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二元一次方程（组）常见七种应用问题
一.方案问题
1．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
2．开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用品，明明用元买了1支笔和4个本，亮亮用元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了元，则小伟的购买方案共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
3．刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
4．一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．
（1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了 间三人间；
（2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为 元．
5．现有球迷150人欲租用客车去观看足球赛，有A，B，C三种型号客车若干可供租用，载客量分别为50人，30人，10人，要求租用的车辆，每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有 种．
6.某公司定点到“好客超市”采购A、B两种饮料，8月份采购24件A饮料和32件B饮料共花费了3480元，9月份采购32件A饮料和24件B饮料共花费3240元，10月份该超市A饮料和B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，公司根据实际需要购买了原价或打折的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料件数是10月份购买所有A饮料和B饮料总件数的，该公司10月份一共购买了A、B饮料 件．
7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？
8．春天来了，我校计划组织师生共1600人坐A、B两种型号的大巴车外出春游，且A型车每辆租金为580元，B型车每辆租金为700元，为了保证安全，校方要求必须保证人人都有座位．学生南南发现若租2辆A型与3辆B型大巴车恰好能坐下195人，若租3辆A型与2辆B型大巴车恰好能坐下180人．
(1)请问1辆A型与1辆B型大巴车各有几座？
(2)现学校决定租两种型号的大巴车共50辆作为出行交通工具，但政教主任蒋老师发现租车总经费不能超过32000元．他想运用函数的知识进行分析，为学校寻找最节省的租车方案．现蒋老师设学校租了A型大巴车x辆，租车总费用为w元．请你帮蒋老师完成分析过程，确定共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？并求出最低费用．
9．某公司引入一条新生产线生产甲、乙两种产品，其中甲产品每件成本为10元，销售价格为12元；乙产品每件成本为7元，销售价格为8.5元；甲、乙两种产品均能在生产当天全部售出．
(1)第一个月该公司生产的甲、乙两种产品的总成本为5800元，销售总利润为1200元，求这个月生产甲、乙两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产甲、乙两种产品共800件，且使总利润不低于1350元，则乙产品至多要生产多少件？
10．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．共花费265元；若两次购进的A、B两种花草价格均分别相同．
(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买A、B两种花草共30棵，且B种花草的数量少于A种花草数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
二.行程问题
1．小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为10km，小明骑山地车的速度是13km/h，小强骑自行车的速度是8km/h，若小强先出发15min，则小明追上小强时，两人距离B地（ ）
A．4.8km B．5.2km C．3.6km D．6km
2．甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙；如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙，求甲、乙两人的速度． 若设甲、乙两人的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.小明每天骑自行车从家到学校，要经过一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时，平路每小时，下坡每小时，那么从家到学校需分钟，从学校到家需要分钟．设坡路长，平路长，依题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.某校组织学生乘汽车去自然保护区野营．汽车先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了．则学校距自然保护区 ．
5．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为 ．
6．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后，他们各以一定速度匀速跑，两人越野赛跑的总路程（单位：）与此后的时刻（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是 ．
7.甲、乙两人驾车都从地出发，沿一条笔直的公路匀速前往地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达地后均停止．已知、两地相距，设乙行驶的时间为甲、乙两人之间的距离为，表示与函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：
(1)由图象可知，甲比乙迟出发 ，图中线段所在直线的函数解析式为 ；
(2)设甲的速度为，求出的值；
(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距时的值．
8．甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇．
(1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？
9．某班学生从教室到食堂需要先走楼梯下楼，再走一段平路．
(1)假定人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度始终是20米/分，上楼梯的速度始终是10米/分，则从教室到食堂需要4分钟，从食堂回教室需要6分钟．请问从教室到食堂的楼梯路有多少米，平路有多少米；
(2)已知楼梯路有40米，平路有120米，人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度是上楼梯速度的2倍，若从食堂回教室比从教室到食堂多用2分钟，求上楼梯的速度．
10．某高速公路准备新增一个出口，现有甲、乙两个工程队都可完成此项工程．若让两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；若让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元．问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月多少万元？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需几个月？
三.工程问题
1．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
2．某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是
A．12人，15人 B．14人，13人 C．15人，12人 D．13人，14人
3．某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x＋y）的值为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
4．一项工作，甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天；若甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天，则甲单独完成此项工作需 天.
