在Q处时距离居民
①
②
区A的距离是200米.(2)解：过点A作AB垂
直MN于点B,延长QB至点C使BC=QB,
当△ABC是钝角三角形时，如图②.在两个图形中，分别过
∴AB是CQ的垂直平分线，∴AC=AQ=200米，∴受影响路
点B作BD⊥AC于点D,于是两个图形都有：S△e=
1
段为CQ,,AQ=AC,∠AQC=60°，.△AQC为等边三角形，
.QC=AQ=200米，速度：72km/h=20m/s,.时间：200÷
AC.BD=号X5·BD=2,:BD=3,AD
20=10s,答：居民区受影响的时间是10s.
√/AB-BD=√5-3=4.在图①中，CD=AC-AD=
第十八章平行四边形
5-4=1,BC=√BD+CD=√3十1下=√/10.在图②
18.1平行四边形
18.1.1平行四边形的性质
中，CD=AC+AD=5+4=9,BC=√BD十CD=
第1课时平行四边形的边、角性质
√3+9=3√/10.综上，BC的长为√10或3√/10
1.C2.平行四边形3.A4.C5.C6.27.108.证
本章重难点突破
明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=CB,∠A=∠C,在
1.C2.B3.√5一14.解：，四边形ABCD是长方形，
(AD=CB.
∴.∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6,CD=AB=8.由折叠
△ADM与△CBN中，∠A=∠C,.△ADM2△CBN
的性质可知EP=AP,BE=AB=8,∠E=∠A=90°，∠E=
AM-CN.
∠D=∠E,
(SAS),.DM=BN.9.A10.B11.D12.C13.C
∠D.在△ODP和△OEG中，OD=∠OE,
.△ODP≌
14.B15.D16.2017.50°18.解：(1)BE十BF=CD,理
∠DOP=∠EOG,
由如下：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD∥
△OEG..OP=OG,PD=GE.∴.DO+OG=PO+OE,.DG=
BC,AD=BC,·∠ADE=∠CBF,,CF∥AE,:∠AED=
EP.设AP=EP=DG=x,则GE=PD=AD-AP=6-x,
∠AED=∠CFB,
.CG=DC-DG=8-xBG=BE-GE=8-(6-x)=2+x.
∠CFB.在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF,.△ADE2
在Rt△CGB中，由勾股定理，得BC十CG=BG,即62十
BC=AD,
(8-x)=(x+2)2,解得x=4.8,AP=4.8.5.A6.B
△CBF(AAS),.BF=DE,.DE十BE=BF+BE=BD=CD,即
BF+BE=CD;(2)BE一BF=CD,理由如下：，四边形
7.解：1)SA=Se+SA=，X5X2+X5X3目
2
ABCD是平行四边形，'.AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
25
,(2)AD与CD互相垂直，理由如下：：AD=5,CD
∠ADB=∠CBD,∠ADE=∠CBF,:CF∥AE,
,∠AED=∠CFB,在△ADE和△CBF中
/20,AC=5,∴.AD=5,CD=20,AC=25,.AD+CD=
「∠AED=∠CFB,
AC=25..△ADC是直角三角形.AD与CD互相垂直.
∠ADE=∠CBF..△ADE≌△CBF(AAS),.BF=DE.
8.6√29.(3,4)或(2,4)或(8,4)10.16.9
BC=AD.
11.解：连接BD.,CD⊥CP,CP=CD=2,
.BE-DE=BE-BF=BD..'BD=CD..'.BE-BF=CD.
∴.△CPD为等腰直角三角形.'.∠CPD=
19.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,
45°.，'∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠BCD=90,
AD∥BC..∠DAE=∠CFE.在△ADE和△FCE中，
.∠ACP=∠BCD.,CA=CB,·△CAP≌
I∠DAE=∠CFE,
△CBD(SAS)..DB=PA=3.在Rt△CPD
∠DEA=∠CEF,∴.△ADE≌△FCE(AAS).
(2)解：
中，DP2=CP2+CD3=22+22=8.又PB
DE=CE,
1,DB2=9,∴.DB=DP十PB=8十1=9.∴.∠DPB=90°
,△ADE≌△FCE,.AD=FC.又，AD=BC,∴.FC=BC,即
·∠CPB=∠CPD+∠DPB=45+90°=135,12.解：(1)在
BF=2BC.又：'AB=2BC,∴.BF=AB..∠BAF=∠F=36
△ACD中，，AC=36,CD=1,AD=37,.AC+CD=
,∠B=180°一2×36=108°，20，证明：(1)，在口ABCD
AD,.△ACD是直角三角形，且∠C=90°，.BD=5,.BC=
中，AD∥CB,AD=CB,∠DAF=∠BCE,又∠CBE=
5+1=6,在Rt△ACB中，AB=/AC+BC=√62+6=
∠ADF,∴.△ADF≌△CBE(ASA),,AF=CE,∠AFD
∠CEB,AF-EF=CE-EF,即AE=CF.(2)",∠AFD=
62,(2),AC=BC=6,∠C=90°，.∠B=45°，，△BDE
∠CEB,.BE∥DF.21.(1)证明：四边形ABCD是平行四
是直角三角形，分两种情况：①当∠BDE=90时，△BDE是等
边形，'.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD..∠DAE=∠E.'AE平
腰直角三角形，且BD=DE=5,在Rt△BDE中，BE=
分∠BAD,∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠E.BE=AB.
/BD十DE=√/52十52=5W2·.'.AE=AB-BE=6√2
又AB=CD,,BE=CD.(2)解：：AB=BE,∠E=60,
5√2=√2，②当∠BED=90°时，△BDE是等腰直角三角形，设
∴△ABE是等边三角形..AE=AB=4,再由“三线合一”知AF
BE=DE=x,在Rt△BDE中，BE+DE=BD,即x+x2
EF=2.∴.BF=√AB-AF=√-2=23，最后证△ADF≌
5,解得：=士号E,:x>0,=号E.BE=名E
5
△ECF(AAS).SaaD=S6E=z·AE·BF=立X4X
六AE=AB-BE=6厅-号E=子E:综上所述，AE的长为
2√3=43.
或乙瓦.13.解：(1)由题意得：BF=1.6m,BC=3m,
第2深时平行四边形的对角线的性质
1.B2.C3.C4.D5.(1)证明：四边形ABCD为平行
DE=O.6m,BF⊥EF,AE⊥EF,BC⊥AE,四边形BCEF
是矩形，∴.CE=BF=1,6m,.CD=CE-DE=1,6一0.6
四边形，AC=2,BD=4,∴0A=2AC=1,0B=2BD=2.又
1(m),放答案为：1.6,3,1：(2)，BC⊥AC,.∠ACB=90°，
AB=√3，.OA2十AB=OB,.△BAO为直角三角形，且
设秋千的长度为xm,则AB=AD=xm,AC=AD一CD=
∠BAO=90°，∴.AB⊥AC;(2)解：，△BAC为直角三角形，
(x一1)m,在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC+BC=AB,
且∠BAC=90°，∴.BC=AB+AC,AB=5,AC=2,
即(x一1)2十32=x2,解得：x=5(m),即秋千的长度是5m:
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m,.DE=0.6m,∴.CD=
.BC=√/AB十AC=√(V3)2十2=V7,.S平行网造带BD=
CE-DE=2.6-0.6=2(m),由(2)可知，AD=AB=5m,
AB·AC=2V5,.Sg行I老AIrD=AE·BC=7AE=2V3,
·25·
