自我评价：
18.2.2菱形
第1课时
菱形的性质
7.(2023春·丹东期末)如图，菱形ABCD的
知识要点全练
夯实燕础
顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A
知识点1
菱形的性质
的坐标为（一4,1），点C的坐标为(0,1)，则
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于
点D的坐标为
点O,下列结论中不一定成立的是
()
A.AB∥DC
B.AC-BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
i(x
(第7题图)
(第8题图)
8.(2023春·毕节期末)如图，菱形ABCD的
周长是16，∠ABC=60°，则对角线AC的
(第1题图)
(第2題图)
(第3题图)
长是
2.(2023春·贵阳期末)如图，菱形ABCD中，
9.(2023·甘肃金昌)如图，
若∠C=100°，则∠ABD的度数是
()
菱形ABCD中，∠DAB=
A.10°B.40°C.50°D.80
60°，BF⊥AB,DE⊥CD
3.(2022秋·孟县期中)如图，在菱形ABCD
垂足分别为B,D,若AB=6cm,则EF=
中，若∠A=∠B十40°，则∠B的度数为()
cm.
A.110°B.70°C.55°D.35°
知识点2
菱形的面积
4.(2022秋·恩平期中)已知菱形ABCD中，
10.(2023春·河南期末)已知在菱形ABCD
对角线AC与BD交于点O,∠BAD=
中，AB=10,BD=16,则菱形ABCD的面
120°，AC=4,则该菱形的周长是(
积为
()
A.16√3
B.16
A.160
B.80
C.83
D.8
C.40
D.96
5.(2022秋·沿河县期中)如图，菱形ABCD
的边AB的垂直平分线交AB于点E,交
AC于点F,连接DF.当∠CDA=80°时，
(第10题图)
(第11题图)
∠CDF=
11.(2023·信阳模拟)如图，点O为菱形AB
CD的对角线AC,BD的交点，过点C作
CE⊥AB于点E,连接OE,若OD=3,
A.15°
B.30°C.40°
D.50°
OE=2,则菱形ABCD的面积为()
A.6
B.12
6.(2023·滕州模拟)菱形的周长是24，两邻
C.18
D.24
角比为1：2，较长的对角线长为
45
八年级数学下册
现律方法全练
OF的长为
(
升能力
A.5
B.2√5C.3√3D.6
12.(2023·河北)如图，直线
17.(2023春·阿城区期末)已知，菱形ABCD
l1∥l2,菱形ABCD和等边
中，∠BAD=60°，对角线AC、BD相交于
△EFG在I1,l2之间，点
点O,点E在菱形ABCD的边上，且与顶
A,F分别在l1,2上，点B,D,E,G在同
点不重合，若OE=OB,则∠EOA的度数
一直线上，若∠a=50°，∠ADE=146°，则
为
∠B=
18.(2023春·汝阳县期末)如
A.42°B.43°C.44°D.459
图，菱形ABCD的边长为
13.(2023·郸城县模拟)如图，点O为菱形
4,E、F分别是AB、AD上
ABCD的对角线AC,BD的交点，点M,N分
的点，连接CE、CF、EF,AC与EF相交于
别为边AB,BC的中点，连接MN,若MN=
点G,若BE=AF=1,∠BAD=120°，则
2,BD=4√3，则菱形的周长为
EF的长为
A.8√3B.12
C.12√3D.16
19.(2023春·东港期末)如图，菱形ABCD
的对角线AC与BD交于点O,DE⊥AB
于点E,交AC于点P,BF⊥DC于点F,
(1)四边形DEBF是
(第13题图)
(第14题图)
(2)若BE=2,BF=4,求DP的长.
14.(2023春·徐州月考)如图，已知E是菱
形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=
∠B=80°，那么∠CDE的度数为()
A.35°B.30°C.25°D.209
15.(2023·济南模拟)如图，在菱形ABCD
中，AC、BD交于O点，AC=8,BD=6,点
P为线段AC上的一个动点.过点P分别
作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点
N,则PM+PN的值为
()
A.B.
