自我评价：
→17.2
勾股定理的逆定理
知识点2勾股数
知识要点全练
5.(2022秋·宜阳县月考)我国是最早了解勾
知识点1勾股定理的逆定理
股定理的国家之一，它被记载于我国古代
1.(2022秋·中宁县期末)下列各组数中不能
著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组
作为直角三角形的三边长的是
数中，是“勾股数”的是
()
A.2,3,4
B.5,12,13
A.2,3,4
B.4,5,6
C.6,8,10
D.9,12,15
C.7,8,9
D.6,8,10
2.(2022秋·朝阳区期末)在△ABC中，已知
6.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3,4，
AB=4,AC=3,BC=√7，则△ABC的面积
5;②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；…请你写
为
(
出具有以上规律的第⑥组勾股数：
A.47B.3√7C.6
D.
3万
知识点3
互逆命题与互逆定理
3.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足关
7.下列各命题的逆命题成立的是
系式√c2-a2-b+a-b|=0,则△ABC
A.两直线平行，同位角相等
的形状为
B.对顶角相等
4.(2022秋·朝阳区期末)如图，某住宅小区
C.若a=b,则|a=|b
在施工过程中留下了一块空地，已知AD=
D.全等三角形的对应角相等
8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，
知识点4勾股定理及其逆定理的综合应用
BC=24米
8.(2022秋·浑南区月考)如图所示，已知
(1)△ABC是直角三角形吗？为什么？
△ABC中，CD⊥AB于D,AC=2,BC=
(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，
1.5,DB=0.9.
已知草坪每平方米50元，则这块空地
(1)求CD的长；
铺满草坪共需花费多少元？
(2)判断△ABC的形状，并说明理由.
19
八年级数学下册
桑规律方法全练
捉升能力
LX:其XX其X:XX:K X::其XXK6X11:K X:X
9.(原创)如果将直角三角形的三条边长同时
扩大k(k>1的整数)倍，那么得到的三角
形是
()
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
10.(2023·天津)如图，在△ABC中，分别以
点A和点C为圆心，大于号AC的长为半
探究创新全练
挑战自我
C2XALKY22C2L0C2LC020092
径作弧（弧所在圆的半径相等），两弧相交
14.如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,DE是
于M、N两点，直线MN分别与边BC,
BC的垂直平分线，交BC于点D,交AB
AC相交于点D,E,连接AD,若BD=
于点E,AF⊥BC于点F.
DC,AE=4,AD=5,则AB的长为()
(1)若∠BAC=90°，求AE的长；
A.9B.8
C.7
D.6
(2)若DF=0.7,求证：△ABC为直角三
角形
(第10题图)
(第11题图)
(第12题图)
11.(2022秋·房山区期末)如图，在边长为1
的小正方形组成的网格中，△ABC的三
个顶点均在格点上.判断△ABC是
三角形；计算△ABC的面积
S△ABC=
12.如图，在四边形ABCD中，AB=20,
BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°，则
∠A+∠C=
13.如图，等腰△ABC的底边BC=20cm,D
是AB边上的一点，CD=16cm,BD=
12cm,求△ABC的面积.
20x十y=5xy=4时，原式=子=号，9.解：由题意，得a
9.45°10.A11.D12.9613.√2或2或2214.解：在
R1△ABC中，∠CAB-90°，BC-13m,AC-5m,,∴.AB-
(7十5)-9=-2+√5，b=(7-/5)-4=3-√5，∴原式
132一5=12(m),:此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船
(-2+5)(3-5)-(-2+5)+4(3-√5)-3=-11+
移动到点D的位置，.CD=13一0.5×10=8(m),.AD=
55+2-√5+12-4/5-3=0.10.解：原式=（√8-√5）·
/CD-A=√/64-25=√/39(m),∴.BD=AB-AD=
(√18+√/27)=(22-√)(3√2+3√3)=12+66-3√6
(12-√39)(m).答：船向岸边移动了(12
9=3+36.11.解：1由题意得√4+后=5√后
1
,故答案
√39)m.15.解：如图，在Rt△ABC中，
AC=8m,BC=6m,.AB=10m.①当
为：√什石=5√(2)猪想等式m可表示为√+
/1
1
AB=AD时，CD=6m,△ABD的周长为
32m;②当AB=BD时，CD=4m,AD=45m,
/1
1
=叶·√压证男：等
△ABD的周长是(20十4√5)m:③当DA=DB时，设AD=
”+2m十1
/(n+1)8
=(n十1)√n+2
1
xm,则CD=(x-6)m,则x=(x-6)2+8”,解得x=驾，
式左边=
=右边，
n十2
n+2
/1
1
“△ABD的周长是婴m答：扩建后的等腰三角形花周的周
故猜想成立：
(3)①原式=100√而×20√
×/402×
而=10×20×√××√0
1
长是32m或(20+45)m或m
1
×/201×/2=
17.2勾股定理的逆定理
1.A2.D3.等腰直角三角形4.解：
200002；
②：等式√m
一2m十1十
1=10N
n
1(m>0):
△ABC是直角三角形，理由：连接AC,在
符合上述规律，.m2一2m+1=9,n=11,解得m=一2或4，
R1△ACD中，∠ADC=90°，AD=8米，
.m一n=一13或一7.故答案为：一13或一7.
