函数的单调性教学案例(天津市蓟县)

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函数的单调性教学案例
一、教材分析
1、教材的地位与作用
本节课《函数的单调性》是《高中数学必修1》第一章第三节的内容，函数单调性的实质是对函数运动趋势的研究，它既是函数基本特征之一，又为后面基本初等函数的研究提供了一般方法，为研究不等关系提供了重要依据。研究函数单调性是从观察具体图像特征入手，定量分析数值关系，最终抽象出形式化定义的基本研究方法入手，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式，这对培养学生以图识数、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
2、教学的重点、难点
教学重点：
函数单调性的定义与判定
教学难点：
利用函数单调性的概念证明或判断函数的单调性
3、目标分析
根据高中数学新课程标准的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，我将教学目标定位于：
1、 知识与技能
通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识,再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,得出增(减)函数的定义,并掌握用定义证明函数单调性的步骤.
2、 过程与方法
丰富的背景实例，恰当的问题，和精辟的分析展现了知识发展的过程，反映了从具体到抽象，特殊到一般的原则。对于学生，这些问题就是他们在学习过程中主动思考、主动探究的“指示牌”，通过层层深入的思考与探究，经历数学知识的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。
3、 情感态度与价值观
通过对函数单调性的研究，使学生体会数学思考和探究活动的基本规律，养成良好的思维习惯，形成有条理的识图、思考、推理、表达与交流的能力。逐步地认识数学的科学价值和人文价值，提高科学文化素养。
4、教具的准备
多媒体课件：
（1）函数f(x)=x随自变量x的变化规律
（2）函数f(x)= -x+2随自变量x的变化规律
（3）函数f(x)= 随自变量x的变化规律
5、教学方法：采用以问题为中心的探究式教学方法，由学生自我探索、自我分析、自我决策, 充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪以及计算机辅助教学.
二、教学过程
函数是描述事物运动变化规律的重要数学模型。比如你每天骑车到校的时间随你骑车速度的变化而变化，你每天对知识的吸收量随你每天学习时间的变化而变化，而这种变化反映在数学上，正是函数重要性质的体现。这节课就开始研究函数在这方面的主要性质之一 —— 函数的单调性（板书函数的单调性）
1、教师提出问题：
你能自己画出下列函数的图象并观察其变化规律吗？
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ____ ____ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 _ _______ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ___ ___
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ____ ____ ．
学生活动：学生自己动手画图并且考虑回答老师的问题。
教师通过巡视发现学生画图存在的问题，通过动画演示这几个函数图像，使学生清楚画图像应注意的问题。并引导学生观察图像的变化规律，总结特征，定量分析数值关系，让学生对函数的单调性有个初步感知，最终抽象出形式化定义。
教师引导得出增函数的定义：
2、单调性的概念（大屏幕打出）
一般的，设函数的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1 、x2，当x1＜x2时，都有f (x1) ＜f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是增函数。
教师提出问题：你能仿照增函数的定义自己得出减函数的定义吗？
学生活动：仔细观察，仿照增函数的定义，互相交流，得出减函数的定义
（大屏幕打出）
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1 、x2，当x1＜x2时，都有f( x1)＞f(x2)，则称函数f(x)在区间D上是减函数。
教师继续提出问题：请结合刚才的几个具体函数图像和增减函数的定义思考对于定义的理解应注意哪些方面？
学生活动：学生结合刚才的几个具体函数图象讨论并交流自己对增（减）函数定义的理解与认识，学生各抒己见。
教师点拨：在同学们各自发表完自己的见解之后，教师将学生的发言总结成
以下几点：
对于单调性定义的理解需注意以下几点：
（1）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫函数y=f(x)的单调区间。
（2）在单调区间上，增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。
（3）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，例如：y= x2在〔 0,+∞〕上为增函数，在（ -∞，0）上为减函数；但在（ -∞，+∞）上不具备单调性，（ -∞，∞）也不是单调函数。
学生活动：认真体会，仔细回味，将以上内容变成自己的知识网络。
3、教师提出问题：你能利用单调性的定义解决下列两个问题吗？
例1、 如下图是定义在闭区间 [ -5，5]的函数y=f(x)的图像，根据图象说出y = f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y = f(x)是增函数还是减函数。
学生活动：观察图像，回忆单调性定义，回答教师的问题。
答案：函数y = f(x)的单调区间有[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]其中y=f(x)在区间，[-5，-2]，[1，3]上是减函数；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数。
教师继续提问：[-5，-2]是单调区间，而（-5，-2）是否也是单调区间？
学生活动：同学之间相互交流、讨论、充分发表意见，在教师的引导下，得出下面结论：
说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。另一方面，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调。因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。
例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数
学生活动：学生充分的利用单调性概念，相互交流、讨论，师生共同得出此题的证明过程：
证明：设x1 、x2是R上任意两个实数，且x1 ＜x2，
则f(x1) - f(x2)=（3 x1+2）- ( 3x2 +2 )
=3x1 + 2 - 3x2 – 2
=3( x1 - x2)
∵ x1＜x2 ∴x1 - x2 ＜0
∴f( x1) - f(x2)= 3( x1 - x2) ＜0
∴f(x)=3x+2在R上是增函数。
教师继续提出引人深思的问题：根据上述证明过程和单调性的概念，你能总结一下证明函数单调性的步骤吗？
学生活动：认真归纳，充分发表自己的意见，最后得出证明函数单调性的步骤：
①设在指定区间上任取两个数x1 ，x2 ，且x1＜x2
②作差 f( x1) - f(x2)
③变形
④定符号
⑤得结论
4、教师提出问题：利用这节所学内容探究下列问题的解决思路与方法
（1）在区间（0，+∞）上不是增函数的是（ C ）
A、y = 2x +1 B、y=3x2+1 C、y=2/x D、y=2x2+x+1
（2）函数y= -x2 - 6x+10的单调增区间是（ -∞，-3），单调减区间是〔- 3, +∞〕。
（3）下列命题中不正确的是 ① ② ④（填上所有不正确命题的序号）
①因为函数y=1/x分别在（ -∞，0），（0，+∞）内都是减函数，所以函数y=1/x在整个定义域内是单调递减的。
②函数y=1/（x+1）在[-1，+∞）上是减函数。
③有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是单调区间。
④函数y=c(c为常数)在R上是增函数。
（4）证明函数f(x)= -2x+1在R上是减函数。
（5）证明函数y = - 3/x在（ -∞，0）上为增函数。
学生活动：学生口答1、2题， 分组讨论3题，板演4、5题。
5、师生共同小结：
由学生自己总结梳理这节课的内容、感受、方法等，然后由教师补充。
①单调性相对于特定的区间而言
②定义中x1 ，x2 具有以下特点：
（1）x1 ，x2 在区间上
（2）x1 ，x2 任意性
（3）x1 ＜x2
判断函数单调性的步骤①设在指定区间上任取两个数x1 ，x2 ，且x1＜x2
②作差 f( x1) - f(x2)
③变形
④定符号
⑤得结论
6、教师布置作业，巩固提高
必做题：课本P43，习题第1，2，3题。
选做题：讨论函数f(x)=x+1/x的单调性。
7、教学反思：
1、本节课由学生熟悉的函数图像入手，以一系列层层深入的问题为载体，借助利用几何画板等软件制作的课件进行研究，通过学生之间的交流与合作，得出本节课的主要内容，将课堂充分的交给学生，符合新课程的基本理念。
2、部分同学主动表达自己的思想和方法意识不是很强，应加强这方面的训练。
y
x
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