5.1.1 任意角 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第5章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.1 任意角
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解任意角的概念，区分正角、负角、零角； 1.数学抽象素养.
2.理解象限角的概念；
3.理解终边相同角的概念，并能熟练写出终边相同的角组成的集合. 2.数学抽象素养.
温故知新
1.初中学习的角的概念.
①具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边.
2.初中学习的角的范围.
初中知识可知，射线OA绕端点O按逆时针方向旋转转一周回到起始位置，角的范围是：0°～360°.如果继续旋转将超过范围.
②角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
情景探究
1.体操中有转体两周或转体三周，“前空翻转体540度”，“后空翻转体720度”，如何度量这些角度呢？
这里不仅角度超出了0°～360°，并且旋转的方向也不相同.
2.如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两 个齿轮旋转的方向刚好相反.
要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广.
新知形成
一.任意角
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α=0°.
正角
逆时针
负角
顺时针
零角
无旋转
这样，我们就把角的概念推广到了任意角
为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角α或∠α ，可以简记为α.
新知形成
一.任意角
新知形成
一.任意角
思考：你能分别作出750°、210°、-150°、-660°吗？
新知形成
二.任意角的基本运算
1、你认为两个角怎样的角是相等的角？
设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.
旋转方向相同且旋转量相等的两个角相等.
2、两角的相加
设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.
α
β
α+β
O
A
新知形成
二.任意角的基本运算
3、你能猜猜什么是互为相反角吗？两角怎样相减？
我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.
类似于实数a的相反数是 -a，我们引入任意角α的相反角的概念.
角α的相反角记为-α，则定义：α-β=α+(-β)
新知形成
三.象限角
角的范围扩充后，为了讨论的方便，
我们通常在直角坐标系中研究角.
为了方便，使角的顶点与原点重合，角
的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边
在第几象限，就说这个角是第几象限的角.
顶点与原点重合
始边与x轴非负半轴重合
问题1：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？
30°是第一象限角
-120°是第三象限角
锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角.
30°是第一象限角,也是锐角.
390°和-320°是第一象限角，但它们不是锐角.
新知形成
三.象限角
问题2：0°，90°，180°，360°是第几象限角？
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，也称非象限角，通常称轴线角.
x
y
O
x
y
O
第二象限角
第一象限角
第三象限角
第四象限角
轴线角
轴线角
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
轴线角
轴线角
通常用Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别表示第一，二，三，四象限角.
新知形成
三.象限角
问题3：-50°，405°，210°，-200°分别是第几象限角？
x
y
o
210°
x
y
o
-200°
第四象限角
第一象限角
第三象限角
第二象限角
-50°
x
y
o
405°
x
y
o
新知形成
四.终边相同角
思考： -30°，330°，-390°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
-30°
－32°
-390°
330°
o
x
y
把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的 一条终边与之对应.反过来，对于直角坐标系内的 任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？
330°=-30°+360°
-390°=-30°-360°
它们相差360°的整数倍.
设S={β|β=-30°+k×360°,k∈z},
330°,-390°都是S中的元素，-30°也是S中的元素.因此所有与-30°终边相同角，连同-30°在内，都是S的元素；反过来，集合S的元素显然都与-30°角的终边相同.
新知形成
四.终边相同角
－32°
把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的 一条终边与之对应.反过来，对于直角坐标系内的 任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
新知形成
【例1】在0 ～360 范围内，找出与－950 12′角终边相同的角，并判断它是第几象限角.
解：
－950 12′=129 48′ -3×360 ，所以在0 ~ 360 范围内，与－950 12′角终边相同的角是129 48′，它是第二象限角.
新知探求
【例2】写出终边在y轴上的角的集合．
解：
在0 ～360 范围内，终边在y轴上的角有两个，即90 ，270 角
因此，所有与90 角终边相同的角构成集合
S1={β|β=90 +k·360 ，k∈Z}.
而所有与270 角终边相同的角构成集合
S2={β|β=270 +k·360 ，k∈Z}.
270°
90°
y
x
o
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2
={β|β=90 +2k·180 , k∈Z }∪{β|β=90 +180 +2k·180 , k∈Z }
={β|β=90 +2k·180 , k∈Z }∪{β|β=90 +(2k+1)·180 , k∈Z }
={β|β=90 +n·180 , n∈Z }
新知探求
【例3】写出终边在直线y=x上的角的集合S，S中满足不等式-360°≤ β ＜720°的元素β有哪些？
解：
={β|β=45 +k·180 ,k∈Z}.
如图，在直角坐标系中画出直线y=x，可以发现它与x轴夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°和225°，因此，终边在直线y=x上的角的集合
S={β｜β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°，k∈Z}
S中适合-360°≤β<720°的元素有
45°-2×180°=-315°， 45°-1×180°=-135°，
45°+0×180°=45°， 45°+1×180°=225°，
45°+2×180°=405°， 45°+3×180°=585°．
初试身手
1. -215°角是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.下列各角中,与60°角终边相同的角是(　　)
A.-300° B.-60° C.600° D.1380°
解：由于-215°=-360°+145°，而145°是第二象限角，则-215°是第二象限角，故选B.
B
解：由于-300°=-360°+60°，故选A.
A
初试身手
3.终边落在直线y=-x上的角的集合是（ ）
A.{} B.{}
C.{} D.{}
4. 写出第三象限角的集合.
解：在0°到360°之间的第三象限角即为180°<α<270°,则第三象限角的集合为
D
初试身手
5.如图所示.
①分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解：
①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
②由图可知,
阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于-30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合,
故可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
课堂小结
一.任意角
任意角
二.任意角的基本运算
旋转方向相同且旋转量相等的两个角相等.
两角的相加α+β
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.
两角的相减 角α的相反角记为-α，则定义：α-β=α+(-β)
课堂小结
三.象限角
为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.
x
y
O
第二象限角
第一象限角
第三象限角
第四象限角
轴线角
轴线角
四.终边相同角
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}
即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合
作业布置
作业：p175—176 习题5.1 第1，2，3，7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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