5．甲、乙两个蓄水池共贮水40吨，如果甲池进水2吨，乙池排水6吨，则两池蓄水相等，则甲池原来贮水 吨，乙池原来贮水 吨．
6．为了推动校园足球发展，某市教体局准备向全市中小学免费赠送一批足球，这批足球的生产任务由甲、乙两家足球制造企业平均承担，甲企业库存0.2万个，乙企业库存0.4万个，两企业同时开始生产，且每天生产速度不变，甲、乙两家企业生产的足球数量y万个与生产时间x天之间的函数关系如图所示，则每家企业供应的足球数量a等于 万个．
7．利用方程、不等式（组）解应用题：
(1)甲每小时走3公里，出发1小时后，乙骑车要在40分钟内追上甲，问乙至少要骑多快才能追上甲？
(2)一批零件共840个，如果甲先做4天，乙再加入合作，则再做8天完成；如果乙先做4天，甲再加入合作，则再做9天完成，问两人每天各做多少个？
8．制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？
9．甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
(1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ；
(2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题．
10．某建筑公司有甲、乙两个工程队，先后接力完成河以道路整治任务，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天．
(1)若这段河边道路长为300米，求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米？
(2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的别用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，甲工程队至少工作多少天？
四.数字问题
1．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是 （ ）．
A． B． C． D．
2．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是7，若十位上的数字与个位上的数字对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是（ ）
A．43 B．34 C．25 D．52
4．小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ．
5．有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大．设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得方程组： ．
6．“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ．
7．山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？
8．有一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍多2，若把个位数与十位数对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数．
9．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
(1)请任意写出两个“极数”________，________；
(2)猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
(3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是________．
10．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．
五.利润问题
1．春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李凯同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，王玲同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费( )
A．元 B．元 C．元 D．元
2．英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（ ）
A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元
3．某个体商贩一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是元，在这次买卖中他（ ）．
A．赔了18元 B．赚了18元 C．赚了20元 D．不赔不赚
4．三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍 本．
5．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价和为120元，则两种商品原来的单价之间相差 元．
6．某商店在十一“黄金周”期间，以每件1200元购进一种商品．为了促销，如果将该商品按标价打八五折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是x元，则可列方程为 ．
7．某商场购进甲、乙两种矿泉水，第一次购进甲8箱，乙6箱，共用124元，第二次购进甲10箱，乙12箱，共用200元
(1)该商场购进的甲、乙两种矿泉水各多少元/箱？
(2)甲、乙销售价都为12元/箱，全部售完，该商场共获得利润多少元？
8．“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B，需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元．
(1)求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？
(2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？
9．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒，若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元；若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍，怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
10．北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元．
(1)求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
六.几何问题
1．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分）．空白部分面积为（ ）
A．53 B．54 C．55 D．56
3．如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为 ．
