黑龙江省大庆重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省大庆重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-04 17:37:17 | ||
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文档简介
大庆重点中学2022级高（二）上学期期中考试
数学试题
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.数列满足，则“”是“为单调递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某校高一年级有女生504人，男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为49，60个男生的平均体重为57，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ）
A. B.
C. D.
4.点到双曲线的一条浙近线的距离为（ ）
A.4 B.3 C.5 D.
5.“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件B，则（ ）
A.事件A，B互斥 B.事件A，B对立
C.事件A，B相互独立 D.事件A与不相互独立
6.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，则（ ）
A.25 B.24 C.5 D.4
7.已知是双曲线的左 右焦点，的右支上存在一点满足与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C. D.
8.已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.下列说法错误的是（ ）
A.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
B.“"是直线与直线互相垂直的充要条件
C.若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为
D.过两点的直线的方程都可以表示为
10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A.可能取到数字4 B.中位数可能是2
C.极差可能是4 D.众数可能是2
11.已知是椭圆上任意一点，是圆上任意一点，，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，则（ ）
A.使为直角三角形的点共有4个
B.的最大值为4
C.若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
D.当最大时，
12.抛物线的焦点为为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的方程为
B.的最小值为4
C.当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D.存在直线，使得两点关于对称
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.对于事件与事件，已知，如果，则__________.
14.抛物线的准线方程是__________.
15.已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为__________.
16.以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，若，则直线的斜率为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）设的内角的对边分别为，且为锐角，，求的周长.
18.已知双曲线的离心率为，且右焦点F与抛物线的焦点相同.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且，求直线l的方程.
19.某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）计算这次测试成绩的第70百分位数；
（3）在测试成绩位于区间和的学生中，采用分层抽样，确定了6人，若从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A=“抽取的两人的测试成绩分别位于和”，求事件的概率
20.如图，多面体中，平面，且，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
21.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于 两点，且满足
（1）求抛物线的方程；
（2）若是抛物线上的动点，点 在轴上，圆内切于，求面积的最小值.
22.已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点的直线交椭圆于两点，再过点A作斜率为的直线交椭圆于点，问直线与直线的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由.
大庆重点中学2022级高（二）上学期期中考试
数学参考答案
一 单项选择题
1.B 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C 7.C 8.C
二 多项选择题
9.ABD 10.BD 11.CD 12.BCD
三 填空题
13. 14. 15. 16.
三 解答题
17.（1）∵函数，
所以函数的最小正周期；
令，解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）因为，所以，
因为，所以，所以，即，
因为，根据正弦定理可得，
根据余弦定理可得，解得，（舍去负值），
所以的周长.
18.（1）抛物线的焦点为，可得，则；
由，可得，由得，
故双曲线的标准方程为；
（2）当直线垂直于轴时，，不合题意；
当直线不垂直于轴时，可设过双曲线右焦点的直线，且与双曲线的交点为，，
由可得，则，
因为焦点在双曲线的内部，则直线斜率存在且时，直线与双曲线必有两交点，，
则，
则，
解得，即直线的方程为或.
19.（1）由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
（2）因为大于第70百分位数的频率为0.3，测试成绩位于的频率，位于的频率，故第70百分位数位于，设为.
则，解得，即第70百分位数为
（3）测试成绩位于的频率，
位于的频率，
因为，所以确定的6人中成绩在内的有4人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，
从6人中随机抽取2人的样本空间：
共有15个样本点，
其中，即，所以概率为.
20.（1）由题意，取CA的中点N，连接MN，BN，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，所以平面；
（2）分别取AB EF的中点O D，连接OD，OC，则，
由平面，得平面，则，
又为正三角形，所以，
因为平面，平面，得，
而平面，所以平面，
故OC OA OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，得，
设ME与平面所成角为，，
则，所以，
故ME与平面所成角为.
21.【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为（），则焦点的坐标为.
设直线的方程为，，，
联立方程得，消去得，，
所以，，，
因为，所以故抛物线的方程为.
（2）设（），，，易知点 的横坐标与的横坐标均不相同.
不妨设.
易得直线的方程为化简得，
又圆心到直线的距离为1，
所以，
所以，不难发现，故上式可化为，
同理可得，
所以 可以看作是的两个实数根，
则，，
所以因为是抛物线上的点，所以，
则，又，所以，
从而
当且仅当时取得等号，此时，
故面积的最小值为8.
22.（1）由题意令，代入得，
所以解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0，不妨设直线的方程为，
即，
联立方程
得，
设，，，
当，即时，，，
则的方程为，①
与椭圆联立得，
，所以，
代入①得，代入得，
直线的方程为：，联立得，
.
，
，
故，不恒为0，所以，
则，
故直线与直线交于定点.
数学试题
一 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.数列满足，则“”是“为单调递增数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某校高一年级有女生504人，男生596人.学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为49，60个男生的平均体重为57，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ）
A. B.
C. D.
4.点到双曲线的一条浙近线的距离为（ ）
A.4 B.3 C.5 D.