C.4D.号
(第15题图】
(第16题图》
20.(2023春·青岛月考)如图，在菱形ABCD
16.(2023春·方城县期末)如图，菱形ABCD
中，M为CD的中点，AM的延长线与BC
的对角线AC,BD相交于点O,点E在
的延长线交于点E,F为DC延长线上一
OB上，连接AE,点F为CD的中点，连接
点，且CF=CD
OF,若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段
(1)求证：△CME≌△DMA:
46专题训练（三）勾股定理牵手图形面积与分类思想
AC=AD一CD=5一2=3(m),在Rt△ABC中，由勾股定理
1.D2.C3.B4.D5.1286.47.9或218.解：分两
得：BC=√AB一AC=-3=4(m),即需要将秋千AD
种情况讨论：当△ABC是锐角三角形时，如图①：
往前推送4m,故答案为：4.14.(1解：过点A
北
作AB垂直MN于点B,:∠APQ=30°，
∠AQB=60°，∴.∠BAQ=90°-∠AQB=30
∠PAB=90°-∠APQ=60°，.∠PAQ=
∠PAB-∠QAB=30°，∴.∠QAP=∠QPA,
AQ=PQ=200米，答：火车在Q处时距离居民
①
②
区A的距离是200米.(2)解：过点A作AB垂
直MN于点B,延长QB至点C使BC=QB,
当△ABC是钝角三角形时，如图②.在两个图形中，分别过
∴AB是CQ的垂直平分线，∴AC=AQ=200米，∴受影响路
点B作BD⊥AC于点D,于是两个图形都有：S△e=
1
段为CQ,,AQ=AC,∠AQC=60°，.△AQC为等边三角形，
.QC=AQ=200米，速度：72km/h=20m/s,.时间：200÷
AC.BD=号X5·BD=2,:BD=3,AD
20=10s,答：居民区受影响的时间是10s.
√/AB-BD=√5-3=4.在图①中，CD=AC-AD=
第十八章平行四边形
5-4=1,BC=√BD+CD=√3十1下=√/10.在图②
18.1平行四边形
18.1.1平行四边形的性质
中，CD=AC+AD=5+4=9,BC=√BD十CD=
第1课时平行四边形的边、角性质
√3+9=3√/10.综上，BC的长为√10或3√/10
1.C2.平行四边形3.A4.C5.C6.27.108.证
本章重难点突破
明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=CB,∠A=∠C,在
1.C2.B3.√5一14.解：，四边形ABCD是长方形，
(AD=CB.
∴.∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6,CD=AB=8.由折叠
△ADM与△CBN中，∠A=∠C,.△ADM2△CBN
的性质可知EP=AP,BE=AB=8,∠E=∠A=90°，∠E=
AM-CN.
∠D=∠E,
(SAS),.DM=BN.9.A10.B11.D12.C13.C
∠D.在△ODP和△OEG中，OD=∠OE,
.△ODP≌
14.B15.D16.2017.50°18.解：(1)BE十BF=CD,理
∠DOP=∠EOG,
由如下：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD∥
△OEG..OP=OG,PD=GE.∴.DO+OG=PO+OE,.DG=
BC,AD=BC,·∠ADE=∠CBF,,CF∥AE,:∠AED=
EP.设AP=EP=DG=x,则GE=PD=AD-AP=6-x,
∠AED=∠CFB,
.CG=DC-DG=8-xBG=BE-GE=8-(6-x)=2+x.
∠CFB.在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBF,.△ADE2
在Rt△CGB中，由勾股定理，得BC十CG=BG,即62十
BC=AD,
(8-x)=(x+2)2,解得x=4.8,AP=4.8.5.A6.B
△CBF(AAS),.BF=DE,.DE十BE=BF+BE=BD=CD,即
BF+BE=CD;(2)BE一BF=CD,理由如下：，四边形
7.解：1)SA=Se+SA=，X5X2+X5X3目
2
ABCD是平行四边形，'.AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
25
,(2)AD与CD互相垂直，理由如下：：AD=5,CD
∠ADB=∠CBD,∠ADE=∠CBF,:CF∥AE,
,∠AED=∠CFB,在△ADE和△CBF中
/20,AC=5,∴.AD=5,CD=20,AC=25,.AD+CD=
「∠AED=∠CFB,
AC=25..△ADC是直角三角形.AD与CD互相垂直.
∠ADE=∠CBF..△ADE≌△CBF(AAS),.BF=DE.
8.6√29.(3,4)或(2,4)或(8,4)10.16.9
BC=AD.