5．如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，如图，“优美长方形”的周长为52，若正方形的边长分别为，则满足的方程组为 ．
6．长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．
7．我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②能否在做成若干只上述的两种礼盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，竖式礼品盒与横式礼品盒分别做了几个？若不能，做成竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多几个？并直接写出此时横式无盖礼品盒的个数．
8．列方程（组）解应用题：如图，在长为15、宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，求图中阴影部分的面积．
9．分别用8个大小一样的小长方形纸片拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1cm的小正方形，请你求出小长方形纸片的长和宽．
10．如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的小长方形卡片拼成．
(1)如图1，当图中最大长方形的宽为时，分别求、的值；
(2)如图2，若大正方形的面积为81，每张卡片的面积为14，求小正方形的边长；
(3)如图3，当两个阴影部分（均为长方形）面积差为定值时，求与的数量关系．
七.古代问题
1．有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，同时已经列出一个方程为，则另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问：几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问：多久后甲、乙相逢 设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为 ．
5．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为尺，那么索长 尺．
6．我国古代的《张丘建算经》中有著名的“百鸡问题”，原文是：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”意思是说“公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？”则此“百鸡问题”共有 种购买方案（每种鸡至少购买一只）．
7．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，求每头牛、每只羊各值多少两银子？
8．被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．
9．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里记载着这样一个问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何 ”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两 ”根据以上译文，请解决以下问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请直接写出所有可能的购买方法；
(3)若某商人准备购买牛和羊共24头（只），且总银两不能超过60两，那么最多可以购买___________头牛．
10．在九章算术的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务：
(1)任务一：图所表示的方程组为______ ．
(2)任务二：请解你所列的方程组．
(3)任务三：请聪明的你尝试用不同的方法解你所列的方程组．
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二元一次方程（组）常见七种应用问题
一.方案问题
1．为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，
即，
∵为正整数，
∴
则，
故有7种方案，
故选：C．
2．开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用品，明明用元买了1支笔和4个本，亮亮用元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了元，则小伟的购买方案共有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
解：设1支笔的价格为x元，1个本的价格为y元，由题意可得，
，解得：，
设小伟购买笔m支，本n个，由题意可得，
，化简得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴小伟的购买方案共有4种，
故选B；
3．刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
解：设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，
根据题意可得，
∴，
∵均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：D．
4．一个17人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只有双人标准间和三人间，其中双人标准间每间每晚100元，三人间每间每晚130元．住宿要求男士只能与男士同住，女士只能与女士同住．
（1）若该旅游团一晚的住宿费用为750元，则他们租住了 间三人间；
（2）若该旅游团中共有7名男士，则租住一晚的住宿费用最少为 元．
解：（1）设该旅游团租住了间双人间，间三人间，
根据题意得：，
，
又，均为自然数，
，
他们租住了5间三人间．
故答案为：5；
（2）当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．
女士：（人)，男士7人，
租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的4间双人间里面2间住男士，2间住女士，另租住3间三人间，
此时租住一晚的住宿房费为（元，
租住一晚的住宿房费最少为790元．
故答案为：790．
5．现有球迷150人欲租用客车去观看足球赛，有A，B，C三种型号客车若干可供租用，载客量分别为50人，30人，10人，要求租用的车辆，每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有 种．
解：设B、C两种车分别租a辆、b辆，
①当A型号租用0辆时，则有：
，
．
又∵a，b是整数，
则，或，或，或，或，或，；
②当A型号租用1辆时，则有：
，
，
又a，b是整数，
则，或，或，或，；
③当A型号租用2辆时，则有：
，
，
又a，b是正整数，
则，或，；
综上所述，共有12种．
故答案为：12．
6.某公司定点到“好客超市”采购A、B两种饮料，8月份采购24件A饮料和32件B饮料共花费了3480元，9月份采购32件A饮料和24件B饮料共花费3240元，10月份该超市A饮料和B饮料中有部分因为保质期临近而打六折促销，公司根据实际需要购买了原价或打折的A饮料和B饮料，共花了2850元，其中打折的A饮料件数是10月份购买所有A饮料和B饮料总件数的，该公司10月份一共购买了A、B饮料 件．