CD=6米，由勾股定理得：AC=10(米)，
本章重难点突破
AC+BC=102+24=676,AB=26=676,.AC+
1.D2.D3.C4B5.12(2)6D7.B8.B
BC=AB,∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；(2)该
室地面积5=Sam-S6x=号×10X24-号×6X8=96
9.D10.(1)解：原式=√十√-(7-4)=2十3-3=2：
(平方米)，即铺满这块空地共需花费=96×50=4800（元）.
(2)解：原式=√27+3-2/5+1=35+3-2/5+1=4+√5
5.D6.13,84,857.A8.解：(1).CD⊥AB,∠CDA=
11.解：
(+)-
”x-9x-3
x(x十1)
∠CDB=90°，BC=1.5,DB=0.9,∴.CD=√/BC-DB=
+3,当x=5时，原式=十3=1十月。12.解：a
√/1.5-0.9=1.2，.CD的长为1.2：(2)△ABC是直角
三角形，理由：在Rt△CDA中，AC=2,CD=1.2,.AD=
3
4a+4+b-2b+1=0,.(a-2)2+(b-1)=0,.a=2,b=1,
√AC-CD=√2-1.2=1.6，∴AB=AD+BD=2.5,
,AC+BC=4十2.25=6.25，AB2=6.25,.AC+BC=
原式=
(a+6)2=a+6=②+1_2+
.13.114.1
2
AB,∴△ABC是直角三角形.9.C10.D11,直角5
a(Wa十Jb)
2
12.180°13.解：设AB=AC=xcm,则AD=(x-12)cm,在
/50.24
/25.12
15.解：d=√3.4-√3=压-8=4-22≈1.17.
△BCD中，.'BD+CD=122+16=400,BC=202=400.
∴.BD+CD=BC.∴∠BDC=90°.∴.CD⊥AB.∴.∠ADC=
答：圆环的宽度d约为1.17.16.解：(1)由题意得，
90°.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD十CD=AC,即(x
/14+6√5=W/9十2X3×√5+5=W(3十/5)2=3+√5，则
12)+16=,x=9.S6m=
·AB·CD=
①为5，②为5，③为3十√5，故答案为：①5，②5，③3十√5：
(2)√28-105+W7+43=V25-2X5×5+3+
号×16=0(m.14解：1逢
/4+2×2×3+3=W/(5-√3)2+√(2+/5)2=5-√5+2+
CE.,DE垂直平分BC,,BE=CE,设
5=7.
AE=x,则BE=CE=4-x,在R△ACEB
中，AE十AC=CE,x2十3=(4一x)2,
第十七章勾股定理
17,1勾股定理
x=名，即AE=子，(2)设BD=则CD=在R△ABF
第1课时勾股定理
中，AF=AB-BF=4-(y+0.7)2,在Rt△ACF中，AF=
AC-CF=32-(y-0.7)2,∴4-(y+0.7)=32-(y
1.勾股定理a2十6=22.证明：S带=
a+6a+b
0.7)2,y=2.5..BC=2y=5.AB十AC=4十32=25，
(atb'.Se-tub+te+ab-ab+a+
BC=5=25,.AB+AC=BC.∴△ABC为直角三角形.
专题训练（二）折叠与展开邂逅勾股定理
br=b+.d+8=.3A4.C5.c6E
1.A2.B3.C4.(0,号)或0，-6)5.D6.B7.解：
7.58.解：(1)c=/a2+6=√7十24=√/625=25.
(1):长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为
(2)a=e-6=√/（/5)-W2)2=7.9.D10.C11.B
1cm,.AC,=√/+1F=√/17(em)..AC,=
12.C13.B14.1215.(1)证明：AD⊥BC,∠ABC=45,
√5+（√7）=√42(m).(2)如图①所示
∴∠ABC=∠BAD=45,,AD=BD.,'AD⊥BC,BE⊥AC,
AG=√/5十5=5,2(m).如图②所示，AC=
,,∠C+∠DAC=90°，∠C+∠CBE=90°.，∠CBE=∠DAC
且AD=BD,∠ADB=∠ADC=90°.÷.△BDF≌△ADC
√/+1正=√82(m.如图③所示，A,C=
(ASA).(2)解：：△BDF≌△ADC,AD=BD=4,CD=
√/6+4=2√/13(cm).:52<2√/13<√82，∴.一只蚂蚁从
DF=3,BF=AC.在Rt△BDF中，BF=BD+DF=5.
点A爬到C,爬行的最短路程是5，√2cm
AC=5.Sam=·BC·AD=t·AC·BEBC,
AD=AC·BE.7X4=5·BE∴BE=2S.
第2课时勾股定理的应用
1.B2.A3.504.1.45.D6./10-17.A8.D
·24·
