高中数学北师大版必修一第五章 1.2 利用二分法求方程的近似解 同步练习（含解析）

1.2　利用二分法求方程的近似解
课后训练
1.下列关于函数f(x),x∈[a,b]的说法,正确的是(　　).
A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在区间[a,b]上的零点,则可以用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但方程f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解
2.函数f(x)的图象如图所示,则用二分法求f(x)的零点时,不可能求出的零点是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
3.已知偶函数y=f(x)有4个零点,则方程f(x)=0的所有实数根之和为(　　).
A.0 B.1 C.2 D.4
4.已知曲线y=与直线y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是(　　).
A. B. C. D.(1,2)
5.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　).
A.[1,4] B.[-2,1]
C. D.
6.若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是(　　).
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln
7.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,,内,则与f(0)符号不同的是(　　)
A.f(4) B.f(2) C.f(1) D.f
8.已知函数f(x)=2x-在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
9.用二分法研究函数f(x)=x2+3x-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　　,第二次应计算　　　　　.
10.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出结论:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　.
11.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的大小关系是　　　　　.
12.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为　　　　　.
x -1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x+2 1 2 3 4 5
13.一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测　　　　　次.
14.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个不相等的实根.
15.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).
参考数值:
x 1.187 5 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5
2x 2.278 2.181 2.378 2.484 2.594 2.83
16.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)请使用二分法,取区间的中点二次,指出方程f(x)=0,x∈[0,2]的实数解x0在哪个较小的区间内.
17.某公司生产A种型号的电脑,2019年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2020年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2023年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2019年的80%,实现了纯利润50%.
(1)求2023年每台A种型号电脑的生产成本;
(2)以2019年的生产成本为基数,用二分法求2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).
1.解析:使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不正确;方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,C不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不正确,只有A正确.
答案:A
2.解析:由二分法的原理可知,x3不能用二分法求出,因为其左右两侧的函数值都为负值.
答案:C
3.解析:因为y=f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,所以f(x)=0的4个根,为两正两负,且关于原点对称,其和为0.
答案:A
4.解析:设f(x)=-x,则f(0)=1>0,
f<0,
f(1)=-1<0,f(2)=-2<0,
显然有f(0)·f<0.
所以x0必在区间内.
答案:A
5.解析:∵第一次所取的区间是[-2,4],
∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为.
结合选项知,只有选项D符合.
答案:D
6.解析:因为g<0,g=1>0,所以g·g<0,所以g(x)=4x+2x-2的零点x0∈.
A中,函数f(x)=4x-1的零点为,则0B中,f(x)=(x-1)2的零点为1,则|x0-1|>,不满足题意.
C中,f(x)=ex-1的零点为0,则|x0-0|>,不满足题意.
D中,f(x)=ln的零点为,则>1,不满足题意.
答案:A
7.ABD　由二分法的步骤可知
①零点在(0,4)内,则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0,f(4)<0,取中点2;
②零点在(0,2)内,则有f(0)·f(2)<0,则f(0)>0,f(2)<0,取中点1;
③零点在(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,则f(1)>0,f(2)<0,取中点;
④零点在(1,)内,则有f(1)·f)<0,则f(1)>0,f<0,则取中点;
⑤零点在内,则有f·f<0,
则f>0,f<0,
所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f,故选ABD.
8.C　由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的,则等分n次后的区间长度变为原来的,则由题可得<0.01,即n>log2100,又69.解析:∵f(0)·f(0.5)<0,
∴x0∈(0,0.5),取该区间的中点=0.25.
∴第二次应计算f(0.25).
答案:(0,0.5)　f(0.25)
10.解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).
答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5
11.解析:∵函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,
∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,
∴Δ=a2-4b=0,∴a2=4b.
答案:a2=4b
12.1　记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在性定理可得f(1)·f(2)<0,故函数的零点所在的区间为(1,2).所以k=1.
13.6　第1次取中点把焊点数减半为=32,第2次取中点把焊点数减半为=16,第3次取中点把焊点数减半为=8,第4次取中点把焊点数减半为=4,第5次取中点把焊点数减半为=2,第6次取中点把焊点数减半为=1,所以至多需要检测的次数是6.
14.证明:∵f(1)>0,
∴3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,
∴-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,
∴c>0,则a>0.
取区间[0,1]的中点,则fa+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0,f(1)>0,
∴函数f(x)在区间内各有一个零点.
又f(x)最多有两个零点,所以方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个不想等的实根.
15.解(1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,
所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 1 -1.000 0 2 3.000 0 1
2 1 -1.000 0 1.5 0.828 4 0.5
3 1.25 -0.121 6 1.5 0.828 4 0.25
4 1.25 -0.121 6 1.375 0.343 7 0.125
5 1.25 -0.121 6 1.312 5 0.108 7 0.062 5
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.3125-1.25|=0.0625<0.1,
所以函数的零点近似值可取1.3125,
即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.
16.(1)证明∵f(0)=1>0,f(2)=-<0,
∴f(0)·f(2)=-<0,函数f(x)=x3-x2+1是连续函数,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)解取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)f(2)<0,下一个有解区间为(1,2),取x2=(1+2)=,得f=-<0,由f(1)·f<0,则下一个有解区间为1,.
综上所述,实数解x0在较小区间1,内.
17.解(1)设2023年每台A种型号电脑的生产成本为p元,
根据题意,得(1+50%)p=5000×(1+20%)×80%,解得p=3200.
故2023年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.
(2)设2019~2023年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0根据题意,得5000(1-x)4=3200.
令f(x)=5000(1-x)4-3200,求出x与f(x)的对应值(精确到个位)如下表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
1 0 1 800 1 -3 200 1
2 0 1 800 0.5 -2 887.5 0.5
3 0 1 800 0.25 -1 617.968 8 0.25
4 0 1 800 0.125 -269.091 8 0.125
5 0.062 5 662.381 0 0.125 -269.091 8 0.062 5
6 0.093 75 172.578 6 0.125 -269.091 8 0.031 25
7 0.093 75 172.578 6 0.109 375 -54.066 6 0.015 625
8 0.101 562 5 57.778 0 0.109 375 -54.066 6 0.007 813
所以原方程的近似解可取0.1025.
故平均每年生产成本降低的百分率约为10.25%.
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