解：设1件A饮料x元，1件B饮料y元，
由题意得：，
解得：，
即1件A饮料45元，1件B饮料75元，
设A饮料和B饮料总件数为a件，则打折的A饮料件数为件，
打折的A饮料价格为：（元），打折的B饮料价格为：（元），
即打折的B饮料价格与A饮料原价相同，
设原价B饮料为b件，则打折的B饮料与原价A饮料共有件，
此时，
即，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b均为正整数，
∴或或，
∵，
∴，
∴公司10月份一共购买了A、B饮料60件，
故答案为：60．
7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．
(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？
（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，
由题意可得：，解得，，
∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．
（2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，
由题意可得，，且，
∴，
∵为正整数，
∴或，
∴该公司共有二种购买方案，
当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），
当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），
∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元．
8．春天来了，我校计划组织师生共1600人坐A、B两种型号的大巴车外出春游，且A型车每辆租金为580元，B型车每辆租金为700元，为了保证安全，校方要求必须保证人人都有座位．学生南南发现若租2辆A型与3辆B型大巴车恰好能坐下195人，若租3辆A型与2辆B型大巴车恰好能坐下180人．
(1)请问1辆A型与1辆B型大巴车各有几座？
(2)现学校决定租两种型号的大巴车共50辆作为出行交通工具，但政教主任蒋老师发现租车总经费不能超过32000元．他想运用函数的知识进行分析，为学校寻找最节省的租车方案．现蒋老师设学校租了A型大巴车x辆，租车总费用为w元．请你帮蒋老师完成分析过程，确定共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？并求出最低费用．
（1）解：设每辆A型客车有m个座位，每辆B型客车有n个座位，
根据题意有：，
解得：，
答：每辆A型客车有30个座位，每辆B型客车有45个座位；
（2）解：设学校租了A型大巴车x辆，则租了B型大巴车辆，
根据题意，得：，
解得：．
∵x为整数，
∴x为25到43之间的整数（包括25和43），共19个．
∴有19种租车方案．
，
∵，
∴当时，w取得最小值，此时，．
答：共有19种租车方案，当租A型客车43辆，B型客车7辆最省钱，最低费用为29840元．
9．某公司引入一条新生产线生产甲、乙两种产品，其中甲产品每件成本为10元，销售价格为12元；乙产品每件成本为7元，销售价格为8.5元；甲、乙两种产品均能在生产当天全部售出．
(1)第一个月该公司生产的甲、乙两种产品的总成本为5800元，销售总利润为1200元，求这个月生产甲、乙两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产甲、乙两种产品共800件，且使总利润不低于1350元，则乙产品至多要生产多少件？
（1）设生产甲产品x件，乙产品y件，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
所以，生产甲产品300件，乙产品400件
（2）设乙产品生产m件，则甲产品生产件，
根据题意，得，
解这个不等式，得．
所以，乙产品至多生产500件．
10．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．共花费265元；若两次购进的A、B两种花草价格均分别相同．
(1)A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
(2)若购买A、B两种花草共30棵，且B种花草的数量少于A种花草数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
解（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得：，
答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元．
（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴，
解得：，
∵m是正整数，
∴，
设购买树苗总费用为，
∵，
∴W随x的减小而减小，
当时（元）．
答：购进A种花草的数量为11株、B种19株，费用最省，最省费用是315元．
二.行程问题
1．小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为10km，小明骑山地车的速度是13km/h，小强骑自行车的速度是8km/h，若小强先出发15min，则小明追上小强时，两人距离B地（ ）
A．4.8km B．5.2km C．3.6km D．6km
解：设小明追上小强时，两人距离B地，距离A地，
由题意得：，
解得：，
即小明追上小强时，两人距离B地．
故选：A．
2．甲、乙两人练习跑步，如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙；如果让乙先跑，那么甲跑就追上了乙，求甲、乙两人的速度． 若设甲、乙两人的速度分别为，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：设甲、乙两人的速度分别为，，
由题意知：
．
故选：C．
3.小明每天骑自行车从家到学校，要经过一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时，平路每小时，下坡每小时，那么从家到学校需分钟，从学校到家需要分钟．设坡路长，平路长，依题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：设坡路长，平路长，
上坡用的时间与平路用的时间等于小明从家到学校所用的时间，
，
下坡用的时间与平路用的时间等于小明从学校到家所用的时间，
，
故方程组为，
故选：．
4.某校组织学生乘汽车去自然保护区野营．汽车先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了．则学校距自然保护区 ．
解：设从学校到自然保护区平路长，坡路长，依题意，得：
，
解得：，
∴．
所以，从学校到自然保护区共，
故答案为：270．
5．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为 ．
解：根据题意，得
，
解得：
所以m
故答案为：2050．
6．一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后，他们各以一定速度匀速跑，两人越野赛跑的总路程（单位：）与此后的时刻（单位：）之间的关系如图所示，则图中的值是 ．
解：设小明的速度为x m/s，小刚的速度为y m/s，根据题意得：
解得：
故a=1600+300×2=2200．
故答案为：2200．
