甘肃省兰州重点中学2023年普通高中合格性考试数学模拟试题（含答案）

兰州重点中学2023年普通高中合格性考试模拟试卷
数学学科
本试卷满分100分，考试时间90分钟.
一 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A.4 B.1 C.2 D.
5.函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量与单位向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球 1个黄球 2个蓝球.从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.对于实数，下列说法正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
10.长方体中，为的中点，，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的最大值为2
C.函数在上单调递增
D.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为
12.设定义在上的奇函数满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案写在答题卡上.）
13.某党支部理论学习小组抽取了10位党员在该学习平台的学习成绩如下：，则这10名党员学习成绩的分位数为__________.
14.已知向量，若，则__________.
15.不等式的解集是__________.
16.已知，则的值为__________.
17.对于任意实数，定义.设函数，则函数的最大值是__________.
三 解答题：本大题共3小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分10分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为钝角，且，求的周长.
19.（本小题满分11分）
如图：是平行四边形，平面，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
20.（本小题满分11分）
已知函数.
（1）若函数是上的奇函数，求的值；
（2）若函数的定义域是一切实数，求的取值范围；
（3）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围.
兰州重点中学2023年普通高中合格性考试模拟试卷数学
参考答案
第I卷（选择题）
一 选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B A D A D C C A D B
第II卷（非选择题）
二 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案写在答题卡上.）
13.93 14. 15. 16. 17.1
三、解答题：本大题共 3 小题，共 32 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.（本小题满分10分）
【解】（1）由正弦定理得：，
，解得：，
.
（2）由（1）知：为钝角，，
由余弦定理得：
的周长为
19.（本小题满分11分）
【解】（1）取的中点，连，
因为，即，且，
则为平行四边形，则，且，
又因为是平行四边形，则，且，
可得，且，
可知为平行四边形，则，
且平面平面，
所以平面.
（2）在中，，
由余弦定理可得，即，
则，可得，
因为平面平面，则，
且平面，所以平面.
20.（本小题满分11分）
【解】（1）若函数是上的奇函数，则.
当时，是上的奇函数.所以.
（2）若函数的定义域是一切实数，则恒成立.即恒成立，
由于，故只要，则的取值范围是.
（3）由已知得函数是减函数，故在区间上的最大值是，最小值是
.由题设得，
则.
解得.
故实数的取值范围是.