13.3角平分线的性质（2）(浙江省嘉兴市郊区)

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角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、角平分线性质定理的逆定理：
1、角平分线性质定理：
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上∵点P是∠AOB的平分线上的一点，
且PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N，
∴PM＝PN
∵ PM⊥OB于点M，PN⊥OA
于点N，且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线OC上.
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M，
PN⊥OA于点N， △POM的面积为
6，OM=6，则PN=_______.22、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA=
则∠BDA= _______度。50例1 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。EFD证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于
AB，BC，CA，垂足为D，E，F。∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.
同理 PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 点P在∠A的平分线上吗?这说明
三角形的三条角平分线有什么
关系？练习1、如图， △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的
外角的平分线 CE相交于点P。
求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
2、如图所示，直线 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有： （ ）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处D例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，
PB=PC， D是AP上一点。
求证：∠BDP=∠CDP。
例3、已知，如图， ∠B=∠C= ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。
求证：AM平分∠DAB。证明：过M作ME⊥AD于EE
二是运用角平分线的判定方法，若没有垂线段，
则需作辅助线添加出来。证明角平分线有两种方法：一是运用定义证明两个角相等（有时需要用等角转换）； 已知AB//CD，O是∠BAC、 ∠ACD的平分线的
交点，OE⊥AC于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是______.4cm变式：4、 △ABC中， ∠ C= ， AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_________.20cm5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD
交于G。求证：
（1） ∠DEF=∠DFE。（2）AE=AF（3） AD⊥EF