7.甲、乙两人驾车都从地出发，沿一条笔直的公路匀速前往地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人到达地后均停止．已知、两地相距，设乙行驶的时间为甲、乙两人之间的距离为，表示与函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：
(1)由图象可知，甲比乙迟出发 ，图中线段所在直线的函数解析式为 ；
(2)设甲的速度为，求出的值；
(3)根据题目信息补全函数图象（不需要写出分析过程，但必须标明关键点的坐标）；并直接写出当甲、乙两人相距时的值．
（1）解：由图象可知，甲比乙迟出发，
设线段所在直线的函数解析式为，根据题意得：
，解得，
线段所在直线的函数解析式为，
故答案为：1；；
（2）解：设甲的速度为，设乙的速度为，由题意得：
，解得；
答：甲的速度为；
（3）解：如图所示：
根据题意得：或，解得或6.72，
答：当甲、乙两人相距时，的值为4.8或6.72．
8．甲、乙两车分别从相距210千米的A、B两地相向而行，甲、乙两车均保持匀速行驶．若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇；若乙车比甲车提前1小时出发，则乙车出发后3小时两车相遇．
(1)求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
(2)若甲、乙两车同时出发，甲车行驶了1小时后发生故障，甲车原地检修用了30分钟后继续原速度行驶，此时，乙车提高速度，为了保证乙车再经过不超过1小时与甲车相遇，那么乙车要比原来的行驶速度至少提高多少千米/小时？
（1）解：设甲车的速度是千米/小时，乙车的速度是千米/小时，
根据题意，得
解得．
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时．
（2）解：设乙车要比原来的行驶速度增加千米/小时，
根据题意，得．
解得．
答：乙车要比原来的行驶速度至少增加15千米/小时．
9．某班学生从教室到食堂需要先走楼梯下楼，再走一段平路．
(1)假定人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度始终是20米/分，上楼梯的速度始终是10米/分，则从教室到食堂需要4分钟，从食堂回教室需要6分钟．请问从教室到食堂的楼梯路有多少米，平路有多少米；
(2)已知楼梯路有40米，平路有120米，人在平路上行走的速度始终是60米/分，下楼梯的速度是上楼梯速度的2倍，若从食堂回教室比从教室到食堂多用2分钟，求上楼梯的速度．
（1）解：设教室到食堂的楼梯路有x米，平路有y米，则
，
变形，得
解得；
答：从教室到食堂的楼梯路有40米，平路有120米
（2）解：设上楼的速度为m米/分，则
，
去分母，得，
解得，，
经检验，是原方程的解．
答：上楼的速度为10米/分．
10．某高速公路准备新增一个出口，现有甲、乙两个工程队都可完成此项工程．若让两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；若让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元．问：
(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月多少万元？
(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需几个月？
（1）解：设甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月x万元，y万元，
由题意得：，
解得，
答：甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月90万元，10万元；
（2）解：，
，
∴乙单独完成此项工程需要60个月；
，
∴乙单独完成此项工程需要15个月；
答：甲、乙两队单独完成此项工程各需15个月，60个月．
三.工程问题
1．甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，
根据题意得：，
解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件．
故选：A．
2．某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是
A．12人，15人 B．14人，13人 C．15人，12人 D．13人，14人
解：设分配挖土x人，运土y人，
则，解得，
∴应分配挖土15人，运土12人．
故选：C．
3．某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则（x＋y）的值为( )
A．5 B．10 C．15 D．20
解：设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则
，解得：，则x+y=20.
故选D.
4．一项工作，甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天；若甲先完成全部工作的，然后乙完成余下部分，两人共用天，则甲单独完成此项工作需 天.
解：设甲单独完成此项工作需x天，乙单独完成此项工作需y天，
根据题意得，
解得
故甲单独完成此项工作需20天.
5．甲、乙两个蓄水池共贮水40吨，如果甲池进水2吨，乙池排水6吨，则两池蓄水相等，则甲池原来贮水 吨，乙池原来贮水 吨．
解：设甲池原来贮水x吨，乙池原来贮水y吨，
根据题意得：，
解得：．
故答案为16；24．
6．为了推动校园足球发展，某市教体局准备向全市中小学免费赠送一批足球，这批足球的生产任务由甲、乙两家足球制造企业平均承担，甲企业库存0.2万个，乙企业库存0.4万个，两企业同时开始生产，且每天生产速度不变，甲、乙两家企业生产的足球数量y万个与生产时间x天之间的函数关系如图所示，则每家企业供应的足球数量a等于 万个．
解：∵（6﹣2）÷（4﹣2）=2，
∴设乙企业每天生产足球x万个，则甲企业每天生产足球2x万个，
根据题意可得：，
解得：．
∴每家企业供应的足球数量a=1万个．
故答案为1．
7．利用方程、不等式（组）解应用题：
(1)甲每小时走3公里，出发1小时后，乙骑车要在40分钟内追上甲，问乙至少要骑多快才能追上甲？
(2)一批零件共840个，如果甲先做4天，乙再加入合作，则再做8天完成；如果乙先做4天，甲再加入合作，则再做9天完成，问两人每天各做多少个？
解（1）设乙的速度为，由题意得
解得，
所以，乙至少要骑每小时7.5千米才能追上甲；
（2）设甲每天做x个，乙每天做y个，由题意得
，
解得，
所以，甲每天做50个，乙每天做30个．
8．制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？
解：设利用机器每人每天可制造件产品，手工每人每天可制造件产品，
根据题意得，
，
解得：，
3人用机器，1人靠手工，每天可制造的产品件数为：（件），
答：3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品．
9．甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
(1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是 ，未知数表示的是 ；
(2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题．
解（1）甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数