11.解：连接BD.,CD⊥CP,CP=CD=2,
.BE-DE=BE-BF=BD..'BD=CD..'.BE-BF=CD.
∴.△CPD为等腰直角三角形.'.∠CPD=
19.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,
45°.，'∠ACP+∠BCP=∠BCP+∠BCD=90,
AD∥BC..∠DAE=∠CFE.在△ADE和△FCE中，
.∠ACP=∠BCD.,CA=CB,·△CAP≌
I∠DAE=∠CFE,
△CBD(SAS)..DB=PA=3.在Rt△CPD
∠DEA=∠CEF,∴.△ADE≌△FCE(AAS).
(2)解：
中，DP2=CP2+CD3=22+22=8.又PB
DE=CE,
1,DB2=9,∴.DB=DP十PB=8十1=9.∴.∠DPB=90°
,△ADE≌△FCE,.AD=FC.又，AD=BC,∴.FC=BC,即
·∠CPB=∠CPD+∠DPB=45+90°=135,12.解：(1)在
BF=2BC.又：'AB=2BC,∴.BF=AB..∠BAF=∠F=36
△ACD中，，AC=36,CD=1,AD=37,.AC+CD=
,∠B=180°一2×36=108°，20，证明：(1)，在口ABCD
AD,.△ACD是直角三角形，且∠C=90°，.BD=5,.BC=
中，AD∥CB,AD=CB,∠DAF=∠BCE,又∠CBE=
5+1=6,在Rt△ACB中，AB=/AC+BC=√62+6=
∠ADF,∴.△ADF≌△CBE(ASA),,AF=CE,∠AFD
∠CEB,AF-EF=CE-EF,即AE=CF.(2)",∠AFD=
62,(2),AC=BC=6,∠C=90°，.∠B=45°，，△BDE
∠CEB,.BE∥DF.21.(1)证明：四边形ABCD是平行四
是直角三角形，分两种情况：①当∠BDE=90时，△BDE是等
边形，'.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD..∠DAE=∠E.'AE平
腰直角三角形，且BD=DE=5,在Rt△BDE中，BE=
分∠BAD,∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠E.BE=AB.
/BD十DE=√/52十52=5W2·.'.AE=AB-BE=6√2
又AB=CD,,BE=CD.(2)解：：AB=BE,∠E=60,
5√2=√2，②当∠BED=90°时，△BDE是等腰直角三角形，设
∴△ABE是等边三角形..AE=AB=4,再由“三线合一”知AF
BE=DE=x,在Rt△BDE中，BE+DE=BD,即x+x2
EF=2.∴.BF=√AB-AF=√-2=23，最后证△ADF≌
5,解得：=士号E,:x>0,=号E.BE=名E
5
△ECF(AAS).SaaD=S6E=z·AE·BF=立X4X
六AE=AB-BE=6厅-号E=子E:综上所述，AE的长为
2√3=43.
或乙瓦.13.解：(1)由题意得：BF=1.6m,BC=3m,
第2深时平行四边形的对角线的性质
1.B2.C3.C4.D5.(1)证明：四边形ABCD为平行
DE=O.6m,BF⊥EF,AE⊥EF,BC⊥AE,四边形BCEF
是矩形，∴.CE=BF=1,6m,.CD=CE-DE=1,6一0.6
四边形，AC=2,BD=4,∴0A=2AC=1,0B=2BD=2.又
1(m),放答案为：1.6,3,1：(2)，BC⊥AC,.∠ACB=90°，
AB=√3，.OA2十AB=OB,.△BAO为直角三角形，且
设秋千的长度为xm,则AB=AD=xm,AC=AD一CD=
∠BAO=90°，∴.AB⊥AC;(2)解：，△BAC为直角三角形，
(x一1)m,在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC+BC=AB,
且∠BAC=90°，∴.BC=AB+AC,AB=5,AC=2,
即(x一1)2十32=x2,解得：x=5(m),即秋千的长度是5m:
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m,.DE=0.6m,∴.CD=
.BC=√/AB十AC=√(V3)2十2=V7,.S平行网造带BD=
CE-DE=2.6-0.6=2(m),由(2)可知，AD=AB=5m,
AB·AC=2V5,.Sg行I老AIrD=AE·BC=7AE=2V3,
·25·