5.“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件B，则（ ）
A.事件A，B互斥 B.事件A，B对立
C.事件A，B相互独立 D.事件A与不相互独立
6.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成的数列为，则（ ）
A.25 B.24 C.5 D.4
7.已知是双曲线的左 右焦点，的右支上存在一点满足与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C. D.
8.已知平面上两定点，则所有满足且的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.下列说法错误的是（ ）
A.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
B.“"是直线与直线互相垂直的充要条件
C.若直线的一个方向向量是，则直线的斜率为
D.过两点的直线的方程都可以表示为
10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A.可能取到数字4 B.中位数可能是2
C.极差可能是4 D.众数可能是2
11.已知是椭圆上任意一点，是圆上任意一点，，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，则（ ）
A.使为直角三角形的点共有4个
B.的最大值为4
C.若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
D.当最大时，
12.抛物线的焦点为为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的方程为
B.的最小值为4
C.当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D.存在直线，使得两点关于对称
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.对于事件与事件，已知，如果，则__________.
14.抛物线的准线方程是__________.
15.已知动直线和是两直线的交点，是两直线和分别过的定点，则的最大值为__________.
16.以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，若，则直线的斜率为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）设的内角的对边分别为，且为锐角，，求的周长.
18.已知双曲线的离心率为，且右焦点F与抛物线的焦点相同.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且，求直线l的方程.
19.某班进行了一次数学测试，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中m的值；
（2）计算这次测试成绩的第70百分位数；
（3）在测试成绩位于区间和的学生中，采用分层抽样，确定了6人，若从这6人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验，设事件A=“抽取的两人的测试成绩分别位于和”，求事件的概率
20.如图，多面体中，平面，且，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小.
21.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于 两点，且满足
（1）求抛物线的方程；
（2）若是抛物线上的动点，点 在轴上，圆内切于，求面积的最小值.
22.已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点的直线交椭圆于两点，再过点A作斜率为的直线交椭圆于点，问直线与直线的交点是否为定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由.
大庆重点中学2022级高（二）上学期期中考试
数学参考答案
一 单项选择题
1.B 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C 7.C 8.C
二 多项选择题
9.ABD 10.BD 11.CD 12.BCD
三 填空题
13. 14. 15. 16.
三 解答题
17.（1）∵函数，
所以函数的最小正周期；
令，解得，
所以函数的单调递增区间为；
（2）因为，所以，
因为，所以，所以，即，
因为，根据正弦定理可得，
根据余弦定理可得，解得，（舍去负值），
所以的周长.
18.（1）抛物线的焦点为，可得，则；
由，可得，由得，
故双曲线的标准方程为；
（2）当直线垂直于轴时，，不合题意；
当直线不垂直于轴时，可设过双曲线右焦点的直线，且与双曲线的交点为，，
由可得，则，
因为焦点在双曲线的内部，则直线斜率存在且时，直线与双曲线必有两交点，，
则，
则，
解得，即直线的方程为或.
19.（1）由频率分布直方图的性质，可得，
解得.
（2）因为大于第70百分位数的频率为0.3，测试成绩位于的频率，位于的频率，故第70百分位数位于，设为.
则，解得，即第70百分位数为
（3）测试成绩位于的频率，
位于的频率，
因为，所以确定的6人中成绩在内的有4人，分别记为，成绩在内的有2人，分别记为，
从6人中随机抽取2人的样本空间：
共有15个样本点，
其中，即，所以概率为.
20.（1）由题意，取CA的中点N，连接MN，BN，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，所以平面；
（2）分别取AB EF的中点O D，连接OD，OC，则，
由平面，得平面，则，
又为正三角形，所以，
因为平面，平面，得，
而平面，所以平面，
故OC OA OD两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，得，
设ME与平面所成角为，，
则，所以，
故ME与平面所成角为.
21.【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为（），则焦点的坐标为.
设直线的方程为，，，
联立方程得，消去得，，
所以，，，
因为，所以故抛物线的方程为.
（2）设（），，，易知点 的横坐标与的横坐标均不相同.
不妨设.
易得直线的方程为化简得，
又圆心到直线的距离为1，
所以，
所以，不难发现，故上式可化为，
同理可得，
所以 可以看作是的两个实数根，
则，，
所以因为是抛物线上的点，所以，
则，又，所以，
从而
当且仅当时取得等号，此时，
故面积的最小值为8.
22.（1）由题意令，代入得，
所以解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意，直线的斜率显然存在且不为0，不妨设直线的方程为，
即，
联立方程
得，
设，，，
当，即时，，，
则的方程为，①
与椭圆联立得，
，所以，
代入①得，代入得，
直线的方程为：，联立得，
.
，
，
故，不恒为0，所以，
则，
故直线与直线交于定点.
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