（2）根据题意得：，
解得，．
答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．
10．某建筑公司有甲、乙两个工程队，先后接力完成河以道路整治任务，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时25天．
(1)若这段河边道路长为300米，求甲、乙两个工程队分别整治河道多少米？
(2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的别用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，甲工程队至少工作多少天？
（1）解：设甲工程队整治河道x天，乙工程队整治河道y天，
由题意得，
，得：
，得：，即，
把代入①中得：，
∴，，
答：甲、乙两个工程队分别整治河道150米和150米；
（2）解：设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天．
由题意可得：，
解得：，
答：甲工程队至少工作10天．
四.数字问题
1．一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是 （ ）．
A． B． C． D．
解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，
得，
解得，
∴原数是，
故选：D．
2．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大2；交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．设十位上的数字为x，个位上的数字为y，列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y，
∵十位上的数字比个位上的数字大2，
∴；
∵交换十位上的数字与个位上的数字后得到的两位数比原数小18．
∴；
故可列方程组：，
故选：A
3．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字的和是7，若十位上的数字与个位上的数字对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是（ ）
A．43 B．34 C．25 D．52
解：设原来的两位数个位上数字为x，十位上数字是y，则
解得
即原来的两位数为34，现在的两位数为43．
故选：A．
4．小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ．
解：设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意得：，
∴.
又∵x,y均为一位正整数，
∴，
∴，
即出门时看到的步数是．
故答案为：．
5．有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大．设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得方程组： ．
解：原两位数可表示为，新两位数表示为．
根据题意得方程组为：．
故答案为： ．
6．“九宫图”又称“龟背图”，数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数、每一列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方．如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ．
解：由题意，得，
解得，
∴，
故答案为：17．
7．山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？
解：设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，
由题意得，，
解得：，
答：山上本来有只羊，山下本来有只羊．
8．有一个两位数，个位上的数比十位上的数的3倍多2，若把个位数与十位数对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数．
解：设原来的两位数中，个位上的数为x，十位上的数为y．
依题意有，
解得．
答：原来的两位数是28．
9．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
(1)请任意写出两个“极数”________，________；
(2)猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
(3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是________．
（1）解：由“极数”的定义得，1287，2376，
故答案为1287，2376；
（2）解：任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为，，且、为整数），
则，
，，且、为整数，
是整数，
任意一个“极数”都是99的倍数．
（3）解：设四位数为，，且、为整数），
四位数为“极数”， ，
．
是完全平方数，，，且、为整数，
，，，，
或或或，
可以为1188或2673或4752或7425．
10．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数．
解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，
由题意得，，
解得：，
则这个三位数为439．
五.利润问题
1．春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均打折，李凯同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，王玲同学一家(个成人和个学生)去了该景区，门票共花费元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费( )
A．元 B．元 C．元 D．元
解：设成人票是元张，学生票是元张，
依题意得：
，
②①得：．
即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费元．
故选：A．
2．英语吴老师准备购买清华纪念徽章和北大纪念书签奖励英语口语考试满分的同学，据了解，购买5枚徽章和2枚书签共需元，购买3枚徽章和2枚书签共需元，则徽章和书签的单价分别是（ ）
A．元，元 B．元，元 C．元，元 D．元，元
解：设徽章和书签的单价分别是x元，y元，由题意可得，
，
解得：，
故选D；
3．某个体商贩一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是元，在这次买卖中他（ ）．
A．赔了18元 B．赚了18元 C．赚了20元 D．不赔不赚
解：设赚了的商品的成本为元，则，解得元，
赔了的商品的成本为元，则 ，解得元，
所以两件商品的总成本为：元，
元，
所以在这次买卖过程中，赔了元．
故选A．
4．三月初某书店销售A、B两种书籍，销售36本A书籍和25本B书籍收入3495元，销售24本A书籍和30本B书籍收入3330元，月底发现部分书籍有污迹，决定对有污迹的书籍进行打六折促销，张老师根据实际购买了原价或打折的两种书籍，共花费3150元，其中购买的A种打折书籍的本数是购买所有书籍本数的，张老师购买A种打折书籍 本．
解：设A种书籍的售价为x元，B种书籍的售价为y元，则
，
解得，
设原价购买A种书籍本，打折购买A种书籍本，原价购买B中书籍本，打折购买B种书籍本，则
，
整理得：，
∴，
∴，
得，
∵均为正整数，
∴（舍去）或（舍去）或，
故答案为：15．
5．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后两种商品的单价和为120元，则两种商品原来的单价之间相差 元．
解：设甲商品的单价为x元/件，乙商品的单价为y元/件，
依题意，得：，
解得：．
则．
答：两种商品原来的单价之间相差20元．
故答案为：20．
6．某商店在十一“黄金周”期间，以每件1200元购进一种商品．为了促销，如果将该商品按标价打八五折出售，那么该商品的利润率为．设这种商品的标价是x元，则可列方程为 ．
解：设这种商品的标价是x元，由题意得
故答案为：．
7．某商场购进甲、乙两种矿泉水，第一次购进甲8箱，乙6箱，共用124元，第二次购进甲10箱，乙12箱，共用200元
(1)该商场购进的甲、乙两种矿泉水各多少元/箱？
(2)甲、乙销售价都为12元/箱，全部售完，该商场共获得利润多少元？
（1）解：设甲种矿泉水x元/箱，乙种矿泉水y元/箱，则
得：，
把代入①得：，
∴
答：甲种矿泉水8元/箱，乙种矿泉水10元/箱．
（2）解：由题意可得：甲种矿泉水购进18箱，乙种矿泉水购进18箱
；
答：该商场共获得利润元．
8．“双11”期间，某个体户在淘宝网上购买某品牌A、B两款羽绒服来销售，若购买3件A，4件B，需支付2400元，若购买2件A，2件B，则需支付1400元．
(1)求A、B两款羽绒服在网上的售价分别是多少元？
(2)若个体户从淘宝网上购买A款羽绒服25件，按每件600元进行零售，销售一段时间后，把剩下的羽绒服全部6折销售完，若总获利不低于3800元，求个体户让利销售的羽绒服最多是多少件？
（1）解：设A款羽绒服在网上的售价a元，B款羽绒服在网上的售价b元，可得：
，
解得：
，
答：A款羽绒服在网上的售价是400元，B款羽绒服在网上的售价是300元；
（2）解：设让利的羽绒服有x件，则已售出的有件，根据题意可得：
，
解得：，
的最大整数解是5，
答：个体户让利销售的羽绒服最多是5件．
9．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒，若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元；若购买桶甲消毒液和桶乙消毒液，则一共需要元．
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍，怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
解（1）设每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元，
由题意可得：，解得，
答：每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元；
（2）由题意可得，，
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多桶，又不超过乙消毒液的数量的倍，
∴，解得，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，此时，，
答：购买甲消毒液桶，乙消毒液桶时，才能使总费用最少，最少费用是元．
10．北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元．
(1)求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
(2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元；
（2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，
根据题意，得，
∴，
∵a，b均为正整数，
∴当时，；当时，；当时，，
∴所有购买方案如下：
①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；
③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型．
六.几何问题
1．将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形拼成了如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则一个小长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：设每个小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
则每个小长方形的面积．
故选：B．
2．如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地上，沿平行于长方形边的方向分割出三个形状、大小完全一样的小长方形花圃（阴影部分）．空白部分面积为（ ）
A．53 B．54 C．55 D．56
解：设小长方形花圃的长和宽分别是，
由题意得：
解得： ，
所以空白部分面积为平方米，
故选D．
3．如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
解：设每块墙砖的长为，宽为，
由题意得：，
解得：，
∴，
∴每块墙砖的截面面积是．
故选：B．
4．如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为 ．
解：设小长方形的长为，宽为，则小正方形的边长为，
根据题意得：，
解得：，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：36．
5．如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，如图，“优美长方形”的周长为52，若正方形的边长分别为，则满足的方程组为 ．
解：若正方形的边长分别为，则正方形的边长为，正方形的边长为，
根据题意得：，
满足的方程组为，
故答案为：．
6．长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．
解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意，得：，
解得：，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：．
7．我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
(2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②能否在做成若干只上述的两种礼盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，竖式礼品盒与横式礼品盒分别做了几个？若不能，做成竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多几个？并直接写出此时横式无盖礼品盒的个数．
（1）解：由题意得：，
解得：，
即图甲中与的值分别为60，40；
（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
两种裁法共产生型板材为（张，
由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
两种裁法共产生型板材为（张，
故答案为：64，38；
②不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把①中的型板材和型板材用完，理由如下：
设竖式礼品盒做个，横式礼品盒做个，
则型板材需要个，型板材需要个，
则，
解得：，
、是非负整数，
不能恰好把①中的型板材和型板材用完，
，
最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个，此时做成的横式无盖礼品盒为16个或17个或18个．
8．列方程（组）解应用题：如图，在长为15、宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，求图中阴影部分的面积．
解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得： ，
∴图中阴影部分的面积为．
9．分别用8个大小一样的小长方形纸片拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1cm的小正方形，请你求出小长方形纸片的长和宽．
解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
依题意得：，
解得：，
答：小长方形的长为5cm，宽为3cm．
10．如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的小长方形卡片拼成．
(1)如图1，当图中最大长方形的宽为时，分别求、的值；
(2)如图2，若大正方形的面积为81，每张卡片的面积为14，求小正方形的边长；
(3)如图3，当两个阴影部分（均为长方形）面积差为定值时，求与的数量关系．
（1）解：由最大长方形的宽可得：
；
由最大长方形的长可得：
，从而．
．
（2）解：小正方形的边长为，大正方形的边长为，
比较图中正方形的面积可得：；
当时，．
．
（3）解：设最大长方形的长为，则．
∴
，
当时，为定值．
∴为定值时，．
七.古代问题
1．有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
解设大桶可以盛酒x斛，小桶可以盛酒y斛，根据题意得，
，
故选：A．
2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一道题的原文是：“今有木，不知长短，余绳四尺五寸；屈绳量之，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，长木还剩余1尺，问木长多少尺？小宁将这个问题转化为二元一次方程组问题，同时已经列出一个方程为，则另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x表示长木的长度，y表示绳子的长度，
又∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴．
故选：A．
3．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安.今乙发已先二日，甲仍发长安.问：几何日相逢 译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安.现乙先出发2日，甲才从长安出发.问：多久后甲、乙相逢 设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：由题可知，甲的效率为，乙的效率为，
设甲出发日，乙出发日后甲、乙相逢，根据题意列方程组：
．
故选：D．
4．我国古代数学名著《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱．问梨果各几何？”意思是：用文钱买得梨和果共个，梨文买个，果文买个，问梨果各买了多少个？如果设梨买个，果买个，那么可列方程组为 ．
解：设梨买个，果买个，那么可列方程组为，
故答案为：．
5．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，如果一托为尺，那么索长 尺．
解设索长尺，竿子长为尺，
根据题意得：，
解得：，
∴索长为尺，
故答案为：．
6．我国古代的《张丘建算经》中有著名的“百鸡问题”，原文是：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”意思是说“公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？”则此“百鸡问题”共有 种购买方案（每种鸡至少购买一只）．
解：设公鸡买了x只，母鸡买了y只，则小鸡买了只，
依题意，得：，
整理得：
∵x,y均为正整数，
∴或或，
∴一共有3种购买方案，
故答案为：3．
7．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，求每头牛、每只羊各值多少两银子？
解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子，
依题意得：，
解得：．
答：每头牛值两银子，每只羊值两银子．
8．被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作．九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕重量为斤．问雀、燕每只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．
解：设雀、燕每只各重斤、斤．根据题意，得
整理，得
解得
答：雀、燕每只各重斤、斤．
9．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里记载着这样一个问题：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何 ”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两 ”根据以上译文，请解决以下问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请直接写出所有可能的购买方法；
(3)若某商人准备购买牛和羊共24头（只），且总银两不能超过60两，那么最多可以购买___________头牛．
（1）解：设每头牛值两银子、每只羊值两银子，
由题意得：，
解得：，
答：每头牛值3两银子、每只羊值2两银子；
（2）解：设购买头牛，只羊，
由题意得：，
，
、都是正整数，
满足条件的解有，，，
商人可能的购买方法有3种：①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买3头牛，2只羊；
（3）解：设商人购买头牛，则购买头羊，
由题意得：，
解得：，
最多可以购买12头牛，
故答案为：12．
10．在九章算术的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务：
(1)任务一：图所表示的方程组为______ ．
(2)任务二：请解你所列的方程组．
(3)任务三：请聪明的你尝试用不同的方法解你所列的方程组．
（1）解：根据图所示的算筹的表示方法，可推出图所示的算筹的表示的方程组：，
故答案为：；
（2）由（1）得：，
得，，
即，
把代入得，，
．
所以方程组的解为：；
（3）由（1）得：，
由得，，
将代入得，
解得，
把代入得，．
所以方程组的解为：．
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